1、3.6 探索规律本内容是由学生在学习了字母表示数后，能进行思维发散，寻找生活中的一些数之间的关系，并能用代数式进行表示。该内容不是“纯粹”的数学知识学习，而是特意为学生提供一个创新思维的空间，让学生经历“探索规律”的活动课学习，通过生活中对日历等情景的观察与分析，从不同角度进行思考，用本章学过的字母表示数、代数式、代数式的值等知识去探索数与数或图形之间的变化规律，再用去括号、合并同类项等知识去验证规律。学会用语言、用符号、用字母表示数和表示规律，并体会字母表示数的意义及获得初步数学建模思想。问题与情境情境 1：一首永远也唱不完的儿歌.1 只青蛙 1 张嘴，2 只眼睛 4 条腿，1 声扑通跳下水
2、；2 只青蛙 2 张嘴，4 只眼睛 8 条腿，2 声扑通跳下水；3 只青蛙 3 张嘴，6 只眼睛 12 条腿，3 声扑通跳下水；这样唱下去我们能唱完吗？ 能否用一种方式结束这首儿歌？利用刚学过的字母表示数进行数学建模，可以用一句话来概括“n 只青蛙 n 张嘴，2n 只眼睛 4n 条腿，n 声扑通跳下水” 。情境 2：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣，每天给它脱一件，年底只剩一张皮.” 日历在我们生活中随处可见，它不仅让我们可以很直观地观察出我们需要的数据，其中还蕴涵着很多的数学知识。 （1）我们经常用到的日历中的数字之间都有哪些关系呢？（2）日历上方框中的 9 个数字之和与方框正中间和数字有什
3、么关系？（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（提示：用 a表示方框中间的数，用合并同类项的知识解决问题）通过观察日历中的数字，我们不难发现其中的规律：（1）相邻的两个数字后者比前者大 1，下者总比上者大 7；（2）一方框中的 9 个数字之和是中间数的 9 倍；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立。开眼界探索规律不仅是去探索和发现数学规律，更主要的是经历从特殊到一般，从一般到特殊这种探索规律、验证规律的过程，了解从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。在用去括号、合并同类项等知识的同时，可适当了解以下知识。【杨辉三角】观察杨辉三角图，寻找其中的规律。【几个求和公式】；2)1(3
4、21n；)(52 + 4 + 6 + + 2n = n (n + 1)；.6)131经典例析例 1 观察一列数表：根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第 n 行与第 n 列的交叉点上的数应为_（用含有正整数 n 的的代数式表示） 点拨：通过观察不难发现第 n 行的第一个数为 n，在第 n 行中，后一个数比前一个数大 1，因此第 6 行的第 6 个数应该是 6+6-1=11，第 n 行的第 n 个数应该是 n+n-1=2n-1.解：11 2n-1 评析：通过观察给出的一系列数找出它们的规律或探 索 它 们 之 间 的 数 量 关 系 ， 再 用 数学 方 法 给
5、 予 证 明 （ 即 用 代 数 式 表 示 其 关 系 ） 是 探 索 规 律 的 常 见 题 型 。 解 决 这 类 问 题 的 一般 方 法 是 ： “观 察 、 归 纳 、 猜 想 、 验 证 ”。 另 外 要 注 意 的 是 并 非 题 目 中 都 要 告 诉 什 么是 行 ， 什 么 是 列 ， 这 是 生 活 中 的 基 本 常 识 ， 要 求 能 分 得 清 楚 。例 2 （2007 年安徽）探索 nn 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数) ，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当 n = 2 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1 与 ，所以不同长度值的线
6、段只有 2 种，若用 S 表示不同长度值的线段种数，则 S=2；当 n = 3 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1， ，2， ，2 五种，比 n = 2 时增加了 3 种，即 S = 2 + 3 = 5。5(1) 观察图形，填写下表：来源:学优高考网钉子数(nn) S 值22 233 2 + 344 2 3 ( )55 ( )(2) 写出 (n1)(n1)和 nn 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；1 2 3 4 第一行2 3 4 5 第二行3 4 5 6 第三行4 5 6 7 第四行第一列第二列第三列第四列(用式子或语言表述均可)(3) 对 nn 的钉子板，写出用 n 表示
7、 S 的代数式。点拨:在观察规律时可用“覆盖法” ，即 n = k 时包含了 n = k 1 时的所有情况，如 n = 3 时， S = 2 + 3，当 n = 4 时 ,我们仅需考虑在 n = 3 的基础上增加了几条不同长度的线段，显然由图形易得此时 S = 2 + 3 + 4，以此类推。解：（1）4 2 3 4 5（或 14） （2）类似以下答案均可：nn 的钉子板比( n1) (n1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了 n 种；分别用 a、b 表示nn 与( n1) (n1)的钉子板中不同长度的线段种数，则 a = b n. （3）S = 2 3 4 n.评析：对于刚入初一的同学来说，还
8、不能算出不同线段的具体长度，但可以通过图形直观地感受出线段的长短，再从图形的变化中探索其中的规律.例 3 （2007 年东营市）根据以下 10 个乘积，回答问题.1129 1228 1327 1426 1525 1624 1723 1822 1921 2020（1）试将以上各乘积分别写成一个“ 2 2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由、猜测一个一般性的结论 （不要求证明）点拨：本题有一定难度，对学生的基本能力和发散思维要求较高。第一问不能简单地去猜想，更不能逐个算出结果再找规律，首先应该观察到每组算式中两个因数的
9、和为常数40，这一点有助于第三问总结一般性结论，然后借助于平方差公式计算出对应的和，其实第一问的答案并不唯一，比如 122820 28 2=31225 2,不过我们尽可能让写出的式子形式一致。第二问其实就是简单的计算和大小比较，比较的结果有助于第三问。第三问的实质是总结出一般结论：a,b 为正数，若 abm （定值） ，则 ab （当且仅当 a=b 时2m取等号） ，且 a,b 的差的绝对值越小时，它们的积越大，当 a=b 时它们的积最大。解：112920 2 92；1228 2028 2；1327 20 27 2；1426 20 26 2；152520 25 2；162420 24 2；17
