1、8.3 实际问题与二元一次方程组(第 1 课时)一、内容和内容解析1内容用二元一次方程组解决“探究 1”和“探究 2”中的实际问题2内容解析实际生活中常会遇到解决两个未知量的问题，这两个未知量之间存在数量关系，运用二元一次方程组可以解决这类问题分析问题中的数量关系 发现等量关系 列出二元一次方程组 解二元一次方程组 得到实际问题的答案这一典型的数学建模过程，是数学应用的具体体现它对于运用其他数学模型(如不等式、函数等)解决实际问题具有很强的示范作用本节课要研究两个问题， “探究 1”中的数量关系比较简单，但需要学生理解如何确定未知数， “探究 2”中的数量关系比较复杂，作物总产量比、单位面积产
2、量比、面积比、长度比之间的转化是列方程组的关键通过“探究 1”的学习，学生对运用方程组解决实际问题的建模过程形成初步认识后，尝试独立解决“探究 2”，加深对建模过程的认识在两个探究过程中同时关注如何用数学问题的答案解释具体的实际问题本节课的教学重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程二、教材解析为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较(“探究 1”)，开放地寻求设计方案(“探究 2”) “探究 1”是有关牛饲料的问题，教材设置了饲养员根据经验估计出饲料量的情境，需要借助二元一次方程组进行计算，并根据计算结果来检验这个估计是否准确 “探究 2”是一
3、个开放问题，解决方法不止一种通过此题让学生体会一题多解的问题情境，从多种角度考虑问题一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面在探究如何用二元一次方程组 解 决 实 际 问 题 的 过 程 中 ， 进 一 步 提 高 分 析 问 题 中 的 等 量 关 系 、 设 未知 数 、 列 方 程 组 、 解 方 程 组 的 能 力 三、教学目标和目标解析1教学目标能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想2目标解析学生能够准确分析数量关系，发现等量关系，依据实际问题列出方程组，解方程组，在此基础上，用方程组
4、的解解释实际问题这一典型的数学建模过程，需要学生在方程、方程组以及后续的不等式、函数的学习中，逐渐体会在“探究 1”中学生首先要分析数量关系，找到等量关系，正确设出未知数，列出方程组理解“通过计算检验估计”的含义在“探究 2”中学生要借助图形发现隐含的等量关系，把总产量的比转化为长度比，从而列出方程组，并用语言描述作物的种植方案四、教学问题诊断分析受阅读能力、分析能力的制约，如何从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言来表示，对初一学生来说是个难点本节课涉及的实际问题都含有两个未知数，包含两个等量关系，需要列出两个二元一次方程，数量关系比一元问题复杂需要学生更好地分析问题，抓住关键词，发现等
5、量关系，列出方程组“探究 1”中的问题没有直接提出求“大牛和小牛一天的饲料” ，而是要求“通过计算检验他的估计” ，也就是说，本题没有明确的未知数学生要理解“估计的值”需要通过计算验证，进而明确需要求哪些未知量 “探究 2”中的问题是“怎样划分土地” 理解题意，选择适当的未知数，是本题的难点由于问题具有较强的实际意义，由数学问题的解得到实际问题的解这一步骤显得更加重要在“探究 2”中如何依据方程组的解，描述土地划分方案，对于学生也是一个难点本节课的教学难点：发现问题中隐藏的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解解释实际问题五、教学过程设计1. “探究 1”的教学问题 1 如何理解“通过
6、计算检验他的估计”这句话？师生活动：学生自由发言，体会对于估算的结果要通过精确求值来检验，理解要想检验估计是否准确，需要求出大牛、小牛 1 天所需要的饲料【设计意图】明确估算的值不是这道题目中的已知量，是需要检验的量，也就是要求的未知数问题 2 题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？师生活动：学生充分读题，可以适当讨论，教师引导学生关注有两个未知数，两个等量关系，分别是购进前后一天的饲料数量【设计意图】引导学生发现未知数和等量关系，运用二元一次方程组解决问题 3 如何解决这一问题？师生活动：学生依据发现的等量关系，建立方程组设每头大牛和每头小牛 1 天分别约用饲料 x kg 和 y
7、 kg，根据题意，得 ， 9402467530y教师追问：列一元一次方程能解决这个问题吗？ 【设计意图】一般情况下，学生会自觉选择列方程组解决，教师引导学生体会有两个未知量时，列方程组更为简单问题 4 请你解这个方程组，并交流一下你是如何解这个方程组的？师 生 活 动 ： 学 生 独 立 解 方 程 组 ， 并 发 言 交 流 有 的 学 生 可 能 直 接 用 消 元 法 解 方 程 组 ， 也有 可 能 先 化 简 整 理 为 再 解 方 程 组 教 师 引 导 学 生 对 比 ， 发 现 先 化 简 再 解 更 简， ， 470125yx便 【设计意图】由实际问题列出的方程组，有时系数较
