1、1.3 三角函数的图象和性质知识梳理1.一般地，对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期.2.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.3.正弦曲线与余弦曲线的关系我们知道 y=cosx=sin( +x)(xR )，由此可知余弦函数 y=cosx 的图象与正弦函数2y=sin( +x)(x R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移 个单位就可得到余弦函数的图2 2象.4.正弦、余弦、正切函数的主要性质.函数性质 y=sinx
2、y=cosx y=tanx定义域 R R x|x +k,kZ2值域 -1,1 -1,1 R周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数增区间 +2k, +2k2(kZ)-+2k,2k(kZ ) ( +k, +k)(kZ )2单调性 减区间 +2k, +2k3(kZ)2k,2k+(kZ ) 无对称中心 (k,0)(kZ) (k+ ,0)(k Z)2( ,0)(kZ )2k对称性 对称轴 x=k+ (kZ )2x=k(kZ) 无5.函数 y=Asin(x+)的图象的作法.(1)“五点法”作图用“五点法”作函数 y=Asin(x+)(A0,0)的图象时，关键是五个点的选取.设 X=x+，由X 取 0
3、, ， ，2 来求相应 x 的值及对应的 y 的值，再描点作图.23(2)利用图象变换法则作出函数 y=Asin(x+)的图象相位变换y=sinx y=sin(x+).周期变换y=sinx y=sinx.振幅变换y=sinx y=Asinx.当函数 y=Asin(x+)A0,0,x(0,+)表示一个振动量时，则 A 叫做振幅，T=叫做周期.2y=Asin(x+)可以这样得到:y=sinx y=sin(x+) y=sin(x+) 相 位 变 换 周 期 变 换y=Asin(x+). 振 幅 变 换6.三角函数的应用三角函数的模型可以应用到实际问题 中，三角函数模型的建立程序如下:知识导学要学好本
4、节内容，可通过展示三角函数具有 f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性.借助一定的实例展现正弦函数的图象，从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过来利用图象观察性质.借助实例或借助计算机模拟 A、 、 的变化对函数 y=Asin(x+)图象的影响，从而建立 y=sinx 与 y=Asin(x+)图象的联系.从中掌握由 A 的变换，或由 A 的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象认识 y=Asin(x+)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画 y=Asin(x+)图象的方
5、法 .通过课本中的 3 个例题，理解将实际问题 直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，根据所得的模型解决问题 .疑难突破1.三角函数图象的五点法作图.剖析:y=sinx ，x0,2的图象上有五点起决定作用，它们是(0,0)，( ,1)，(,0)，( ,-2231),(2,0)，描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了 .(0,1)，( ,0)，(,-1) ，( ,0),(2,1)这五点描出后，余弦函数 y=cosx，x0,2的图象的形状也就基本上确定了，因此可以用五点法作余弦函数 y=cosx 的图象，如图 1-3-1.图 1-3-1所以，在精确度要求不太高时，常常先找出这五个点，然后再用平
6、滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法.注意:(1)五点法是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题 曾出现在历届高考试题中.(2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此，在 x 轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，利于应用.2.周期函数.剖析:(1) 周期函数的定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x值满足 f(x+T)=f(x)或不满足,都不能说 T 是 y=f(x)的周期.例如 sin( + )=sin ,但是 sin( + )sin .4232就是说 不能对
7、 x 在定义域内的每一个值都有 sin(x+ )=sinx，因此 不是 y=sinx 的22周期.(2)从等式 f(x+T)=f(x)来看，应强调的是自变量 x 本身加的常数才是周期，如 f( +T)=f( )，xT 不是周期，而应写成 f( +T)=f (x+2T)=f( )，则 2T 是 y=f(x)的周期.2x12(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.(4)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数 f(x)=C(C 为常数)，xR，当x 为定义域内的任意值时，函数值都是
8、 C，即对于函数 f(x)的定义域内的每一个 x 值都有f(x+T)=C，因此 f(x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f(x)没有最小正周期 .再如函数 D(x)=.0,1为 无 理 数 时当 为 有 理 数 时当 x，设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时，x+r 也是有理数，当 x 是无理数时，x+r 也是无理数，D(x)与 D(x+r)或者等于 1 或者等于 0，因此在两种情况下，都有 D(x+r)=D(x)，所以 D(x)是周期函数，r 是 D(x)的周期，由于 r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以 D(x)没有
9、最小正周期 .(5)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T 是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值.(6)周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(kN *)也一定是周期.(7)在周期函数 y=f(x)中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x+kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.3.正弦、余弦、正切函数的性质.剖析:(1) 正弦、余弦、正切函数的性质都能从其图象上得到体现，所以熟练掌握函数图象是理解性质的关键，而性质反过来又可帮助我们正确地作出函数的图象，因此
10、图象与性质相辅相承，图象是性质的载体，性质又决定了图象的特征；(2)正切函数 y=tanx，x(k ,k+ )(kZ)是单调增函数，但不能说函数在其定义域内2是单调函数；(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值；(4)正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与 x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为 0.正切曲线的对称中心有两类，一类是曲线与 x 轴的交点，此时正切值为 0;另一类是对称轴与 x 轴的交点，此时正切函数无意义.4.已知函数图象应如何求其表达式?剖析:由 f(x)=Asin(x+)(A0,0
11、)的一段图象,求其表达式,在这类问题 中,A 比较容易求,困难的是求 与 .而一般由图象可知周期 T,再由 T 求出 ;确定 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标 x0,则令 x0+=0(或 x0+=)即可求出 .有时还可利用已知点(例如最高点或最低点 )确定 与 .若对 A、 的符号或范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求.5.利用三角函数解决实际问题 应当注意哪些方面？剖析:(1) 自变量 x 的变化范围 .(2)数形结合，通过观察图形，获得本质认识.(3)要在实际背景中抽取基本的数学关系较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，运用适当的数学模型.(4)涉及复杂的数据，往往需要借助使用信息技术工具.
