1、第一讲 讲末学考测评(满分：150 分 测试时间：120 分钟)第卷题号 第卷填空题 解答题总分得分第卷 ( 选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 f1(x)sin x，f 2(x)sin x(0)，f 2(x)的图象可以看作把 f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的 倍(纵坐标不变) 而得到的，则 为( C )13A B2 C3 D12 13解析：对照伸缩变换公式 ： Error!由 ysin x 得到 ysin x，故Error!即Error! ，3.故选 C1 132
2、极坐标方程 cos 与 sin 的图形是( A )12解析：cos 两边同乘以 得 2 cos ，化为直角坐标方程为 x2y 2x0 表示圆，sin 表示过点 与极轴平行的直线故选 A12 (0，12)3(2016北京石景山区一模) 在极坐标系中，圆 2 被直线 sin 1 截得的弦长为( C )A B2 C2 D33 3解析：圆 2 的极坐标方程转化成直角坐标方程为 x2y 24.直线 sin 1 转化为直角坐标方程为 y 1.所以圆心到直线 y1 的距离为 1，则弦长 l2 2 .故选 C22 12 34(2016安徽模拟)在极坐标系中，直线 2 与圆 4sin 的交点的极( 3cos s
3、in )坐标为( A )A B C D(2，6) (2，3) (4，6) (4，3)解析：直线 2，即 xy20，圆 4sin ，即 x2(y2) 24，( 3cos sin ) 3表示以(0,2)为圆心、半径等于 2 的圆由Error!求得Error! 故直线和圆的交点坐标为( ，1)，3它的极坐标为 ，故选 A(2，6)5(2016北京西城区一模)在极坐标系中，曲线 2cos 是( D )A过极点的直线 B半径为 2 的圆C关于极点对称的图形 D关于极轴对称的图形解析：曲线 2cos 化为 22cos ，化为直角坐标方程为(x1) 2y 21，表示以(1,0)为圆心，1 为半径的圆，它关于
4、极轴对称故选 D6极坐标系中，曲线 4sin 和 cos 1 相交于点 A，B，则|AB| ( D )A4 B5 C2 D22 3解析：平面直角坐标系中，曲线 4sin 和 cos 1 分别表示圆 x2(y2)24 和直线 x 1，作图易知| AB|2 .故选 D37AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上的点，CBA60，ABD45， x yCD OA ，则 xy 的值为( A )BC A B C D33 13 23 3解析： x y x y ( )(xy) y ，设|OA|1，建立如图所示CD OA BC OA OC OB OA OC 坐标系，则 ， ( 1,0)， ，故 xy .CD
5、 ( 12，1 32) OA OC (12， 32) 338在极坐标系中，直线 l：(sin cos )a 把曲线 C： 2sin 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数 a 的值是( B )A1 B1 C2 D2解析：l：yxa，曲线 C： x2( y1) 21，由题知圆心 (0,1)在直线 l 上，即10a，a1.故选 B9(2016广东广州期末)在极坐标系中，直线 sin 2 被圆 4 所截得的弦长为( ( 4)D )A2 B2 C4 D42 3 2 3解析：直线的直角坐标方程为 xy2 圆的直角坐标方程为 x2y 216.弦长为 22，其中 r4，d ，弦长等于 2 4 .故选 Dr
6、2 d2222 16 4 310(2016河南郑州质检)在极坐标系中，曲线 C1： 4 上有 3 个不同的点到曲线C2： sin m 的距离都等于 2，则 m 的值为( C )( 4)A2 B2 C2 D0解析：曲线 C2 的直角坐标方程为 xy m，曲线 C1 的直角坐标方程为 x2y 216.圆2心(0,0)到直线距离 d |m|，从而|m |2m 2.故选 C2|m|211在极坐标系中，圆 2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( B )A 0(R)和 cos 2 B (R)和 cos 22C (R)和 cos 1 D0( R)和 cos 12解析：圆 2cos ，即 x2y 22x
7、 即(x1) 2y 21，圆的垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为 x0 和 x2，从而 cos 0 或 cos 2， (R) 和 cos 2，故选2B12(2016湖北黄冈中学检测) 已知平面内的四边形 ABCD 和该平面内任一点 P 满足2 2 2 2，那么四边形 ABCD 一定是( C )AP CP BP DP A梯形 B菱形 C矩形 D正方形解析：如图所示建立直角坐标系，由 2 2 2 2(4 a2c 12d 1)x(2d 22c 2)AP CP BP DP yc c d d 0.21 2 21 2P 是任意一点，对任意的 x，y 上式恒成立，Error! 解得 Error!四边形 A
8、BCD 是矩形题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案第卷 ( 非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13(2016广东六校联考)在极坐标系中，过点 作圆 4sin 的切线，则切线的(22，4)极坐标方程是 cos_2.解析：圆 4sin 的直角坐标方程即为 x2( y 2)24，圆心(0,2)，半径为 2.点直角坐标为(2,2) ，(2,2)在圆上，于是切线方程为 x2，其极坐标方程为 cos 2.(22，4)14(2016北京通州一模)在平面直角坐标系中，曲线 x22y 23x0 经过一个伸缩变换后变