8、为复杂，先化简再求解，可以简化运算问题 5 饲养员李大叔的估计正确吗？师生活动：学生对比计算结果和李大叔的估计，得到结论【设计意图】引导学生用方程组的解去分析、解释实际问题“探究 1”小结结合“探究 1”的解决过程，让学生回答以下问题：(1)在列方程组之前我们先做了哪些工作？(2)列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？师生活动：对于(1)，引导学生回顾如何分析数量关系，发现等量关系，选择适当的未知数，列出方程组对于(2)，学生回答，教师用下面的框图说明实际问题问题答案数学问题(二元一次方程组)数学问题(二元一次方程组的解)设求知数、列方程组检验(消元)解方程组转化【设计意图】突 出 列 方 程
9、 组 解 决 实 际 问 题 的 关 键 步 骤 引 导 学 生 体 会 运 用 方 程 组 建 立数 学 模 型 ， 解 决 实 际 问题的过程2 “探究 2”的教学问题 6 结合上面的框图，和“探究 1”的解决过程，如何解决这个问题？师生活动：独立思考，互相讨论交流解决问题的过程，尝试列方程组解决问题【设计意图】让学生经历列方程组解决实际问题的完整过程，对建模的一般步骤加深理解本道题有一定难度，如果学生不能独立解决，进行以下追问，尽可能让学生多思考，追问的问题不要一次给出追问 1 本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？师生活动：画图分析题意，把文字语言转化为图形语
10、言如图 1，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE此时设 AEx m，BEy m 【设计意图】帮助学生借助图形，分析已知条件追问 2 作物产量比与种植面积的比有什么关系？师生活动：思考分析，发现甲、乙作物产量比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的 2 倍的比【设计意图】帮助学生明确题目中较难的等量关系追问 3 你能求出 x，y 吗？师生活动：学生列出方程组 将这个方程组转化为二元一次方程，4:3210:， yx组 进而求出 x，y4230xy【设计意图】让学生根据等量关系列出方程组，求出 x，y问题 7 如何表述你的种植方案？师生活动：学生自由发言，互
11、相启发，不断补充完善种植方案，如过长方形土地的长边上一端 120 m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物【设计意图】列方程组解决实际问题时，不一定题目中有什么未知量，就设这个未知量这一点本题体现比较明显图 1问题 8 还有其他设计方案吗？师生活动：过长方形土地的短边上一点，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地再次经历列方程组解决实际问题的过程【设计意图】一题多解，体现思维的多样性“探究 2”小结让学生回答以下问题：(1)列一元一次方程解决实际问题的一般过程是什么？(2)你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际
12、问题有哪些相同点和不同点？师生活动：学生回答对于(2)，教师可总结：能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以通过列一元一次方程加以解决但是，随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂，列方程组将更加简单直接，因为问题有几个相等关系就可以列出几个方程两者相同点都是需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题(设未知数，列方程或方程组)，再检验解的合理性，进而得到实际问题的解，这一过程就是建模的过程【设计意图】对于(2)，学生对相同点的总结有利于更好地体会建模思想，学会建模的一般步骤；学生对不同点的总结将更好地认识到列方程组更为容易3. 布置作业教科书习题 8.3 第 2，3，4，5 题六、目标检测设计某电脑公司有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其中 A 型每台 6 000 元、B 型每台4 000 元、C 型每台 2 500 元某中学现有资金 100 500 元，计划全部用于从这家电脑公司购进 36 台两种型号的电脑请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由【设计意图】与本节课的两个探究活动一致，本题也没有直接给出要求的未知数需要学生理解题意，特别是“全部用于购进 36 台两种型号” ，发现等量关系，设出未知数题目蕴含的等量关系与“探究 1”类似，而对购买方案的描述又与“探究 2”类似
