1、函数的奇偶性高考要求：了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题知识点归纳：1 函数的奇偶性的定义； 2 奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象y关于原点对称；3 为偶函数()fx()|)fx4 若奇函数 的定义域包含 ，则f0()0f5 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； 6 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；7 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，()0fx(
2、)1fx8 设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：f()g12,D奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇1 判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f( x)= f(x)f(x) f(x)=0；2 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；3 若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0,因此， “f(x)为奇函数”是“f(0)=0“的非充分非必要条件；4 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5 若存在常数 T，使得 f(x+T)=f
3、(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立，则称 T 为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知
4、条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求（5）函数的周期性定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒)(xfTf成立则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期例：（1）若函数 在 R 上是奇函数，且在 上是增函数，且)(xf 01，)()2(fxf则 关于 对称； 的周期为 ；x)(xf 在（1，2）是 函数（增、减） ；)(xf = ，则 时时0)(xf2)(log182f（2）设 是定义在 上，以 2 为周期的周期函数，且f,为偶函数，在区间2，3上， = ,则 = )(xf )(xf4)3时2,0x)(xf题型讲解：1 对函数单调性和奇偶
5、性定义的理解例 4 下面四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此正确，错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确若 y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f(x)=0，但不一定xR，如例 1 中的(3)，故错误，选 A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零2 复合函数的性质复合函数 y=fg(x)是由函数 u=g(x)和 y=f(
6、u)构成的，因变量 y 通过中间变量 u 与自变量 x 建立起函数关系，函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数 u=g(x)在区间m，n上是单调函数，且函数 y=f(u)在区间g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是单调函数，那么若 u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数 y=fg(x)为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则 y=fg(x)为减函数(2)奇偶性规律若函数 g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时
7、，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数例 6 甲、乙两地相距 Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c kmh，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(kmh)的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 a 元(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)(平均速度)就可以解决故所求函
8、数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckmh，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决由于 v v 0，v -v 0，并且1221又 S0，所以 即则当 v=c 时，y 取最小值说明：此题是 1997 年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过 c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大例 1 判断下列各函数的奇偶性：（1） ；（2） ；1()xfx2lg(1)|xf（3）2(0)()fx解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称， 为非奇非11,)()fx偶函数（2）由 得定义域为 ，20|x(,0), ，2lg(1)()fx2lg1x
9、为偶函数22l()l()()f x(f()fx（3）当 时， ，则 ，0xx22() ()f f当 时， ，则 ，2()xxx综上所述，对任意的 ，都有 ， 为奇函数(,)xff()f例 2 已知函数 对一切 ，都有 ，()f,yR()()fxyfy（1）求证： 是奇函数；（2）若 ，用 表示x3a12f解：（1）显然 的定义域是 ，它关于原点对称在 中，()f ()()xyfy令 ，得 ，令 ，得 ，yx(0)()fxf0xy()0()ff ， ，即 ， 是奇函数()f 0()fx（2）由 ， 及 是奇函数，3a()fxyyfx得 (1)(6434fffa例 3（1）已知 是 上的奇函数，且
10、当 时， ，)xR(0,)x3()1)fx则 的解析式为()fx3(1),f（2） （高考 计划考点 3“智能训练第 4 题” ）已知 是偶函数，A()fx，当 时， 为增函数，若 ，且 ，则 xR0()fx120,x12|（ ）BA12()()ffB12()()ffCxDx例 4 设 为实数，函数 ，a2()|1faxR（1）讨论 的奇偶性； （2）求 的最小值()fx()f解：（1）当 时， ，此时 为偶函数；02()|fxxf()fx当 时， ， ，a2()1fa|1a (),(),f f此时函数 既不是奇函数也不是偶函数fx（2）当 时，函数 ，a2213()()4fxaxa若 ，则函
11、数 在 上单调递减，函数 在 上的最小值1f,(f,为 ；2()f若 ，函数 在 上的最小值为 ，且a()fx,a13()24fa1()2ffa当 时，函数 ，xa2213()()4fxaxa若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 ；12,)(f1()(2ffa若 ，则函数 在 上单调递增，函数 在 上的最小a()fx,)a()fx,)a值 2()1f综上，当 时，函数 的最小值是 ，当 时，函数()fx34a12的最小值是 ，()fx2a当 ，函数 的最小值是1a()fxa例 4 已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfxR5T是奇函数又知 在 上是一次函数，在 上是二()1yf
12、x()yfx0,11,4次函数，且在 时函数取得最小值25证明： ；求 的解析式；求 在()40f(),4f()yfx上的解析式4,9解： 是以 为周期的周期函数， ，()fx5()5)(1ff又 是奇函数， ，1)y14 ()40f当 时，由题意可设 ，,x2()5 (0)fxaa由 得 ， ，(1)f2(154a2 2)xx 是奇函数， ，(yf (0)f又知 在 上是一次函数，可设 ，而()yfx0,1 ()01)fxk，2(1)53f ，当 时， ，3kx()3fx从而当 时， ，故 时，0f 1x()3fx当 时，有 ，46x15x()5)315fx当 时， ，9422(7)xx 2
13、3,6()7)59xxf学生练习 1 函数 f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数，则 b= 2 函数 F(x)=(1+2/(2x1)f(x)(x0)是偶函数，且 f(x)不恒等于零，则 f(x) ( A )(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数，又是偶函数 (D)非奇非偶函数3 已知函数 f(x)=x2+lg(x+ ),若 f(a)=M,则 f(a)等于 （ A ）12x(A)2a2M (B)M2a2 (C)2Ma2 (D)a22M5 若对正常数 m 和任意实数 x,等式 成立,则下列说法正确的1()()fxfxm是 ( )A 函数 是周期函数,最小正周期为 2m(fxB 函数
14、 是奇函数,但不是周期函数)C 函数 是周期函数 ,最小正周期为 4 m(fxD 函数 是偶函数 ,但不是周期函数 )(利用周期函数的定义证明答案:C)4 已知 f(x) 是奇函数，且当 x(0,1)时，f(x)=ln(1/(1+x), 那么当 x(1,0)时，f(x)= ln(1x) 5 试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和6 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(1cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函数） ;(2)f(x)=x/(ax1)+x/2 (a0且 a1)(偶函数）(3)f(x)= （偶函数）说明奇偶性的对称条件和分段函数奇偶性0)1(2x
15、x的判别方法7 已知 f(x),g(x)都是奇函数， f(x)0 的解集是(a 2,b),g(x)0 的解集是(a 2/2,b/2),则f(x)g(x)0 的解集是 8 定义在区间(,+)的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间0,+)上的图象与 f(x)的图象重合，设 ab0,给出下列不等式f(b)f(a)g(a)g(b); f(b)f(a)g(b)g(a);f(a)f(b)g(b) g(a)其中正确不等式的序号是 9(1)已知函数 f(x)的周期为 4，且等式 f(2+x)=f(2x)对一切 xR 恒成立，求证 f(x)为偶函数；(2)设奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x+4)=f(x),当 x4,6时，f(x)=2 x+1,求 f(x)在区间2,0上的表达式(2 x+4+1) (2x0)课前后备注
