1、学业分层测评( 二十一)(建议用时：45 分钟)学业达标一、填空题1若函数 f (x)mx n 有一个零点是 2，则函数 g(x)nx 2mx 的零点是_【解析】 由条件知，f (2)2mn0，n2m .g(x)nx 2mx 2mx ，由 g(x)0，得 x0 或 x .(x 12) 12g(x)的零点是 0 和 .12【答案】 0 和122方程 2x x0 在下列哪个区间内有实数根_( 填序号)(2 ，1)；(0,1) ； (1,2)；(1,0)【解析】 令 f (x)2 xx，则 f (2) 0，74f (1) 0，f (0)1 0，f (1)30，f (2) 60.12f (1) f (
2、0) 10，( 12)f (x)2 xx 的零点在区间 (1,0)内，故 2x x0 在区间(1,0)内有实数根【答案】 3已知函数 f (x)2 x x，g(x)xlog 2 x，h (x)x 3x 的零点依次为a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为 _【解析】 在同一坐标系中画出 y2 x 和 yx 的图象，可得 a0，c 0， bc a.【答案】 bc a4已知函数 f (x)log 2x x，若实数 x0 是方程 f (x)0 的解，且(13)0x 1x 0，则 f (x1)的值为_恒为负；等于零；恒为正；不小于零【解析】 因为 x0 是方程 f (x)0 的解，所以 f (x0)0
3、，又因为函数 f (x)log 2x x 在(0 ，) 上为增函数，且 0x 1x 0，所以有 f (x1)f (x 0)0.(13)【答案】 5设函数 f (x)Error!若 f (4)0，f (2)2，则关于 x 的方程 f (x)x 的解的个数是 _. 【解析】 由已知，得Error!解得Error!f (x)Error!作图象(略) 得函数有 2 个零点【答案】 26关于 x 的方程 3x25xa0 的一根大于2 小于 0，另一个根大于 1小于 3，则实数 a 的取值范围是_【解析】 由 f (x)3x 25x a 满足条件的大致图象 (略)可知Error! 解得12a0，故实数 a
4、 的取值范围是(12,0)【答案】 (12,0)7已知对于任意实数 x，函数 f (x)满足 f (x)f (x)若 f (x)有 2 015 个零点，则这 2 015 个零点之和为_【解析】 设 x0 为其中一根，即 f (x0)0，因为函数 f (x)满足 f (x)f (x) ，所以 f (x 0)f (x 0)0，即x 0 也为方程一根，又因为方程 f (x)0 有 2 015 个实数解，所以其中必有一根 x1，满足x1x 1，即 x10，所以这 2 015 个实数解之和为 0.【答案】 08若函数 f (x)的定义域为 (，0)(0，)，且 f (x)为偶函数，又 f (x)在(0，
5、 ) 上是减函数，f (2) 0，则函数 f (x)的零点有_个【解析】 依据给出的函数性质，易知 f (2)0，画出函数的大致图象如图：可知 f (x)有两个零点【答案】 2二、解答题9求函数 f (x)2 x|log0.5 x|1 的零点个数【解】 函数 f (x)2 x|log0.5 x|1 的零点即 2x|log0.5 x|10 的解，即|log 0.5 x| x 的解，作出函数 g(x)|log 0.5 x|和函数 h(x) x 的图象，(12) (12)由图象可知，两函数共有两个交点，故函数 f (x)2 x|log0.5 x| 1 有 2 个零点10已知 y f (x)是定义域为
6、 R 的奇函数，当 x0，)时，f (x)x 22x. (1)写出函数 yf (x)的解析式；(2)若方程 f (x)a 恰有 3 个不同的解，求 a 的取值范围【解】 (1)当 x(，0)时，x(0，)，yf (x) 是奇函数，f (x)f (x)( x)22(x)x 22x，f (x)Error!(2)当 x0 ， ) 时，f (x)x 22x(x1) 21，最小值为1；当 x(，0)时，f (x)x 22x 1(x1) 2，最大值为 1.据此可作出函数 yf (x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程 f (x)a 恰有 3 个不同的解，则 a 的取值范围是(1,1)能力提升1函数 f
7、(x)Error!零点的个数为_【解析】 x 0 时，令 x22x30，解得 x 3，x 1(舍去)，f (x)在( ，0 上有一个零点；x0 时，f (x )ln x2 在(0，)上递增，f (1)20 ，f (e3)10.f (1)f (e 3)0，f (x )在(0 ，)上有且只有一个零点综上，f ( x)在 R 上有 2 个零点【答案】 22已知函数 f (x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_【解析】 奇函数的图象关于原点对称，若 f (x)有三个零点，则其和必为 0.【答案】 03若方程 x22|x|a0 恰有 3 个实根，则 a 的取值范围是_【解析】 本题可化为
8、 yx 22| x|与 ya 这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a0 时两个图象才恰有 3 个交点【答案】 a04已知 f (x)|x 21|x 2kx ，若关于 x 的方程 f (x)0 在(0,2) 上有两个解x1，x 2，求 k 的取值范围. 【解】 当 0x 1 时，方程化为 1kx0，可知两解在(0,1 范围内不可能当 1x2 时，方程化为 2x2kx 10，若两解在(1,2) 范围内，则 x1x21，这与 x1x2 矛盾故两解在(1,2)范12围内不可能若方程的一解在(0,1 内，另一解在(1,2) 内，则Error! 解得 k1.72故 k 的取值范围是 .( 72， 1)
