1、1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质1借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面( 重点 )2会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系(易错点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用( 重点、难点)基础初探教材整理 1 平面的概念及表示阅读教材 P21P 22 公理 2 以上部分内容，完成下列问题1概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念它没有厚薄，是无限延展的图 1212表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图 121)(2)字母表
2、示平面通常用希腊字母 ， ，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面 、平面 AC 等3点、线、面位置关系的符号表示位置关系 符号表示点 P 在直线 AB 上 P AB点 C 不在直线 AB 上 CAB点 M 在平面 AC 内 M平面 AC点 A1 不在平面 AC 内 A1平面 AC直线 AB 与直线 BC 交于点B ABBC B直线 AB 在平面 AC 内 AB 平面 AC直线 AA1 不在平面 AC 内 AA1平面 AC如果直线 a平面 ，直线 b平面 ，M a，N b，且 Ml，Nl ，那么下列说法正确的是_(填序号)l；l ；lM；lN.【解析】 Ma，Nb，a，b ，
3、M ，N .而 M，N 确定直线 l，根据公理 1 可知 l.故填.【答案】 教材整理 2 平面的基本性质阅读教材 P21P 23，完成下列问题1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内用符号表示为：Error!AB.(2)公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线用符号表示为：Error!l 且 Pl.(3)公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3 也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面2平面的基本性质的推论(1)推论 1：经过 一条直线和这条直线外
4、的一点，有且只有一个平面(2)推论 2：经过 两条相交直线，有且只有一个平面(3)推论 3：经过 两条平行直线，有且只有一个平面1如图 122 所示，用符号可表达为_图 122【解析】 由题图可知平面 与平面 相交于直线 m，且直线 n 在平面 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符号可表示为： m，n 且 mnA.【答案】 m，n 且 mnA2下列说法正确的是_(填序号)三点可以确定一个平面；一条直线和一个点可以确定一个平面；四边形是平面图形；两条相交直线可以确定一个平面【解析】 错误，不共线的三点可以确定一个平面错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面错误，四边形不一定是平面图形正确，
5、两条相交直线可以确定一个平面【答案】 小组合作型三种语言的转换(1)如图 123，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系 图 123(2)用符号语言表示语句：“平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC与平面 ADC 交于 AC”，并画出图形【精彩点拨】 根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化【自主解答】 (1)l，m，n，lnP ，l m.a，b， c，aO.(2)符号语言表示：平面 ABD平面 BDCBD ，平面 ABC平面 ADCAC.图形表示：1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言
6、表示，再用符号语言表示2要注意符号语言的意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示3由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别再练一题1根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系(1) (2)图 124图(1)可以用几何符号表示为_图(2)可以用几何符号表示为_【答案】 (1)AB ， a ，b ，aAB，bAB ，ab(2)l， mA，m B，Al，Bl点线共面问题已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面【精彩点拨】 法一： a，b 确定一个平面 l 在平面内 a，c，l 共面 a，b，c，l 共面法二：
7、a，b 确定一个平面 b，c 确定另一个平面 两平面重合【自主解答】 如图法一：ab，a，b 确定平面 .又laA，lbB，l 上有两点 A，B 在 内，即直线 l.a，b，l 共面同理，a，c， l 共面，即 c 也在 a， l 确定的平面内故 a，b，c， l 共面法二：ab，过 a，b 确定平面 ，又 Aa，Bb，AB，即 l .又bc， 过 b，c 确定平面 ，而 Bb，Cc，BC ，即 l.b，l，b ，l，而 blB， 与 重合，故 a，b，c，l 共面在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法有
8、：直线和直线外一点确定一个平面；两条平行线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合再练一题2证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【导学号：41292016】【解】 已知：如图所示，l 1l 2A，l 2l 3B，l 1l 3C.求证：直线 l1，l 2，l 3 在同一平面内法一：l 1l 2A，l 1 和 l2 确定一个平面 .l 2l 3B，Bl 2.又l 2， B .同理可证 C.又Bl 3，Cl 3，l 3.直线 l1，l 2，l 3 在同一平面内法二：l 1l 2A，l 1，l 2 确定一个
9、平面 .l 2l 3B，l 2，l 3 确定一个平面 .Al 2，l 2，A .Al 2，l 2，A.同理可证 B，B，C，C.不共线的三个点 A，B，C 既在平面 内，又在平面 内平面 和 重合，即直线 l1，l 2，l 3 在同一平面内探究共研型共线，共点问题探究 1 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【提示】 由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线探究 2 如图 125 所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点试问 CE，D 1F，DA 三线是否交于一点？为什么？图 125
10、【提示】 交于一点证明：连结 EF，D 1C，A 1B.E 为 AB 的中点， F 为 AA1 的中点，EF 綊 A1B.12又A 1BD 1C，EF D 1C，E，F，D 1， C 四点共面，且 EF D1C，12D 1F 与 CE 相交于点 P.又 D1F平面 A1D1DA，CE平面 ABCD.P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点又平面 A1D1DA平面 ABCDDA ，根据公理 3，可得 PDA，即 CE，D 1F，DA 相交于一点如图 126 所示，在四面体 ABCD 中，E ，G 分别为 BC，AB的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DFFCDHHA23
11、，求证：EF，GH，BD 交于一点图 126【精彩点拨】 先证明 GH 和 EF 共面且交于一点 O，然后说明 O 是平面ABD 和平面 BCD 的公共点，而平面 ABD 和平面 BCD 相交于直线 BD，根据公理 2，两平面相交，有且只有一条交线因此点 O 在交线上，即点 O 在直线BD 上从而证明了直线 EF，GH，BD 都过点 O.【自主解答】 E，G 分别为 BC，AB 的中点，GE AC，GE AC.12又 DF FCDHHA 2 3，FH AC，FH AC.25FH GE， FHGE.四边形 EFHG 是一个梯形，GH 和 EF 交于一点 O.O 在平面 ABD 内，又在平面 BC
12、D 内，O 在这两平面的交线上而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，点 O 在直线 BD 上EF，GH， BD 交于一点证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理 2 完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上再练一题3如图 127，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，P，Q，R 分别在棱AB，BB 1，CC 1 上，且 DP，RQ 相交于点 O.求证：O ，B，C 三点共线图 127【证明】 如图，可知平面 AC平面 BC1BC.Error!O 为平面 BC1 与平面 AC 的公共点又平面 A
13、C平面 BC1BC，OBC，即 O，B ，C 三点共线1已知点 A，直线 a，平面 ，以下命题表述不正确的有_Aa，aA ；Aa，aA ；Aa，aA ；Aa，aA .【解析】 不正确，如 aA；不正确，“a”表述错误；不正确，如图所示，Aa，a，但 A；不正确， “A ”表述错误【答案】 2如图 128 所示，点 A，B，C ，则平面 ABC 与平面 的交点的个数是_个图 128【解析】 因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面 ABC 与平面 的交点有无数个【答案】 无数3空间三条直线 a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为_个
