1、对数函数 【学习导航】 知识网络 学习目标 1了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系。2了解对数函数与指数函数的互为反函数，能利用其相互关系研究问题，会求对数函数的定义域；3记住对数函数图象的规律，并能用于解题；4培养培养学生数形结合的意识用联系的观点研究数学问题的能力。新课导学1 对数函数的定义：函数 叫做对数函数，定义域是 思考：函数 logayx与函数 xya)10(且 的定义域、值域之间有什么关系？2. 对数函数的性质为 1图象定义域： (0,)值域： R定点 1性质（0，+）上是增函数(,)上是减函数3. 对数函数的图象与指数函数的图象关于直线 对称。画对数函数 l
2、ogayx(0,1)的图象，可以通过作 xya(0,1)关于直线x的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方数 图象性质值域定义域定义应用对函数 (1,)xxlogaylogay便的。所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。4.指数函数 xya(0,1)定义域和值域分别是对数函数 logayx(0,1)的 。【互动探究】例 1：求下列函数的定义域（1） 0.2log(4);yx； （2） 1a 0,1).a； （3） (2)l3x （4） y分析：此题主要利用对数函数 xyalog的定义域 (0,)求解。例 2：利用对数函数的
3、性质，比较下列各组数中两个数的大小：（1） log3.4， 2l.8； （2） 0.5， 0.51；（3） 7， 6； （4） 2l， 4l， 2点评: 本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如 1 或 0） ，间接比较上述两个对数的大小。例 3 说明函数 3log2yx与函数 3logyx图像的关系。例 4 画出函数 2logyx的图像，并根据图像写出函数的单调区间。【迁移应用】1.求函数 2log(1)yx的定义域，并画出函数的图象。2. 比较下列各组数中两个值的大小：（1） 2log3.4， 2l8.5； （2） 0.， 0.
4、37；（3） la， l9a.（4） 0.9， 1.og， 0.7l83.解下列方程：（1） 3527x （2） 1x（3） 55log()l()（4） x4解不等式：（1） 55log(3)l(21)x（2） 答案2 对数函数的定义：函数 xyalog)10(且 叫做对数函数(logarithmic function),定义域是 ,)思考：函数 la与函数 xya)10(且 的定义域、值域之间有什么关系？2. 对数函数的性质为 1图象（1）定义域： (0,)（2）值域： R性质 （3）过点 ，即当x时， y(,)1xxlogaylogay（4）在（0，+）上是增函数（4）在(0,)上是减函数
5、3. 对数函数的图象与指数函数的图象关于直线 yx对称。画对数函数 loga(0,1)的图象，可以通过作 xya(0,1)关于直线的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方便的。所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。4.指数函数 xy(,)与对数函数 logayx(,)称为互为反函数。指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。5一般地，如果函数 f存在反函数，那么它的反函数，记作 1()yfx思考：互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系？原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域。例 1：求下列函数的定义
6、域（1） 0.2log(4);yx； （2） 1a 0,1).a； （3） (2)l3x （4） y分析：此题主要利用对数函数 xyalog的定义域 (0,)求解。（1）由 0得 4，函数的 .2log()定义域是 (,4)；（2）由 1x得 ，函数 lay,1.a的定义域是 （3） 2103x得x或函数 2(1)log)xy的定义域是 1(,)32（4）由 2l30 得 43x x，函数 2l()y的定义域是 1,)例 2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：（1） log.， .8； （2） 0.5log8， 0.5l2；（3） 7log5， 6l； （4） 2log3， 4
7、l5， 2【解】 （1）对数函数 2lyx在 (0,)上是增函数，于是 2l.42l3.；（2）对数函数 0.5在 ,上是减函数，于是 0.5og87；（3） 66llog1，77，ll；（4） 249， 43l82而 log5l8log 42（1）点评: 本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如 1 或 0） ，间接比较上述两个对数的大小。例 3 若 log5a(0且 )a，求 的取值范围（2）已知 (23)l42，求 的取值范围；【解】 （1）当 时 logayx在 (,)上是单调增函数， 4logl5aa45a当 0时 lay
8、x在 (0,)上是单调减函数， llaa45综上所述： 的取值范围为 (,)1,)（2）当 31a，即 时由 214()， 解得：当 03a，即 12a时由 14()， 解得：2，此时无解。综上所述： 的取值范围为 (,2)点评:本题的关键是利用对数函数的单调性解不等式，一定要注意对数函数定义域。1.求函数 2log(1)yx的定义域，并画出函数的图象。2. 比较下列各组数中两个值的大小：（1） 2log3.4， 2l8.5； （2） 0.， 0.37；（3） la， l9a.（4） 0.9， 1.og， 0.7l83.解下列方程：（1） 3527x （2） x（3） 55log()l(1)（4） x4解不等式：（1） 55log(3)l(21)x（2） x答案：1略 2 （1） 22log3.4l8.5（2） 0.0.37（3）当 a时， l1alog.9a，当 时， .（4） 0.910.7log81.l3 （1） 23x （2） 2(og3)x（3） （4）4 （1） (0,) （2） (1,)高:考试题(库