9、成曲线 4x 2y 26x0，则该伸缩变换是Error! .解析：曲线即为 22y 2 ，变换后曲线为：4 2y 2 ，即(x 32) 94 (x 34) 94 y 2 ，2(x 34)2 94伸缩变换为Error!，即Error!.15(2016广东中山月考)在极坐标系中，直线 cos 1 被曲线 3 所截得的弦长( 4)为 4 .2解析：直线的直角坐标方程为：xy ，曲线 3 的直角坐标方程为 x2y 29.弦2长|AB| 2 ，其中 r3，d 1，弦长为 2 4 .r2 d222 9 1 216在平行四边形 ABCD 中，A ， 边 AB，AD 的长分别为 2,1. 若 M，N 分别是边
10、3BC，CD 上的点，且满足 ，则 的取值范围是2,5|BM |BC |CN |CD | AM AN 解析：如图建系，则 A(0,0)，B (2,0)，D ，C . 设 t0,1 ，则| |t，| |2t ，(12，32) (52，32) |BM |BC |CN |CD | BM CN 所以 M ，N ， (2 t2，32t) (52 2t，32)故 AM AN (2 t2)(52 2t) 3t2 32t 22t5(t1) 26f(t)，因为 t0,1，所以 f(t)递减，( )maxf(0)5，( )minf (1)2.AM AN AM AN 所以 的取值范围是 2,5AM AN 三、解答题
11、(本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 1822 题每题 12 分)17(10 分)(2016江西临川中学期末)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 3212cos 10( 0)求曲线C1 的直角坐标方程解析：由 3212cos 10( 0)，得 3x23y 212x 10，即(x2) 2y 2 .曲线 C123的直角坐标方程为(x2) 2y 2 .2318(12 分)(2015江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 22 sin 40，求圆 C 的2 ( 4)半径解析：由 22 sin 4，得 x2y 22
12、y2x40，即(x1) 2(y1)2 ( 4)26，r 619(12 分)(2016河南郑州高三预测)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线l： sin .( 4) 22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0 ，)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标解析：(1)圆 O：cos sin ，即 2cos sin ，故圆 O 的直角坐标方程为x2y 2xy0.直线 l：sin ，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为 xy10.( 4) 22(2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程，将两方程联立Error!解得Error!即圆 O 与直线
13、l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为 ，即为所求(1，2)20(12 分) 已知直线 l 的极坐标方程为 cos 1 ，圆 C 的极坐标方程为( 4) a2 acos ，aR.2(1)当 a2 时，求直线 l 被圆 C 截得的弦长；(2)若直线 l 与圆 C 相切，求实数 a 的值解析：由已知得，直线 l 的直角坐标方程为 xy a，圆 C 的直角坐标方程为2222y 2 .(x 22a) a22(1)当 a2 时，直线 l 的方程为 xy 0，圆 C 的圆心为( ，0)，半径 r ，则圆2 2心 C 到直线 l 的距离 d1，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2
14、 2.r2 d2(2)圆 C 的圆心为 C ，半径 r |a|，则圆心 C 到直线 l 的距离 d1，则(22a，0) 221 |a|，解得 a22 221(12 分) 设过原点 O 的直线与圆 C：(x1) 2y 21 的另一个交点为 P，点 M 为线段OP 的中点(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解析：(1)圆(x1) 2y 21 的极坐标方程为 2cos (2)设点 P 的极坐标为( 1， 1)，点 M 的极坐标为( ，)，点 M 为线段 OP 的中点， 12 ， 1，将其代入圆的极坐标方程，得 cos .点 M 轨迹的极坐标方程为 cos
15、 ，它表示圆心在点 ，半径为 的圆(12，0) 1222(12 分)(2015江苏泰州二模)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为 sin( )3 .4 2(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知 P 为椭圆 C： 1 上一点，求 P 到直线的距离的最大值x216 y29解析：(1)把直线的极坐标方程 sin 3 展开得 3 ，化为( 4) 2 ( 22sin 22cos ) 2sin cos 6，得到直角坐标方程 xy60.(2)P 为椭圆 C： 1 上一点，x216 y29可设 P(4cos ，3sin )，利用点到直线的距离公式得d ，当且仅当 sin( )1 时取|4cos 3sin 6|2 |5sin 6|2 | 5 6|2 1122等号P 到直线的距离的最大值是1122
