1、11.2.1 平面的基本性质与推论学习目标 1.理解平面的基本性质与推论，能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题.2.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.3.理解异面直线的概念知识点一 平面的基本性质与推论思考 1 直线 l 与平面 有且仅有一个公共点 P.直线 l 是否在平面 内？有两个公共点呢？答案 前者不在，后者在思考 2 观察图中的三脚架，你能得出什么结论？答案 不共线的三点可以确定一个平面思考 3 观察正方体 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，平面 ABCD 与平面 BCC1B1有且只有两个公共点 B， C 吗？答案 不是，平面 ABCD 与平面 BCC1
2、B1相交于直线 BC.梳理 (1)平面的基本性质平面 内容 作用 图形基本性质 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(即直线在平面内或平面经过直线)判断直线是否在平面内的依据2基本性质 2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即不共线的三点确定一个平面)确定平面及两个平面重合的依据基本性质 3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线判断两平面相交，线共点，点共线的依据(2)平面基本性质的推论推论 1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且
3、只有一个平面知识点二 点、直线、平面之间的关系及表示思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案 点和直线、平面的位置关系可用数字符号“”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “”或“ ”表示梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及表示文字语言 符号语言 图形语言A 在 l 上 A lA 在 l 外 AlA 在 内 A A 在 外 Al 在 内 ll 在 外 ll， m 相交于 A l m Al， 相交于 A l A ， 相交于l l3知识点三 共面与异面直线思考 如图，直线 AB 与平面 相交于点 B，点 A 在 外
4、，那么直线 l 与直线 AB 能不能在同一个平面内？为什么？直线 l 与直线 AB 的位置关系是怎样的？答案 不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内，点 A 就在 内，这与点 A 在 外矛盾由图知，直线 l 与直线 AB 没有公共点，所以它们不相交，直线 l 与直线 AB 不可能平行，否则它们就会同在平面 内，所以直线 l 与直线 AB 既不相交也不平行梳理 共面与异面直线(1)共面概念：空间中的几个点或几条直线，都在同一平面内特征：共面的直线相交或者平行(2)异面直线概念：既不平行又不相交的直线判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线1分别在两个平面内的
5、两条直线一定是异面直线( )2两直线若不是异面直线，则必相交或平行( )类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系解 在(1)中， l， a A， a B.在(2)中， l， a ， b ， a l P， b l P.反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别4跟踪训练 1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1) A
6、 ， B ；(2) l ， m A， Al；(3)平面 ABD平面 BDC BD，平面ABC平面 ADC AC.解 (1)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内，如图.(2)直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图.(3)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC，如图.类型二 平面的基本性质的应用命题角度 1 点、线共面问题例 2 如图，已知： a ， b ， a b A， P b， PQ a，求证： PQ .解 因为 PQ a，所以 PQ 与 a 确定一个平面 .所以直线 a ，点 P .因为P b
7、， b ，所以 P .又因为 a ，所以 与 重合，所以 PQ .引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内解 已知： a b c， l a A， l b B， l c C.求证： a， b， c 和 l 共面证明：如图， a b， a 与 b 确定一个平面 . l a A， l b B， A ， B .又 A l， B l， l . b c， b 与 c 确定一个平面 ，同理 l .平面 与 都包含 l 和 b，且 b l B，由推论 2 知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面 与平面 重合， a， b， c 和 l 共面5反思与感悟 证
8、明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合跟踪训练 2 已知：如图所示， l1 l2 A， l2 l3 B， l1 l3 C.求证：直线 l1， l2， l3在同一平面内证明 方法一 (纳入平面法) l1 l2 A， l1和 l2确定一个平面 . l2 l3 B， B l2.又 l2 ， B .同理可证 C . B l3， C l3， l3 .直线 l1， l2， l3在同一平面内方法二 (辅助平面法) l1 l2 A， l1和 l2确定一个平面 . l2 l3