10、23 20 23 2；1822 20 22 2；1921 20 21 2；202020 20 2例如，1129；假设 1129= 2 2， 因为 2 2=（） （） ；所以，可以令11，29解得，20，9故 （或2901129（20 9） （209）=20 29 2 这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是：18137461524173 若 ，a，b 是自然数，则 ab20 2400 若 ab40，则0ab20 2400 若 abm ，a，b 是自然数，则 ab 若 abm，2则 ab 若 a1b 1a 2b 2a 3b 3a nb n40且| ma1b 1| |a2b 2|a 3b 3| |
11、 anb n|，则 a1b1a 2b2a 3b3 anbn 若a1b 1a 2b 2a 3b 3a nb nm 且| a1b 1|a 2b 2| a3b 3| anb n|，则 a1b1a 2b2a 3b3 a nbn 评析：第 3 问其实是一个开放性问题，可以有很多种正确的答案，根据考试的评分标准，该问共 3 分，给出结论或之一的得 1 分；给出结论或之一的得 2 分；给出结论或之一的得 3 分由此可见，我们在分析和解决问题时，要尽可能地做到深入和全面，尽量挖掘其数学本质。即学即练1 （2007 年佛山市）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第 2 007 个图形是（ ）.A B C D来源
12、:gkstk.Com 2 （2007 年湘潭市）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示： 按照上面的规律，摆 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）.nA B C D26864n8n3 （2007 年遵义市）如图是 2007 年 5 月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）.A27 B36 C40 D54来源:学优高考网 gkstk日 一 二 三 四 五 六1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 314
13、（2007 年河北）我国古代的“河图”是由 33 的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等图 4 给出了“河图”的部分点图，请你推算出 P 处所对应的点图是（ ）.A B C D5 （2007 年济南市）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示： 1236141452056363017414217则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是（ ）.A B C D132601495606 （2007 年陕西）小说达芬奇密码中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，则这列数的第
14、8 个数是 7 （2007 年陇南市）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第 6 个图案中灰色瓷砖块数为_ _来源:gkstk.Com第 1 个图案 第 2 个图案 第 3 个图案P8 （2007 年赤峰市）观察下列各式： ；2215()105；225(1)056依此规律，第 个等式（ 为正整数）为 3 n9 （2007 年自贡市）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 ，59， ， ，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，12653写出第 n（n1）个数据是_10 （2007 年邵阳市）观察下列等式：， ， ，将以上三个等式两边分别相加得：2132143144（1）猜
15、想并写出： 1()n（2）直接写出下列各式的计算结果： ；1342067 12(1)n（3）探究并计算： 来源:学优高考网 gkstk124682068中考风向标中考对于探索规律问题的考察常见于选择题和填空题，数目在 1 个左右，随着课程改革的逐渐深入，对探索规律的考察也逐渐渗透到解答题之中，甚至以单独的解答题出现。这种发展方向实质上体现了课程标准中要求达到的目标之一不是培养学生“学新知识” ，而是去“生长新知识” ；也为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础；同时也为发展学生勇于探索、勇于创新的科学精神作了有益的尝试。1 （2007
16、 年诸暨市）如图，用同样规格的、带花纹的和不带花纹的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题。n=1 n=2 n=3在第 n 个图中，共有 白块瓷砖。 （用含 n 的代数式表示）评析：观察给出三个图形，可得第 n 个图形中间白色的正方块的长边有 n+1 个正方块，短边有 n 个正方块，故共有 n(n 1)块白块瓷砖。2 （2007 年温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下：1 1 2 3 5再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4
17、 个、5 个正方形拼成如下矩形并记为、.相应矩形的周长如下表所示：11 11 2112 31123 5 若按此规律继续作矩形，则序号为的矩形周长是 。评析：首先由该组数的规律我们可以写出它的前 11 个数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，再由构造矩形的规律不难发现序号为的矩形右边是边长为 89 的正方形，而整个矩形的长为 55+89=144，宽为 89，故其周长为(144+89)2=466.探索规律 “即学即练”序号 周长 6 10 16 261.C 2.A 3.C 4.C 5. B 6.21 7.14 8.9. 或 （只填一个即可） 10.(1)22(105)(1)05n)4(2n4)(2(2) (3)76103
