1、数学研究结题报告：数列在分期付款中的应用研究单位：研究背景：随着科学文化知识的进步，数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色，作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题这样才能更好地适应社会的发展和需要。随着经济的不断发展，中国人的消费意识不断在更新，改变。 “分期付款”就是最具代表性的体现。分期付款在今天的消费活动中应用日益广泛，为越来越多的人所接受，一方面是因为很多人一次性支付较高的款额有一定的困难，另一方面也是不少的商家和机构不断改进营销策略，方便人民付款和消费，促进市场发展。所以“分期付款”与每个家庭和每个人的日常生活密切相关
2、，于是，如何利用数学知识来解决“分期付款”的问题有着非常现实和有意义的研究价值。让数学在我们的生活中给予我们更多、更广、更全面的帮助。研究方法：1在分期付款中，每月的利息均按复利计算；（月利率是 0.4575）2 分期付款中规定每期所付款额相同；这些规定简单记为月均等额还本付息；3在分期付款中，一般一个月为一期。4. 分期付款时，每一期所还的款相当于存在银行里，所以每期还给银行的款额如同本金也会随着时间推移而不断增值；5. 从贷款之日起，到最后一期还款付清时，贷款总额本息与每期所还款本息和是相等的。我们先理解一下这些规定：（1）什么叫利息？向银行贷款 20 万元，一个月后就还给银行 20 万元
3、，银行乐意吗？当然还的钱比 20 万要多，这里的 20 万元叫本金，多出来的部分，就叫利息，如果月利率按 0.4575计算，一个月后利息是多少？（2）什么叫复利？复利是个和单利相对应的经济概念，单利的计算不用把利息计入本金计算；而复利恰恰相反，它的利息要并入本金中重复计息。比如你现在往银行存入 100 元钱，年利率是 10%，那么一年后无论您用单利还是复利计算利息，本息合计是一样的，全是 110 元；但到了第二年差别就出来了，如果用单利计算利息，第二年的计息基础仍是100 元，利息也仍是 10 元，本息合计就是 120 元。可复利就不一样了，第二年的计息基础是 110 元（注意！） ，一年下来
4、利息就变成了 11 元，本息合计就成了 121 元，已比单利计算的多了 1 元钱，如果本金数字较大，年限较长，差距之大可想而知。厉害吧！它的计算公式是本金（1+年利率） ，其中 n 等于你的计息期数。我们知道在分期付款中，规定每月的利息均按复利计算；我想请同学们算一算，向银行贷款 20 万元，两个月后，本金和利息的总和是多少？我们将一个月称为一期，3 期后，本金和利息的总和是多少？20 期呢？可见贷款总额会随着时间的推移而不断增值；请以本金为 a 元,月利率为 0.4575,说明复利计算的含义。在日常生活中同学们常听说分期付款，下面用数列对这一经济现象分类说明。 1. 分期付款中的单、复利 例
5、 1. 某人从银行贷款 a 万元，分五期等额还清，期利率为 r。 （1）按复利（本期的利息计入下期的本金生息）计算，每期须还多少万元？ （2）按单利（本期的利息不计入下斯的本金生息）计算，每期须还多少万元？ 法 1： 设每期须还 x 万元，则第一期还 x 万元，到结账时相当于 万元；第二期还 x 万元，到结账时相当于 万元； 第五期还 x 万元，到结账时仍是 x 万元。因为五期总和=a 万元在银行存五期的本息之和 法 2：设每期还款 x 万元，则 第一期偿还的 x 万元相当于贷款时的 万元； 第二期偿还的 x 万元相当于贷款时的 万元； 第五期偿还的 x 万元相当于贷款时的 万元。 （2）设每
6、期须还 x 万元，则 第一期还 x 万元，到结账时相当于 万元； 第二其还 x 万元，到结账时相当于 万元； 第五期还 x 万元，到结账时仍为 x 万元。 因为五期总和=a 万元在银行存五期 由上述推算可知：若从银行贷款 a 元，分 n 期等额还清，期利率为 r，每期须还 x 元。2. 在银行中存款 例 2. 某同学若将每月省下的零花钱5 元，在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为 0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为 6%，问三年取出本和利共多少元（保留到个位） 。 分析：先分析每一年存款的本利和（单位：元） 。按月分开算第一个月： ；第二个月： ； 第十二个月：
7、。 第一年的 A 元，改存为年利按复利计算，两年后到期的本利和为： 第二年的 A 元，同理一年后到期的本利和为： 第三年的 A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息，三年后取出的本利和为： 解：设每存一年的本利和为 A，则 设三年后取出的本利为 y 答：三年后取出本利共 193 元。 3. 分期付款中的收益比较 例 3. 某商店为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价值 2150 元。 第一种付款方式：购买当天先付 150 元，以后每月这一天都交付 200 元，并加付欠款利息，每月按复利计算，月利率 1%。 第二种付款方式：购买当天先付 150
