1、几何概型交汇点剖析几何概型的两大特点是无限性和等可能性几何概型的一个题目往往包含多个知识点，这类综合题背景新颖，能力要求较高，内在联系深刻，故与其他知识交汇也成为几何概型的显著特征，下面通过几例剖析一、与随机数相关的几何概型例 1 将数 2.5 随机地分成两个非负实数，例如 2.143 和 0.357 或者 3和 2.5，然后对每一个数取与它最接近的整数，如在上述第一个例子中是取 2 和 0，在第二个例子中取 2 和 1那么这两个整数之和等于 3 的概率是多少？分析：所谓随机地将 2.5 分成两个非负实数，就是在区间 .5， 上随机地取一个数 x，另一个数 y 就是 2.5x全体基本事件是线段
2、 02.5， 内的所有点，然后考虑取整后两数之和等于 3 的点的取值范围解：根据题意知，若 0.5， ，则 .y， ，和数等于 2；若 0.51x， ，则1.52y，和数等于 3；若 1.x， ，则 1.5， ，和数等于 2；若 .2， ，则0.，和数等于 3；若 2.5， ，则 0.y， ，和数等于 2故和数等于 3 的 x 值的取值范围为 .1.52， ， ，其长度为 1，于是所求事件的概率12.5P二、与方程相关的几何概型例 2 设 p 在0，5上随机地取值，求方程 2104px有实数根的概率解：一元二次方程有实数根 0 ，而 2214(1)p ，解得 或 2 ，故所求概率为 05235
3、P， ， ， 的 长 度， 的 长 度 三、与不等式相关的几何概型例 3 在集合 ()|054xyy， ， 内任取一个元素，能使代数式240xy右的概率是多少？解：如图，集合 ()054xyy， |， 为矩形内（包括边界）的点的集合，集合 ()24xy， | 表示坐标平面内直线 20x右上方（包括直线）所有点的集合，所以所求概率为1(53)42SP阴 影矩 形四、与矩形相关的几何概型例 4 如图 2 所示，在矩形 ABCD 中，AB5，AD7现在向该矩形内随机投一点P，求 90AB的概率解：由于是向该矩形内随机投一点 P，点 P 落在矩形内任一点的机会是均等的，故可以认为矩形 ABCD 是区域
4、 要使得 90AB，须满足点 P 落在以线段 AB 为直径的半圆内，以线段 AB 为直径的半圆可看作区域 d记“点 P 落在以线段 AB 为直径的半圆内”为事件 A，于是求 90P的概率转化为求以线段 AB 为直径的半圆的面积与矩形ABCD 的面积的比，依题意，得2158d，矩形 ABCD 的面积为 35D，故所求的概率为258()36PA点评：挖掘出“点 P 必须落在以线段 AB 为直径的半圆内”是解答本题的关键例谈几何概型的计算几何概型是将古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性的一种求概率的方法它是借助测度来表示样本区域与所考察的样本几何概型的计算一般按下列步骤进行：（1）选取合适的
5、模型，即样本区域 ；（2）在坐标系中正确表示 与所求概率事件 A 所在的区域 d；（3）计算 D 与 d 的测度 Dd， ；（4）计算概率 ()PA例 1 在区间 (01)， 中随机地取出两个数，求这两个数的和小于 65的概率分析：解决本题的关键是如何将其归结为一个几何概型，设 x，y 分别表示随机所取的两个数，则由题意知 x，y 均等可能地在（0，1）中取值，从而（x，y）等可能地在平面区域 ()|Dx， ， 中取值，将 作为样本区域，这就是一个几何概型问题解：如图 1，设 x、y 分别表示从（0，1）中取出的两个数，则样本区域 ()| 1xy， ， 记 A 为事件“两个数的和小于” ，即
6、6()|()5xyD， ， ， ，因为 的面积 1DS，A 的面积240.685d于是由几何概型的概率公式得到 ()0.68dDSPA例 2 甲、乙两人相约于下午 1:002:00 之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在 1:002:00 之间有四班客车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，2:00，分别求他们在下述情况下同坐一班车的概率（1）约定见车就乘；（2）约定最多等一班车分析：本题是几何概型中的典型例题约会问题的变形分别作出表示事件的所在区域，利用构造思想及数形结合思想，结合几何概型知识加以解决解：设甲、乙到站时间分别是 x 时，y 时，则x2，1y
7、2，试验区域 D 为点（x，y）所形成的正方形，以 16 个小方格表示，如图 2 所示（1）如图 3，约定见车就乘的事件所表示的区域 d 为图中 4 个黑的小方格所示，所求概率为 46；（2）如图 4，约定最多等一班车的事件所表示的区域 d 为图中 10 个黑的小方格所示，所求概率为 1058例 3 随机地向半圆 2(0)yax内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比，求该点与原点连线与 x 轴的夹角小于 4的概率分析：题目中“随机地”即表示试验结果的等可能性， “点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比”更强调试验的等可能性，因为试验结果是无限个，因此容易想到用几何概型来计算解：如图 5，设事件 A 表示“点与原点连线与 x 轴的夹角小于的概率” 于是样本区域 2()|0Dxyax， ，即为图 5 中的半圆，其面积为 21；而 ()|Axyxy， ， ， ，其面积为 214a由几何概型的概率公式有2()1PAa