9、B， l2， l3确定一个平面 . A l2， l2 ， A . A l2， l2 ， A .同理可证 B ， B ， C ， C .不共线的三个点 A， B， C 既在平面 内，又在平面 内平面 和 重合，即直线 l1， l2， l3在同一平面内命题角度 2 点共线与线共点问题例 3 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为 AB 的中点， F 为 AA1的中点求证：CE， D1F， DA 三线交于一点证明 如图，连接 EF， D1C， A1B.6 E 为 AB 的中点， F 为 AA1的中点， EF 綊 A1B.12又 A1B 綊 D1C， EF 綊 D1C，12 E，
10、F， D1， C 四点共面， D1F 与 CE 相交，设交点为 P.又 D1F平面 A1D1DA，CE平面 ABCD， P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点又平面 A1D1DA平面 ABCD DA，根据基本性质 3，可得 P DA，即 CE， D1F， DA 相交于一点反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外
11、还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练 3 已知 ABC 在平面 外，其三边所在的直线满足AB P， BC Q， AC R，如图所示求证： P， Q， R 三点共线证明 方法一 AB P， P AB， P平面 .又 AB平面 ABC， P平面 ABC.由基本性质 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q、 R 也在平面 ABC 与平面 的交线上 P， Q， R 三点共线方法二 AP AR A，直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR.7又 AB P， AC R，平面 APR平面 PR. B平面
12、APR， C平面 APR， BC平面 APR. Q BC， Q平面 APR，又 Q ， Q PR， P， Q， R 三点共线类型三 异面直线的判定例 4 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么 NC， DE， AF， BM 这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明解 将展开图还原为正方体(如图)NC 与 DE， NC 与 AF， NC 与 BM， DE 与 AF， DE 与 BM， AF 与 BM，都是异面直线，共有 6 对以 NC 与 AF 是异面直线为例证明如下：方法一 连接 BE，若 NC AF，则由 NC BE，可知 AF BE，这与 AF 与
13、BE 相交矛盾故 NC 与 AF 不平行若 NC 与 AF 相交，则平面 ABFE 与平面 CDNM 有公共点，这与正方体的性质矛盾故 NC 与 AF不相交所以 NC 与 AF 异面方法二 连接 BE，如图，因为直线 NC平面 BCNE，直线 AF平面 BCNE O.O直线 NC，所以 NC 与 AF 异面反思与感悟 判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异8面直线用符号语言可表示为 A ， B ， l ， BlAB 与 l 是异面直线(如图)跟踪训练 4 分别在两个相交平面内的两条直线间的
14、位置关系是( )A异面 B平行C相交 D以上都有可能答案 D解析 如图(1)所示，直线 a 与 b 互相平行；如图(2)所示，直线 a 与 b 相交；如图(3)所示，直线 a 与 b 异面1若 A平面 ， B平面 ， C直线 AB，则( )A C B CC AB D AB C答案 A解析 因为 A平面 ， B平面 ，所以 AB .又因为 C直线 AB，所以 C .2平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( )A3 B4 C5 D6答案 C解析 如图，用列举法知符合要求的棱为： BC， CD， C1D1， BB1， AA1，故选 C.3.如图所示，在
15、长方体 ABCD A1B1C1D1中，与 AA1异面的是( )9A AB B BB1C DD1 D B1C1答案 D解析 由异面直线的定义知，与 AA1异面的直线应为 B1C1.4线段 AB 在平面 内，则直线 AB 与平面 的位置关系是_答案 直线 AB解析 由基本性质 1 知直线 AB 在平面 内5.如图，已知 D， E 分别是 ABC 的边 AC， BC 上的点，平面 经过 D， E 两点，若直线 AB与平面 的交点是 P，则点 P 与直线 DE 的位置关系是_答案 P直线 DE解析 因为 P AB， AB平面 ABC，所以 P平面 ABC.又 P ，平面 ABC平面 DE，所以 P直线
16、 DE.1解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想3异面直线是既不平行也不相交的直线一、选择题101下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示，并画出两平面的交线2空间中，可以确定一个平面的条件是( )A三个
17、点 B四个点C三角形 D四边形答案 C解析 由平面的基本性质及推论得：在 A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故 A 错误；在 B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故 B 错误；在 C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故 C 正确；在 D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故 D 错误故选 C.3如果 A 点在直线 a 上，而直线 a 在平面 内，点 B 在 内，可以表示为( )A Aa， a ， B B A a， a ， B C Aa， a ， B D A a， a ， B 答案 B解析 A 点在直
