1、第 14 讲 函数模型及其应用（第一课时）一、学习目标：了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会中普遍使用的函数模型)的广泛应用了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用。二、基础知识：1常用的函数模型有： （一次函数） ，二次函数， （指数函数） ， （对数函数） ，幂函数。2指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间 上，尽管函），（ 0数 ， 和 都是增函数，但是它们的 （增)1(ayx )1(logaxy)0(nxy长速
2、度）不同，而且不在同一个“档次上” 。随着 的增大， 增长速度 )1(ayx， （越来越快）会越过并且远远大于 的 ；（增长速度）而)(xyn的增长速度会 ， （越来越慢）)1(logaxy因此，总会存在一个 ，当 时，有 。 （ ） 。00xxnalog3函数模型的应用实例的基本题型：（1）给定函数模型解决实际问题；（2）建立（确定性）的函数模型解决实际问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题。4解应用题的基本步骤：审题、设量、建模、解模、还原二、基础练习：1某种商品，现在定价每件 元，每月卖出 件，根据市场调查显示：定价每上涨 成，pnx卖出的数量将会减小 成，如果涨价后的销售总金额是现在
3、的 倍，则用 来表示 的y 2.1y函数关系式为 。 102x解：根据题意可列式 。 ，npynp.)( .)10(yx从而 。102xy2某公司租地建仓库，每月土地占有费 与仓库到车站的距离成反比；而每月库存货物1y的运费 与到车站的距离成正比。如果在距车站 处建仓库，这两项费用分别为 万2y 0km2元和 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 处 58 k解：由已知 ， 0.8 （ 为仓库与车站的距离） 。费用之和为x22yx0.8 ，当且仅当 0.8 ，即 时，等号成立。xy21 820xx25x3根据调查，某厂生产的一种产品 月份盈利为 万元（ ） ，近似地满n)(nf
4、13,足 . ，为了获得一年的最大利润，那么该产品每年2)(13()2enef )718只需生产 个月。8 解： ，欲有利润，则 ，即 ，)()22f 0)(nf 02132n ，因此，只需从 3 月份开始生产到 10 月份，共生产 8 个月。1n四、例题选讲：1（金榜 P53） 电信局为了配合客户不同意需要，设有 、 两种优惠方案。这两种方案应付电话费AB（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分） 。(注：图中 ，)试问：MNCD（1）若通话时间为 小时，按方案 、 各付话费多少2AB元？（2）方案 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围，方案 才会比方
5、案 优惠。解：由图知， ， ， ，)98,60()230,5()168,5( 。MNCD设这两种方案应付话费与通话时间的函数关系分别为 ， ，则)(xfAfB);60(8103,9)(xxfA ).50(1803,6(xfB（1）通话 2 小时两种方案的话费分别为 116 元和 168 元。（2）因为 。)(1)( nnfnfBB 3.方案 从 500 分钟以后，每分钟收费 元。3.0（3）由图知，当 时， ，当 时， ，60xBAf50xBAf当 时，由 ，得 ，即当通话时间在 内，方案56f8),380(比方案 优惠。BA2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 （万元
6、）与年产量y（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 ，已知此生产线年产x 80452xy量最大为 210 吨。（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）生产每吨产品的平均成本为： ，xyf)( )210(4805x由于 ，当且仅当 时，即480524805xx 324825时等号成立。2（2）设年利润为 ，则s )0(02x802x，由于 在 上为增函数，故当)10(x168)(52xs1,(时， 的最大值为 1660。s答：（1）年产量为 200 吨时，每吨
7、平均成本最低为 32 万元；（2）年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1660 万元。3某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为 万元，但每生产 100 台，需增加可5.0变成本（即另增加投入） 万元，市场对此产品的年需求量为 500 台，销售收入为25.0（万元） ，其中 是产品售出数量（单位：百台） 。25)(ttf)(tt（1）把年纯利润表示为年产量 单位：百台）的函数；,x（2）年产量为多少时，工厂所得纯利润最大？（纯利润=销售收入成本）解：（1）当 时，纯利润50x 5.02.)(xfy 5.02.1x；.7.42当 时， 。5xxfy2.0)( x.1 ),5(2.01),5
8、(.74x（2）当 时， ，y.07.421x78125.0)5.4(212x当 时， 最大值为 （万元） ；7.4x85当 时， （万元） 。5.1.01y年产量为 台时，工厂的纯利润最大。五、教学反馈1将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆形的面积之和最小，正方形的周长应为 。 4解：设正方形的周长为 ，则圆的周长为 ，半径 ，xx121xr 。224)1()(S圆正 )0(68)(2当 时，有最小值。4x2购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费” （每月须交的固定费用）30 元，在市区通话时每分钟另收话费 0.18 元；购买“神州行”卡，使用时不
