1、难点 17 三角函数式模型的简单应用三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.难点磁场() 已知ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B. ，BCcos21cos求 cos 的值.2CA案例探究例 1在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在岛北 30东，俯角为 60的 B处，到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60西、俯角为 30的 C 处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的 D 处，问此时船距岛 A 有多远
2、？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在 RtPAB 中，APB=60 PA=1，AB= (千米)3在 Rt PAC 中，APC=30 ，AC= (千米)3在ACB 中，CAB=30+60=90)/(302610)(22时千 米ABCB(2)DAC=9060=30 sinDCA=sin(180ACB )=sinACB= 103BCAsinCDA=si
3、n(ACB 30)=sinACB cos30cos ACBsin30 .103201)3()103(22在ACD 中，据正弦定理得 ，CDAsinsi 13920)3(sinCDA答：此时船距岛 A 为 千米.19例 2已知ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B，设 x=cos ，f (x)=cosB(2CA).CAcos1(1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域.命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属级题目.知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性
4、质以及函数的有关性质去解决问题.错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出 f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意| |的范围.2CA解：(1)A+ C=2B，B=60，A+C=120,34212 )cos()cs(ocs)( xAxf0| |60，x=cos ( ，1CA2C又 4x230，x ，定义域为( ， )( ，1.2332(2)设 x1x 2，f( x2)f( x1)= 4212x= ，若 x1，x 2( )，则)34)(2211x3,4x12
5、30，4 x2230，4x 1x2+30，x 1x 20，f (x2)f (x1)0即 f(x2)f(x 1)，若 x1，x 2( ，1 ，则 4x1230.4x2230，4x 1x2+30，x 1x 20，f(x 2)f(x 1)0.即 f(x2)f(x 1)，f(x) 在( , )和( ，1 上都是减函数.3(3)由(2)知，f(x)f( )= 或 f(x)f (1)=2.21故 f(x)的值域为(， )2，+ .锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦
6、定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.歼灭难点训练一、选择题1.()给出四个命题：(1)若 sin2A=sin2B，则ABC 为等腰三角形；(2) 若sinA=cosB，则ABC 为直角三角形；(3)若 sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC 为钝角三角形；(4)若 cos(AB)cos(BC)cos(C A)=1，则ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题2.() 在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则的值为_.2tan32tant3.() 在ABC 中，A 为最小角，C
7、 为最大角，已知 cos(2A+C)= ，sin B= ，则 cos2(B+C)=_.345三、解答题4.() 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC =6，CD=DA=4，求四边形 ABCD 的面积.5.()如右图，在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 I=k，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂2sinr的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？6.() 在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，.27cos2sin4AC
8、B(1)求角 A 的度数；(2) 若 a= ，b+c=3，求 b 和 c 的值.37.() 在ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a、b、3c 成等比数列，又AC= ，试求 A、B、C 的值.28.()在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点，使沿线段 DE 折叠三角形时，顶点 A 正好落在边 BC 上，在这种情况下，若要使 AD 最小，求 ADAB 的值.参考答案难点磁场解法一：由题设条件知 B=60，A+C=120.设 = ，则 A C=2 ，可得 A=60+ ，C =60 ，2 ,43cossin43co1sin23co1sin23co1 )60(
9、)60( 222所 以依题设条件有 ,4sB.23cos,21csB整理得 4 cos2 +2cos 3 =0(M)(2cos )(2 cos +3)=0，2 cos +30，2cos =0.从而得 cos .2CA解法二：由题设条件知 B=60，A+C=1202cos1,60cos，把式化为 cosA+cosC=2 cosAcosC ，利用和差化积及积化和差公式，式可化为)cos()cos(2cos2CA， 将 cos =cos60= ，cos(A+C)= 代入式得：121)cos(22cosCA将 cos(A C)=2cos2( )1 代入 ：4 cos2( )+2cos 3 =0，(*)
10、，CA2.2cos:,02cos2,032cos,)3( CA从 而 得歼灭难点训练一、1.解析：其中(3）(4）正确.答案： B二、2.解析：A+B+C= ， A+C=2B，.32tan32tant )2tan1(ta,)(,CAA CAC故 答案：3.解析：A 为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+ C)= ，sin(2A+C)= .5453C 为最大角，B 为锐角，又 sinB= .故 cosB= .453即 sin(A+C)= ，cos(A+C)= .5453cos(B+C )=cosA =cos(2A+C)( A+C)= ，254cos2(B+C )=2cos
11、2(B+C)1= .6257答案： 657三、4.解：如图：连结 BD，则有四边形 ABCD 的面积：S=SABD +SCDB = ABADsinA+ BCCDsinC2121A+C=180 ，sinA=sinC故 S= (ABAD+BCCD)sinA= (24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD 中，BD 2=AB2+AD22ABADcosA=2016cos A在CDB 中，BD 2=CB2+CD22CB CDcosC=5248cosC2016cosA =5248cosC， cos C=cosA，64cosA =32，cosA= ，又 0A180，A=120 故 S=16sin
12、120=8 .1 35.解：R= rcos ，由此得： ，2,cosRrRhRkI RkkkrI 2tan,3sin,392 )3()i1)(sin)(2 cosncoii 2222 此 时时 成 立等 号 在由 此 得7.解：由 a、b、3c 成等比数列，得：b 2=3acsin 2B=3sinCsinA=3( )cos(A+C)cos(A C)1B= (A+C).sin 2(A+C)= cos(A+C)cos 32即 1cos 2(A+C)= cos(A+C)，解得 cos(A+C)= .10A+C ，A+C= .又 A C= A= ，B= ，C= . 32273128.解：按题意，设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点，显然 A、P 两点关于折线 DE 对称，又设BAP= ，DPA= ，BDP=2 ，再设 AB=a，AD=x，DP=x .在ABC 中，APB=180 ABPBAP=120 ，由正弦定理知： .BP=APBsinsi)120sin(在PBD 中， ,60sin2)120sin(,6, xaxD从 而所 以.3)260sin()120sin(6aax0 60，6060+2 180，当 60+2 =90，即 =15时，sin(60+2 )=1，此时 x 取得最小值 a，即 AD 最小，)32(3a AD DB=2 3.3
