1、巧构函数模型构建函数模型是解决问题的关键，本文介绍构建函数模型三种方法一、关系分析法即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立问题的数学模型的方法例 1 某商店里有进货价为 80 元的商品共 400 个，按 90 元一个售出时，可全部卖出已知这种商品每涨价 1 元，其销售数量就减少 20 个，问销售价定为多少时所获得的利润最大？分析：依据“售价为多少时所获得的利润最大” ，建立利润与销售价的函数关系式解：设销售价为 90+x 元时利润为 y，此时销售数量为 400-20x (90)420)(420)8yx即 ，5当 时，有 （元） xmaxy答：销售价为 95 元时所获得的利润最大，其最大值
2、为 4500 元二、列表分析法即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法例 2 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台现销售给 A 地 10 台，B 地 8 台已知从甲地调运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元，从乙地调运1 台至 A 地、B 地的运费分别为 300 元和 500 元（1）设从乙地调运 x 台至 A 地，求总运费 y 关于 x 的函数关系式；（2）若总运费不超过 9000 元，问共有几种调运方案分析：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的确立由甲、乙两地调运至 A 地、B 地的机器台数及运费如下表：解：（
3、1）依题意，得 y=400（10-x）+80012（10- x） +300x+500（6x） ，整理得 y=200（x +43） （0x6，x Z） （2）由 y9000，即 200（x+43）9000，解得 x2又因为 xZ， x=0，1，2故共有三种调运方案三、图象分析法即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法例 3 某投资公司计划投资 A，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 y与投资额 x 成正比，其关系如图，B 产品的利润 y 与投资额 x 的算术平方根成正比，其关系如图（注：利润与投资额单位:万元） ，（1）分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资
4、量的函数关系式；（2）该公司现有 10 万元资金，并计划全部投入 A，B 两种产品中，问:怎样分配这 10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？分析：根据图象，可以求出（1）问中的函数的解析式，再根据题意建立关于利润的表达式，并将其配方，利用函数图象的增长趋势，进而求得最值解：（1）设投资 x 万元，A 产品的利润为 万元， B 产品的利润为 万元，由()fx()gx题意设 ， ，由图知，f（1）0.2， 又 ，1()fk2()gk10.2k41.6 从而 （x） ， （x） 20.80.f ()0.8g（2）设投入 A 产品 x 万元，则 B 产品投入（10-x）万元，设企
5、业利润为 y 万元，令 ，则()1).281(1)yfxg 0xu220.0().0uuu 依据二次函数图象，当 u=2 时， ，此时 maxy46x因此，当投入 A 产品 6 万元， B 产品 4 万元时，该企业获得最大利润，最大利润为 2.8万元品味高考中的数学模型函数是高中数学的重要内容，不仅在数学的各个分支有广泛的应用，而且在生产实践、日常生活和科学实验中，作为解决实际问题的工具，也往往大显身手建立函数模型解决实际问题在高考中比较多见，试题多为解答题，问题的情境多与社会热点、科技新动态或日常生活有关，常考常新近几年来的高考试卷中有关函数的应用题的特点是：试题从实际出发，背景公平，设问新
6、颖、灵活，而解决问题所涉及的数学知识、数学思想方法都是高中课程标准上所要求掌握的基础知识和方法例 某人定制了一批地砖，每块地砖如图 1 所示，是边长为 0.4 米的正方形 ABCD，点E，F 分别在边 BC 和 CD 上，CFE ，ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成CFE，ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米的价格比依次为 321若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设，能使中间的阴影部分成为四边形 EFGH（1）求证四边形 EFGH 是正方形；（2）点 E，F 在什么位置时，定制这批砖的材料费最省？分析：（1）根据图形旋转的不变性（即图形的大小、对应线段的长、对应角的
7、大小，在旋转前后不变）容易证明四边形 EFGH 是正方形；（2）设 CE=x 米，用变量 x 表示定制一块这样的砖的材料费 y 元，建立函数关系，把实际问题转化为求函数的最小值问题解：（1）依题意知，图 2 是图 1 绕点 C，逆时针方向旋转 90形成的则CFE ，CEH，CHG，CFG 为等腰直角三角形，所以四边形 EFGH 是正方形；（2）设 CEx 米，则 BE=（0.4- x）米，制成CFE ，ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米的价格依次为 3a 元、2a 元和 a 元，定制一块这样的砖的材料费 y 元则 2 210.4()0.40.4()y xxa(.)ax2.13x又 0x0.4，a0，所以当 x=0.1 时，y 有最小值即当 CE=CF=0.1 米时，定制这批砖的材料费最省评注：设元、消元、配方等基本功，在解决该应用题中得到充分地体现，因此平时学习要注重基础知识和基本功的训练高考!试:题 库