9、收“基本月租费” ，但在市区通话时每分钟话费 0.20 元，若某拥护每月手机费预算为 100 元，则在这两种手机卡中，购买 卡较合算。神州行3某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 （万元）与营运年数 为二次函数关系为：y)(Nx，则每辆客车营运 年可使其营运年平均利润最大。52512x解 ：所求为 ，当 ，即 时，年平211x25均利润最大为 。)(maxy第 14 讲 函数模型及其应用（第二课时）一、基础练习：1某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商场商品因供不应求，连续两次提价 10%，而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价 10
10、%，最后甲、乙电脑均以9801 元售出，若商场同时甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场盈利情况的序号是 。前后相同；少赚 598 元；多赚 980.1 元；多赚 490. 05 元。解：设甲、乙两种电脑原来的价格分别为 元、 元，则 ，xy9801%)(2x，解得 元， ， 元。9801%)1(2y810x2052据有关资料表明，世界人口由 1976 年的 40 亿增加到 1987 年的 50 亿，历经了 11 年的时间，如果按此增长率增长，2020 的世界人口数将接近 亿。98 32005 年 9 月，亚洲几个国家再次爆发“禽流感” ，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌 M 在杀死
11、“禽流感”病毒 N 的同时能够自我复制，已知 1 个细菌 M 可以杀死 1个病毒 N，并分裂成 2 个细菌 M，那么将 1 个细菌 M 和 2047 个“禽流感”病毒 N 放在一起，当病毒 N 全被杀死后，细菌 M 的个数为 个 20484光线通过一块玻璃板时，其强度要损失 10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为 ，则通过 块玻璃板后的强度为 ，则 关于 的函数关系式为 。axyx)()9.0yx解：光线通过第 1 块玻璃板后的强度为 ；通过第 2 块玻璃板后的强度为%)10(a；依此类推；通过第 块玻璃板后的强度为 。2%)1(ax xxaay)9.0()1(二、例题选讲：1某
12、种商品进价每个 80 元，零售价每个 100 元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为 1 元时，销售量增加 10%，且在一定范围内礼品价值为 元时，比礼品为 （ ）元时的销售量增加 10%。nnN（1）写出礼品价值为 元时，利润 （元）与 的函数关系式；yn（2）请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润。解：（1）设未赠送礼品时的销量为 件，则当礼品价值为 元时，销售量为m件，nm%)0(利润 。nny%)10()8 ),20(1.)2( Nnn令 ，即 解之得 。1 .99 。1032yy令 ，即 ，解之得 。01n 01.)8(.)( 21nnm8n 。
13、19129 yy故礼品价值为 元或 元时，商店获得最大利润。2.某工厂第一季度某产品月产量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y与月份 x 的关系模拟函数可以选用二次函数或函数 （其中 为xyabc,abc常数） 已知 4 月份的产量为 1.36 万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？说明理由解：若用函数 为模拟函数，由条件可得 ，()xfabc80， ，故 ；0.5b10c(1350f若用二次函数 为模拟函数，由条件可得 ， ，2gpqr 5p30q，故 7r(4)由 4 月份的产量为 1.36 万件知
14、选取函数 为模拟函数较好()80(.)14xfx3 （金榜 P54）南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据（见下表）芦蒿的市场需求量信息表（1）需求量 吨y40 38 37.136 32.830价值 x千元/吨 2 4.6244芦蒿的市场供应量信息表（2）价值 千元/吨 2 5.3.5 3.供应量 吨y29 32 6940647（1）试写出描述芦蒿市场需求量 关于价格 的近似函数关系式；yx（2）试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量（需求量与供应量相等，又称供求平衡） （近似到吨）解：（1）在直角坐标系中由表（1）描出数对
15、对应的点，由图 1),(y可知这些点近似地构成一条直线（其中四个点在一直线上）所以芦蒿的市场需求量关于价格的近似函数关系式为：即 )2(430xy xy50（2）同理如图 2，可知芦蒿市场供应量关于价格的近似函数关系式为：176xy解联立的方程组，得 ，35,yx则市场对芦蒿的供求平衡量为 35 吨。答：市场对芦蒿的供求平衡量近似为 35 吨。三、教学反馈1用清水洗衣服，若每次洗去污垢的 ，要使残留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数43是（参考数据： . ） 。42lg01解：由题意得不等式 ，两边取对数，得10)(%)(nn 10lg4n，因而3.02lg2lgn 42某种动物繁殖数量 y（只）与时间 x（年）的关系满足 ，若这种动物2log()yax第一年有 100 只，则到第七年它们发展到 只。303如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y（m 2）与时间 t（月）的关系： ，以下叙述中正确的xya序号是 （把正确叙述的序号都填上）这个指数函数的底数为 2；第 5 个月时，浮萍面积会超过 30 m2；浮萍从 4m2 蔓延到 12 m2 需要经过 1.5 个月；浮萍每月增加的面积都相等；若浮萍蔓延到 2 m2、3 m 2、6 m 2 所经过的时间分别为t1、t 2、t 3，则 t1+t2=t3