18、线 a 上，而直线 a 在平面 内，点 B 在 内，表示为：A a， a ， B ，故选 B.4空间四点 A， B， C， D 共面而不共线，那么这四点中( )A必有三点共线 B必有三点不共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线答案 B解析 A， B， C， D 共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A 错误；如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，故 B 正确；当任意三点不共线时，也满足条件，故 C 错误；当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，故 D 错误，故选 B.5有下列说法：梯形的四个顶点在同一个平面内；三条平行直线必共面；有三个公共点的两个平面必重合其
19、中正确的个数是( )A0 B1 C2 D311答案 B解析 因为梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面图形，故正确；三条平行直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故错误；若两个平面的三个公共点不共线，则两平面重合，若三个公共点共线，两平面有可能相交，故错误，故选 B.6三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为( )A1 B2 C3 D无数答案 C解析 在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定 3 个平面，如图所示PA， PB， PC 相交于一点 P，则 PA， PB， PC 不共面，则 PA、 PB 确定一个平面 PAB， PB， PC 确定一个平面 PBC， PA， PC 确定一个平面 PAC
20、.故选 C.7.如图所示，平面 l， A、 B ， C ，且 Cl，直线 AB l M，过 A， B， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( )A点 A B点 BC点 C 但不过点 M D点 C 和点 M答案 D解析 AB ， M AB， M .又 l， M l， M .根据基本性质 3 可知， M 在 与 的交线上同理可知，点 C 也在 与 的交线上8长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )A2 对 B3 对 C6 对 D12 对答案 C解析 如图所示，在长方体 AC1中，与对角线 AC1成异面直线位置关系的棱是：A1D1， BC， BB1， DD1， A1B1， D
21、C，所以组成 6 对异面直线12二、填空题9如图，点 P， Q， R， S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是_(填序号)答案 解析 根据异面直线的定义可得10三条平行直线最多能确定的平面的个数为_答案 3解析 当三条平行直线在一个平面内时，可以确定 1 个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定 3 个平面综上，最多可确定 3 个平面11设平面 与平面 相交于 l，直线 a ，直线 b ， a b M，则 M_l.答案 解析 因为 a b M， a ， b ，所以 M ， M .又因为 l，所以 M l.12已知 A ， B ，若 A
22、 l， B l，那么直线 l 与平面 有_个公共点答案 1解析 若直线 l 与平面 有两个公共点，则 l ，那么 B ，这与 B 矛盾， l A.三、解答题13.已知： A l， B l， C l， Dl，如图所示求证：直线 AD， BD， CD 共面证明 因为 Dl，所以 l 与 D 可以确定平面 ，因为 A l，所以 A ，又 D ，所以AD .同理， BD ， CD ，所以 AD， BD， CD 在同一平面 内，即它们共面四、探究与拓展14在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 DD1和 BB1上的点， MD DD1， NB BB1，13 13那么正方体过点 M，
23、N， C1的截面图形是( )13A三角形 B四边形C五边形 D六边形答案 C解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 DD1和 BB1上的点， MD DD1， NB BB1.13 13如图，延长 C1M 交 CD 于点 P，延长 C1N 交 CB 于点 Q，连接 PQ 交 AD 于点 E， AB 于点 F，连接NF， ME，则正方体过点 M， N， C1的截面图形是五边形故选 C.15在棱长是 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 AA1、 D1C1的中点，过 D， M， N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l.(1)画出交线 l；(2
24、)设 l A1B1 P，求 PB1的长；(3)求点 D1到 l 的距离解 (1)如图，延长 DM 交 D1A1的延长线于点 Q，则点 Q 是平面 DMN 与平面 A1B1C1D1的一个公共点连接 QN，则直线 QN 就是两平面的交线 l.(2) M 是 AA1的中点，MA1 DD1， A1是 QD1的中点又 A1P D1N， A1P D1N.12 N 是 D1C1的中点， A1P D1C1 ，14 a4 PB1 A1B1 A1P a.34(3)过点 D1作 D1H PN 于点 H，则 D1H 的长就是点 D1到 l 的距离14 QD12 A1D12 a， D1N ，a2 D1H a.D1QD1NQN2aa24a2 a24 21717即点 D1到 l 的距离是 a.21717
