1、幂函数函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想下面剖析几例，以拓展同学们的思维一、分类讨论的思想例 1 已知函数 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于 y 轴对称，求 n 的23nyx()Z值，并画出函数的图象解：因为图象与 y 轴无公共点，故 ，又图象关于 y 轴对称，则 为偶数，230n 23n由 ，得 ，又因为 ，所以 230n 1n 13n，当 时， 不是偶数；23当 时， 为偶数；14当 时， 为偶数；0当 时， 不是偶数；n2n当 时， 为偶数；33所以 n 为 ，1 或 3此时，幂函数
2、的解析为 或 ，其图象如图所示0()yx4yx二、数形结合的思想例 2 已知点 在幂函数 的图象上，点 ，在幂函数 的图象上(2)，()fx124，()gx问当 x 为何值时有：（） ；（） ；（） g()fx()f分析：由幂函数的定义，先求出 与 的解析式，再利用图象判断即可()f解：设 ，则由题意，得 ，()mf2m ，即 再令 ，则由题意，得 ，22x()ngx1(2)4n ，即 在同一坐标系中作出n()0g与 的图象，如图 2 所示由图象可知：()fx（1）当 或 时， ；1()fxg（2）当 时， ；f（3）当 且 时， 0()f小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中
3、 的隐含条件 ()gx0x三、转化的数学思想例 3 函数 的定义域是全体实数，则实数 m 的取值范围是1224()(1)ymxmx（ ） (51)， (2)， 15)解析：要使函数 的定义域是全体实数，可转化为1224()(1)ymxmx对一切实数都成立，即 且 240mx024()0解得 故选（）51幂函数中的三类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果
4、得以实现类型一：求参数的取值范围例 1 已知函数 为偶函数，且 ，求 m 的值，并确定 的解23()()mfxZ(3)5f()fx析式分析：函数 为偶函数，已限定了 必为偶数，且 ，23()()mf 2Z，只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定 的解析式(3)5f ()fx解： 是偶函数， 应为偶数()fx2又 ，即 ，整理，得 ， ，(3)5f22335mm2315m230m12m又 ， 或 1Z0当 m=0 时， 为奇数（舍去） ；当 时， 为偶数231m23故 m 的值为 1， 2()fx评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解
5、题奠定坚实的基础类型二：求解存在性问题例 2 已知函数 ，设函数 ，问是否存在实数2()fx()()21)(gxqfxfx，使得 在区间 是减函数，且在区间 上是增函数？若存在，请求出来；(0)q()gx4， (40)，若不存在，请说明理由分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间解： ，则 2()fx42()(1)gxqx假设存在实数 ，使得 满足题设条件，0q设 ，则12 42421211()()(1)qx()xxq若 ，易知 ， ，要使 在 上是减函数，则应124， 120x210x()gx4，有 恒成立(
6、)()0qxq ， ， 而 ，142x 213x0q .()3qq从而要使 恒成立，则有 ，即 211x213q 130q若 ，易知 ，要使 在 上是增函数，则应有1(40)， 2()0xx()fx4)，恒成立2()qxq ， ，12 ，而 ， 23021()3qxq要使 恒成立，则必有 ，即 21()qx2 130综上可知，存在实数 ，使得 在 上是减函数，且在 上是增函数30q()gx4， (4)，评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练类型三
7、：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况例 3 讨论函数 在 时随着 x 的增大其函数值的变化情况221()kyx0分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论解：（1）当 ，即 或 时， 为常函数；20kky（2）当 时， 或 ，此时函数为常函数；2112k（3） 即 时，函数为减函数，函数值随 x 的增大而减小；201k，12k（4）当 即 或 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；20k，（5）当 即 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；21，20k（6）当 ，即 时，函数为减函数，函数值随 x 的增大而减小20k，1评注：含参数系数问题，可以说
8、是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素这应引起我们的高度警觉幂函数习题幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用例 1 若 ，试求实数 m 的取值范围11()(32)m错解（数形结合）：由图可知0132，解得 ，且 23m剖析：函数 虽然在区间 和 上分别具有单调性，但在区间1(0)yx(0)， ()，上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的(0)()， 正解（分类讨论）：（1）1320m，解得 ；d（2） 此时无解；1032m，（3） ， 解得 10
9、21m综上可得 23()，现在把例 1 中的指数 换成 3 看看结果如何例 2 若 ，试求实数 m 的取值范围3()(2)m错解（分类讨论）：由图 2 知，（1） 1， 解得 ；032， 23（2） 此时无解；0321m，（3） ， 解得 021m综上可得 2()3，剖析：很明显，此解法机械地模仿例的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用正解（利用单调性）：由于函数 在 上单调递增，所以 ，解得3yx()， 132m23m例 2 正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维下面再对 和 两个问24题与解法进行探究例 3 若 ，试求实数
10、 m 的取值范围1122()(3)m解：由图 3， ，解得 021， 23例 4 若 ，44(1)(32)m 试求实数 m 的取值范围解析：作出幂函数 的图yx 象如图 4由图象知此函数在 上(0)()， 不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键考虑 时， 于是有44x，即 44(1)(32)m44132m又幂函数 在 上单调递增，yx(0)， ， 解得 ，或 m4132m23上述解法意识到幂函数 在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免(0)yx了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如 （ 是常数）型的不等式的解法有了以下体会：()()fxg（1）当 ，解法同例 1135，（2）当 ，解法同例 2（3）当 ，解法同例 31246，（4）当 ，解法同例 4编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例 4 解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试高*考试题。库
