1、典题精讲例 1 根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.图 1-2-1-4图 1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:_.图 1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:_.思路解析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出.答案：图 1-2-1-4(1)可以用几何符号表示为:=AB,a ,b ,aAB,bAB.图 1-2-1-4(2)可以用几何符号表示为:=MN, ABC 的三个顶点满足条件AMN,B,C,B MN,C MN.绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求
2、之一.要正确解决此类问题需要从两个方面入手:一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形;二是正确理解对应符号的含义 ,可以结合集合的含义加以理解.变式训练 1(1)观察下面的三个图形,说出它们有何异同;(2)用虚线画出图 1-2-1-5(4)正方体和图 1-2-1-5(5)三棱锥中被遮挡的棱 ,完成图形.图 1-2-1-5思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的,可以结合实物加以理解.答案：(1)图(1)可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图；图(2)是 MN 凸在外面的一个空间图形的直观图；图(3)是 MN 凹在里面的一个空间图形的直观图.(2)补充后如图 1-2-1-6:图 1-
3、2-1-6例 2 求证：两两相交且不共点的四条直线共面.思路分析：可以结合公理 3 及其推论进行证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.答案:已知 a、b、c、d 是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d 共面.图 1-2-1-7证明:(1)无三线共点情况，如图 1-2-1-7，设ad=M，bd=N，cd=P ，ab=Q，ac=R ，bc=S.ad=M，a 、d 可确定一个平面 .Nd，Qa ，N ，Q .NQ ，即 b .同理,c .a、b、c、d 共面.(2)有三线共点的情况，如图 1-2-1-8,图 1-2-1-8设 b、c、d 三线相交于点 K，与
4、 a 分别交于 N、P 、M 且 K a，K a，K 和 a 确定一个平面，设为 .Na，a ，N. NK ,即 b .同理,c ，d ，a、b、c、d 共面.由(1)(2)知 a、b 、c、d 共面.变式训练 2四条直线两两平行,任意三条不共面,过其中的任意两条作一个平面,共可以作平面_.思路解析:任意两条确定一个平面 ,四条直线确定 6 个平面.答案:6问题探究问题（1）一个平面将空间分成几部分？（2）两个平面将空间分成几部分？（3）三个平面将空间分成几部分？画出图形(要求：至少有两种情况有画法过程).导思:可以根据实际例子进行联想,也可以根据直线将平面分成多少部分进行类比.采用从简单到复
5、杂递进的方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第 3 个平面以不同情况介入，然后分类解决.探究：（1）一个平面将空间分成两部分.（2）两个平面平行时，将空间分成三部分;两个平面相交时,将空间分成四部分.（3）情况比较复杂,需分类予以处理.情况 1：当平面 、平面 、平面 互相平行（即 ）,将空间分成四个部分,其图形如图 1-2-1-9.图 1-2-1-9情况 2：当平面 与平面 平行，平面 与它们相交， （即 ， 与其相交） ，将空间分成六部分，其图形如图 1-2-1-10.图 1-2-1-10情况 3：当平面 、平面 、平面 都相交，且三条交线重合（即 =l 且 =l）.将空间分成六部分，其图形如图 1-2-1-11.图 1-2-1-11共点，但互不重合（即 =l，且 与 、 都相交，三条交线共点）.将空间分成八部分，其图形如图 1-2-1-12.图 1-2-1-12情况 4：平面 、平面 、平面 两两相交且三条交线平行.（即 =l， 与 、 都相交且三条交线平行）将空间分成七部分，其图形如图 1-2-1-13.图 1-2-1-13
