1、1.2.1 任意角的三角函数学习目标 重点难点1记住任意角的三角函数的定义，了解三角函数线2掌握三角函数值在各象限的符号3会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦与正切.重点：任意角的三角函数的定义及三角函数值在各象限的符号难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦与正切.1三角函数的定义如图：P( x，y)，OPr，一般地，对任意角 ，我们规定：(1)比值 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin ；yr yr(2)比值 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos ；xr xr(3)比值 (x0)叫做 的正切，记作 tan ，即 tan .yx yx预习交流 1三角函数值的大小与 P 点位置的选取有
2、关系吗？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y )在终边上的位置无关，只由角 的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关2三角函数值在各象限的符号正弦函数值的符号与 y 的符号相同，余弦函数值的符号与 x 的符号相同此符号规律可用口诀：“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆(只记函数值为正的情况， “一、二、三、四”指象限)预习交流 2三角函数值在各象限的符号由什么来确定？提示：由三角函数的定义可知，三角函数值在各象限的符号由角 终边上任意一点 P的坐标 x，y 的正负来确定3有向线段与三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了 起点和终点)的线段叫做有向线
3、段类似地，把规定了正方向的直线称为有向直线若有向线段 AB 在有向直线 l 上或与有向直线 l 平行，根据有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为 AB.(2)三角函数线：如图，把有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线和正切线它们统称为三角函数线当角 在不同象限时，其三角函数线见课本第 13 页图128.当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在预习交流 3正弦线、余弦线、正切线方向有何特点？提示：正弦线方向由垂足指向 的终边与
4、单位圆的交点；余弦线方向由原点指向垂足；正切线方向由切点指向切线与 的终边(或反向延长线) 的交点预习交流 4(1)角 终边上一点 P(3，n)，且 sin ，则 n_；45(2)若角 的终边过点(sin 30，cos 30)，则 sin _；(3)若 0，则点(tan ，cos ) 位于第_象限2提示：(1)4 (2) (3) 二32一、利用定义求三角函数值已知角 的终边上有一点 P( ，m )，且 sin m，求 cos 与 tan 的值324思路分析：此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解对于本题可由定义求出 m的值，再求 cos 与 tan 的值解：由已知有， m ，得 m0，或 m
5、 .24 m3 m2 5(1)当 m0 时， cos 1，tan 0；(2)当 m 时， cos ，564tan ；153(3)当 m 时，cos ，564tan .153已知点 P(5，a )是角 的终边上一点，且 tan ，求 sin cos 的值125解：x5，ya，tan ，yx a5 125a12，r 13.52 122则 sin ，cos ，yr 1213 xr 513sin cos .1213 513 713已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离 r，再由三角函数的定义，求出三角函数值若点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要
6、根据情况进行分类讨论，避免漏解二、三角函数值的符号的应用判断下列各式的符号：(1)tan 120sin 269；(2)cos 4tan .( 234)思路分析：此类问题的解决一是要弄清角的终边所在的象限，二是要熟记三角函数值在各象限的符号解：(1)120是第二象限角，tan 120 0；269是第三象限角，sin 2690，tan 120sin 2690.(2)4 ，324 弧度角是第三象限角，cos 40； 6 ，234 4 是第一象限角，234tan 0，cos 4tan 0.( 234) ( 234)1若角 的终边经过点 P(2，1) ，则sin tan 0；cos tan 0，sin
7、cos 0；sin tan 0 中成立的是_(填序号) 答案：解析：P( 2 ，1) 是第三象限内的点， 角 为第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，不正确，正确2已知点 P(tan ，cos ) 在第三象限，求角 的终边所在的象限解：方法一：P(tan ，cos )在第三象限，tan 0 且 cos 0.由 tan 0，知 为第二或第四象限角，由 cos 0，知 为第二或第三象限角， 的终边在第二象限方法二：由 P 为第三象限，知 tan 0 且 cos 0.设角 终边上一点的坐标为(x ，y)，则由三角函数定义知，tan 0，cos 0， x0 且 y0.故 的终边在第二象yx
8、xr限三角函数值“符号看象限”：根据符号规律，结合具体函数及角的所在象限进行判断，如第二象限角，其正弦值为正，而余弦与正切值为负由点所在象限求角所在象限时，关键是弄清已知点的坐标符号，以此判定点所在象限即知角的终边所在象限三、作三角函数线作出 的正弦线、余弦线和正切线34思路分析：利用三角函数线的作法即可完成解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示以 x 轴正半轴为始边作 角，角的终边与34单位圆交于点 P.作 PMx 轴，垂足为 M，过单位圆与 x 轴正方向的交点 A 作 x 轴的垂线与 OP 的反向延长线交于点 T，则 sin MP ，cos OM ，tan AT，即 的正弦线为34 34 3
9、4 34MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.在单位圆中画出满足 sin 的角 的终边12解：所给函数是正弦函数，故作直线 y 交单位圆于点 P，Q，连结 OP，OQ，则射12线 OP， OQ 即为角 的终边作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此点作 x 轴的垂线，得垂足，从而可得正弦线与余弦线作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，与角的终边(角 为第一或第四象限角时) 或终边的反向延长线(角 为第二或第三象限角时)交于一点 T，即可得到正切线 AT.三角函数线的主要作用是求函数定义域、值域、解三角不等式、比较两三角函数值的大小等1已知在ABC 中，sin Ac
10、os B0，则ABC 的形状是_答案：钝角三角形解析：在ABC 中，由 sin Acos B0，可知 sin A0，cos B0，故B 为钝角，即此三角形为钝角三角形2已知角 的终边经过点 P(5,12)，则 sin _，cos _，tan _.答案： 1213 513 125解析：由 x5，y 12，得 r 13.52 122sin ，cos ，tan .yr 1213 xr 513 yx 1253已知 cos tan 0，那么 是第_或第_象限角答案：三 四解析：由 cos tan 0，知 sin 0，且 的终边不在坐标轴上，由此知 的终边在第三或第四象限4若 600角的终边上有一点(4，a)，则 a 的值是_答案：4 3解析：在坐标系中把 600角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a 的值因为 600360 240，所以 600的终边与 240的终边重合，如图所示，设P( 4, a)，作 PMx 轴于 M，由 sin 240 ，得 a4 .a16 a2 32 35已知角 的终边上一点 P(5a,12a)，且 a0，180270，求角 的三个三角函数值解：因为 180 270，所以 a0，从而 r 13a，5a2 12a2所以 sin ，cos ，tan .yr 1213 xr 513 yx 125
