1、专题研究之二（不等式中恒成立问题的解法研究）在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设 ， （1） 上恒成立)0()(2acbxxf Rxf在0)(；（2） 上恒成立 。0且aRf在 0且a类型 2：设 )()(cxxf（1）当 时， 上恒成立,f在，0)(20)(2fabfab或或上恒成立,0xf在 )(f（2）当 时， 上恒成立a,0)(xf在 0)(f上恒成立,0)(xf在 )(20)(2fabfab或或类型 3： min)()( xfIxxf恒 成 立对 一 切。a恒 成 立对 一 切类型 4：)
2、( )()()()( maxinIx gxfxgxfIxgf 的 图 象 的 上 方 或的 图 象 在恒 成 立对 一 切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数 有：,)(nmxbkf 0)(0)(,)(0)( nfmfnfxf 恒 成 立恒 成 立例 1：若不等式 对满足 的所有 都成立，求 x 的范围。)1(22xm2m解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：， ；令 ，则 时，0)1()(2xm)1()()2xf 2m恒成立，所以只需 即 ，所以
3、 x 的范围0f 0)(f0)2()(2是 。)231,7(x二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数 有：),0()(2 Rxacbxaxf （1） 上恒成立 ；Rxf在0)( 且（2） 上恒成立在 且例 2：若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。02)1()(2xm解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2） 时，只需 ，所以， 。0)1(8)(12m)9,1三、利用函数的最值（或值域）（1） 对任意 x 都成立 ；mxf)( xfin)(（2）
4、对任意 x 都成立 。简单计作：“大的大于最大的，小的max小于最小的” 。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在 ABC 中，已知 恒成 2|)(|,2cos)4(sin)(2 mBfBBf 且立，求实数 m 的范围。解析：由，1,0(sin,0,1si2co)24(sin)( Bf ， 恒成立， ，即 恒3,1f |Bf2)(mBf2)(Bf成立， ,(m例 4：（1）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。,0cosinxa解析：由于函 ，显然函数有最大43,),4sin(2cosin xxa值 ， 。2如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式
5、 恒成立的实数 a 的范围。)2,0(4,cosinxa解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 的最大值取不到 ，即 a 取 也满足条件，所以 。xysi 2a所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知 ，求实数恒 成 立有时当 21)(,)1(,)(,102 xfxaxfaa 的取值范围。解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数xxf )(22， 得的图象
6、，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由 得122)(1aa及到 a 分别等于 2 和 0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数xxy)(2及在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在x12 )1,()1,(在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，y 2a只 有时而 才可以，所以 。210aa时 ， 只 有 2,1()a由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。例 6：若当 P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式 恒成立，1)(22yx 0cnm则 c 的取值范围是（ ）A、 B、 1c 1
7、2cC、 D、2解析：由 ，可以看作是点 P(m,n)在直线 的右侧，而点 P(m,n)0cnm0cyx在圆 上，实质相当于是 在直线的右侧并与它相离或相1)(22yx 1)(22x切。 ，故选 D。121|0|2c其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数 x，不等式 恒成立的充要条),(0cossinRcbaxba件是_。 2bc2、设 上有意义，求实数 a 的取值范围. 。1,(7932lg在ayxx ),953、当 恒成立，则实数 a 的范围是_。1|),1(xLogxa时 ， ),31,0(4、已知不等式： 对一切大于 1 的自32)1(21.21aLognn然数 n 恒成立，求实数 a 的范围。 )5,(
