1、1.1.1 任意角学习目标 重点难点1能记住任意角的概念2能记住象限角的概念，并会用象限角表示角的范围3理解终边相同的角的含义，会表示终边相同的角.重点：象限角的概念及象限角的范围的表示难点：终边相同的角的含义以及终边相同的角的表示方法.1任意角(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角预习交流 1终边与始边重合的角一定是零角吗？提示：不一定如 360角
2、，终边与始边重合，但不是零角2象限角及终边相同的角(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外 )在第几象限，就说这个角是 第几象限角如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角(2)终边相同的角：一般地，与角 终边相同的角的集合为|k360 ，kZ预习交流 2(1)与 220角的终边相同的角组成的集合可表示为_ ；(2)由第二象限角组成的集合可表示为_提示：(1) |k360220，k Z (2)|k 36090 k 360180，kZ预习交流 3第一象限角、小于 90的角、0 90的角、锐角这四种角有什么差别？提示：这四种角的范围用集
3、合表示分别是：锐角的集合是|0 90 ，090的角的集合是 |090，小于 90的角的集合是 |90，第一象限角的集合是|k360 k36090，kZ所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于 90的角包括锐角、零角和负角一、与角有关的概念判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)集合 P 钝角，集合 Q第二象限角，则有 PQ；(2)角 和角 2 的终边不可能相同；(3)若 是第二象限角，则 2 一定是第四象限角；(4)设集合 A射线 OP，集合 B 坐标平面内的角，法则 f：以 x 轴正半轴为角的始边，以 OP 为角的终边，那么 f：OPAxOPB 是一个映射；(5)不相等的角其终
4、边位置必不相同思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于 0360，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念解：(1)不正确实际上 P |90 180，应有 P Q.(2)不正确如 0 时， 与 2 终边相同(3)不正确由 90k 360180 k360，kZ 知 1802k 36023602k360，kZ，故 2 是第三或第四象限角，也可能终边在 y 轴的负半轴上(4)不正确以 x 轴正半轴为角的始边，以 OP 为终边的xOP 不惟一(5)不正确不相等的角其终边位置也可能相同，如 30与 390.下列各命题：终边相同的角一定相等；第一象限角都是锐角；锐角都是第一象限角；小于 90的角都是锐角
5、其中正确命题的序号是_答案：解析：60和 300是终边相同的角，但它们并不相等，所以不正确；390 角是第一象限角，可它不是锐角，所以不正确；60角是小于 90的角，可它不是锐角，所以不正确显然，锐角都是第一象限角对推广后角的概念的理解：(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角要明确旋转的方向；要明确旋转的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再限于 0360，已包括正角、负角和零角(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动二、终边相同的角及象限角(1)在 0360的范围
6、内，找出与下列各角终边相同的角，作出它们的终边，并指出它们是第几象限角：510； 855.(2)已知 是第一象限角，则 2， 分别是第几象限角？2解：(1)如图所示由图可知：510角在第三象限，在 0360的范围内与 210角终边相同；855角在第二象限，在 0360的范围内与 135角终边相同(2) 为第一象限角，k360 k36090(k Z)2k36022k 360180(k Z)2 是第一或第二象限角或终边落在 y 轴正半轴上的角 的范围是 k180 k 18045(kZ)，2 2当 k2n(nZ )即 k 为偶数时，n360 n36045(nZ)， 为第一象限角；2 2当 k2n1(
7、 nZ )即 k 为奇数时，n360180 n360225(nZ )，2 为第三象限角故 是第一或第三象限角2 21若 是第三象限角，则 所在的象限是_2答案：第二或第四象限解析：由 k360180 k360270(kZ)，得 k18090 k180135(kZ)，2当 k 为偶数时， 为第二象限角；2当 k 为奇数时， 为第四象限角22已知角 3 000，则与 终边相同的最小正角是_答案：240解析：与 3 000终边相同的所有角为 k3603 000，kZ ，当 k9 时，与 终边相同的最小正角为 240.判断一个角是第几象限角，首先要在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边
8、与 x 轴的正半轴重合在这个前提下，由角的终边所在象限来判断这个角是第几象限角对于已知某角所在象限，求与该角有关的其他角所在象限问题，一般用不等式知识处理注意数形结合思想的运用三、区域角的表示(1)如图，写出终边落在阴影部分的角的集合，并指出95012 是否是该集合中的角(2)在平面直角坐标系中，用阴影部分表示集合 A |k18045 k18060，kZ 所表示的区域思路分析：(1)先用终边相同的角的集合表示出边界，再用不等式表示出所求区域角(2)作出 45，60角的终边所在直线，角 的终边所在区域为一个 “对顶角形” 解：(1)225角的终边与135角的终边相同，所以阴影部分角的集合为x|1
9、20k360x225k360，kZ 9501212948 3360，12012948225，95012是该集合中的角(2)作出 45角的终边所在直线(画虚线) ，作出 60角的终边所在直线( 画实线)，则集合A 所表示区域为如图阴影部分如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是_答案： |k36045k360120，kZ 解析：由题图可知，角45k 360(kZ)的终边为射线 OA，角 3090 k360120 k360(kZ)的终边为射线 OB.阴影部分所表示的角的集合是|45k 360120k360，kZ 区域角的表示主要有以下两种类型：(1)单个“扇形”区域此时可先写终边落在边界上的角的集合
10、，再从中选取一组恰当的角并注意利用逆时针旋转时角变大，定准两个角的大小关系，最后加上 360的整数倍，写出不等式，表示成集合的形式(2)“对角形”区域，此时两个区域的边界互为反向延长线，与单个 “扇形”区域的表示方法类似，但最后要加上 180的整数倍1将射线 OM 绕端点 O 按逆时针方向旋转 120所得的角为_答案：120解析：易知逆时针旋转所成的角为正角2与 210角的终边相同的角连同 210角在内组成的角的集合是_答案： |210k 360，kZ解析：由终边相同的角的集合得到3若 为锐角，则k 360(kZ)为第_象限角答案：四解析： 为锐角， 为第一象限角 为第四象限角， k360(k
11、Z)为第四象限角420 角的始边与 x 轴的正半轴重合，把终边按顺时针方向旋转 2 周，所得角是_答案：700解析：顺时针旋转 2 周为720，20 ( 720)700.5在 0到 360的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)2 012；(2)734 ；(3)80828.解：(1)2 0122125360，则 212角即为所求的角212角是第三象限角，2 012 角是第三象限角(2)7343463360，则 346角即为所求的角346角是第四象限角，734 角是第四象限角(3)8082888282360，则 8828角即为所求的角8828 角是第一象限角，80828角是第一象限角