8、 元，以后每个月付款一次，10 个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率 1%。 试比较两种付款方式，计算每月所付金额及购买这件家电总共所付金额。解：第一种付款方式：购买时付出 150 元，则欠款 2000 元，按要求需 10 次付清，则以后 第一次应付： 第二次应付： 第 n 次应付： 每次所付的款额顺次构成数列 ， 是以 220 为首项， 为公差的等差数列。 10 次付款总和为： 所以，实际共付 2260 元。 第二种付款方式：购买时付出 150 元，余款 10 个月后增值为： 设每月付款 x 元，则各月所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和分别为： 这构成等比数列，其
9、和为： 每月应付 211.2 元，10 次付款总和为 2112 元，实际共付 2262 元，两者比较前者更实惠。 例 4. 在一次人才招聘会上，有 A、B 两家公司分别开出它的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为 1500 元，以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元；B 公司允诺第一年月工资数为 2000 元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%，设某人年初被 A、B 两家公司同时录取，试问： （1）若该人分别在 A 公司或 B 公司连续工作 n 年，则他在第 n 年的月工资收入分别多少？ （2）该人打算连续在一家公司工作 10 年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其
10、它因素） ，该人应该选择哪家公司，为什么？ 解：（1）设该人在 A、B 两家公司第 n 年的月工资数分别为 ，由已知得 构成以1500 为首项，公差为 230 的等差数列， 是以 2000 为首项，公比为 的等比数列，所以 （ 2）若该人在 A 公司连续工作 10 年，则他的工资收入总量为： 若该人在 B 公司连续工作 10 年，则他的工资收入总量为：因为在 A 公司收入的总量高些，因此该人应该选择 A 公司下面让我们来看另一个例子：小明同学准备购买笔记本电脑，向银行贷款 1 万元，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息（即利息按月以复利计算，每期付款数额相同，一个月为一期，购买后一个月付款一
11、次，以后每月付款一次） ，共付 24 期，月利率为0.4575，我设计的问题是：小明每月应还多少钱？分析一：本例可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第 24 个月的欠款数为零，据此可得等量关系。解法一：设每月还款 x 元，购买 1 个月后的欠款数为：10000(10.4575%)x购买 2 个月后的欠款数为：10000(10.4575%)x(10.4575%)x即：购买 3 个月后的欠款数为：购买 24 个月后的欠款数为：由题意：即： 观察一下，上述等式有什么特点？可以发现，上述等式是一个关于 x 的一次方程，且等号左边是一个首项为x，公比为 1.004575 的等比数列的前 24 项的和。思
12、考：还有其它的处理方法吗？对等式进行思考？这个等式说明了：分期付款，各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品的售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。实际上这是分期付款中的规定，从上面的过程中我们可看出这种规定是合理可行的。于是我们有了解法 2，利用分期付款的有关规定直接列出方程。分析二：每期所还款在接下来的月份中都会产生利息。这部分的本利和与贷款所产生的本利和相等。解法二：设每月应付款 x 元.各月所付款额到贷款付清时也会产生利息（同样按月以复利计算） 。各月所付款额与它的利息之和是多少呢？各月所付款与它的利息之和1 个月后还元 1.00457523x
13、元2 个月后还元 1.00457522x 元3 个月后还元 1.00457521x 元 23 个月后还元 1.004575x 元24 个月后还元 x 元各月所付款与它的利息之和1 个月后还元 1.00457523x 元2 个月后还元 1.00457522x 元3 个月后还元 1.00457521x 元 23 个月后还元 1.004575x 元24 个月后还元 x 元最后根据到期偿还还贷款的含义，即各月所付款额连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。解法 1 通过逐月计算欠款来处理，由第 24 个月后的欠款为零可得等量关系，这种解法思路自然，容易想到
14、，但过程较长。解法 2 从最后一次付款（即款全部付清时）的角度上来看问题，即按分期付款中的规定直接列出等式，过程较简洁。研究结果： 我们对例子中提出的分期付款进行了一般性的探究，明白了分期付款是怎么一回事，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法，分期付款的单、复利问题；银行中的存、贷款问题以及分期付款中的收益比较问题与人们的生活息息相关。解决这类问题时，要认真分析，理顺问题中各种数量之间的关系，然后用学过的数学知识去解决问题，并作出正确合理的解答。以上就是我们小组同学所研究的课题的详细过程，我们已经学习数学这一学科多年，并且我们用我们所学习过的知识研究出了这次的课题，且很成功。分期付款这种运作方式在今天商业活动中，应用日益广泛；关于分期付款及其相关的知识，涉及的行业部门有银行、保险、按揭购房、基金，涉及到社会的方方面面。
