1、函数与方程练习题一、选择题1函数 f(x)ln( x1) 的零点所在的大致区间是 ( )2xA(0,1) B(1,2)C(2， e) D(3,4)2函数 f(x)log 2x x2 的零点个数为( )12A0 B1C2 D33利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8y2 x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482y x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24x 2.2 2.6 3.0 3.4 y2 x 4.595 6.063 8.0 10.556 y x2 4.84 6.76 9.0 11.56 那么方程 2x x2 的
2、一个根位于下列区间的( )A(0.6,1.0) B(1.4,1.8)C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)4已知奇函数 f(x)、 g(x)， f(x)0 的解集是( a2， b)， g(x)0 的解集为 ，则(a22， b2)(a20)在区间8,8上有四个不同的根x1， x2， x3， x4，则 x1 x2 x3 x4_.三、解答题9已知二次函数 y f1(x)的图象以原点为顶点且过点 (1,1)，反比例函数y f2(x)的图象与直线 y x 的两个交点间距离为 8， f(x) f1(x) f2(x)(1)求函数 f(x)的表达式；(2)证明：当 a3 时，关于 x 的方程 f(x) f
3、(a)有三个实数解10设 f(x)3 ax22 bx c，若 a b c0， f(0)0， f(1)0.求证：(1)a0 且2 1 ；ba(2)方程 f(x)0 在(0,1)内有两个实数根参考答案1B2解析：由 f(x)log 2x x20 得 log2x x2，在同一坐标系内画出函数 ylog 2x 和 y x2121212的图象如右图，可知答案选 C.答案：C3C4解析： f(x)g(x)0Error!或Error!由知Error! a2 x .b2由知Error! Error! x a2，综上可知： x .b2 (a2，b2) (b2， a2)答案：C5C6解析：由题意，方程 ax25
4、x b0 的两根为3、2，由韦达定理得Error!则所求不等式为 6x25 x 10，解之得 x 或 x1.16答案：xx 16或 x 17 f(a)f(m)0)在区间8,8上有四个不同的根 x1， x2， x3， x4，不妨设 x1 x2 x3 x4 由对称性知x1 x2 12， x3 x44 所以 x1 x2 x3 x41248.答案：89解析：(1) 由已知，设 f1(x) ax2，由 f1(1)1，得 a1 ，f1(x) x2.设 f2(x) (k0)，它的图象与直线 y x 的交点分别为kxA( ， )， B( ， )k k k k由 8，得 k8， f2(x) .故 f(x) x2
5、 .|AB|8x8x(2)证明：法一：由 f(x) f(a)，得 x2 a2 ，8x8a即 x2 a2 .8x8a在同一坐标系内作出 f2(x) 和 f3(x) x2 a2 的大致图象，其中 f2(x)的图象是以坐标轴为8x8a渐近线，且位于第一、三象限的双曲线， f3(x)的图象是以 为顶点，开口向下的抛物(0， a2 8a)线因此， f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x) f(a)有一个负数解又 f2(2)4， f3(2)4 a2 ，8a当 a3 时， f3(2) f2(2) a2 80，8a当 a3 时，在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2， f(2)在 f
6、2(x)图象的上方f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x) f(a)有两个正数解因此，方程 f(x) f(a)有三个实数解法二：由 f(x) f(a)，得 x2 a2 ，8x8a即( x a)(x a )0，得方程的一个解 x1 a.8ax方程 x a 0 化为 ax2 a2x80 ，8ax由 a3， a432 a0，得x2 ， x3 ， a2 a4 32a2a a2 a4 32a2ax20， x1x2，且 x2x3.若 x1 x3，即 a ，则 a2 a4 32a2a3a2 ， a44 a，a4 32a得 a0 或 a ，这与 a3 矛盾， x1x3.34故原方程 f(x) f(a)有三个实数解10证明：(1) f(0)0， f(1)0 ，c0,3 a2 b c0.由 a b c0 消去 b 得 a c0，由 a b c0 消去 c 得 a b0,2 a b0，2 1.ba(2)f(0)0， f(1)0 ，而 f b c，(12) 3a4a b c0， c a b，f b a b 0，(12) 3a4 a4f(0)f 0， f f(1)0.(12) (12)因而函数 f(x)在 ， 内各有一个零点，(0， 12) (12， 1)即 f(x)0 在(0,1)内有两个实数根高考*试题库
