1、自主广场我夯基我达标1.正方形 ABCD 的边长为 1，则| + + + |为( )ABCDAA.1 B. C.3 D.2 2思路解析：| + + + |=2| |= .ABC2答案：D2.如图 2-2-11，四边形 ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是 ( )图 2-2-11A. + = B. + =ABCABCC. + = D. + =DD思路解析：结合向量加法的几何意义再充分利用三角形法则和平行四边形法则,知 +AC= = .BAC答案：C3.已知向量 ab，且| a|b|0，则向量 a+b 的方向( )A.与向量 a 方向相同 B.与向量 a 方向相反C.与向量 b 方向相同 D.与
2、向量 b 方向相反思路解析：ab 说明两个向量是共线向量.当向量 a 与 b 共线且方向相同时，则 a+b 的方向与 a(或 b)的方向相同，当向量 a 与 b 反向且|a| b|0 时,则 a+b 的方向与 a 的方向相同(与 b 方向相反).答案：A4.已知菱形的两邻边 =a， =b，其对角线交点为 D，则 等于( )OABOA. a+b B.a+ b C. (a+b) D.a+b212121思路解析：根据向量加法的几何意义，由平行四边形法则及平行四边形的性质，可得 +OA=2 ,所以 = (a+b).BD答案：C5.a、b 为非零向量，且| a+b|=|a|+|b|，则( )A.ab，且
3、 a 与 b 方向相同B.a、b 是共线向量C.a=-bD.a、b 无论什么关系均可思路解析：当两个非零向量 a 与 b 不共线时，a+b 的方向与 a、b 的方向都不相同，且|a+b|a|+|b|；向量 a 与 b 同向时， a+b 的方向与 a、b 的方向都相同，且|a+b |=|a|+|b|；向量a 与 b 反向且|a|b |时，a+b 的方向与 b 的方向相同(与 a 方向相反) ，且| a+b|=|b|-|a|.答案：A6.若三个向量 a、b、c 满足 abc=0，则 a、b、c 可以组成( )A.一条直线 B.三个点C.三角形 D.不确定思路解析：当 a、b、c 共线时，不能构成三
4、角形，当 a、b、c 不共线时，由向量加法的三角形法则，知能构成三角形.答案：D7.设 a 表示“向东走了 2S km”，b 表示“ 向南走了 2S km”，c 表示“向西走了 2S km”，d 表示“向北走了 2S km”，则(1)a+d 表示 _向走了_ km；(2)b+c 表示_向走了_ km；(3)a+c+d 表示_ 向走了_ km；(4)b+c+d 表示_向走了_ km； (5)若 a 表示向东走 8 km，b 表示向北走 8 km，则| a+b|=_ km，a+ b 的方向是_；(6)一架飞机向北飞行 300 km 后改变航向向_飞行_ km，两次飞行位移之和的方向为北偏西 53.
5、1，大小为 500 km，飞行路程为_ km.（cos53.1= ）53思路解析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.答案：(1)东北 S (2)西南 S (3)北 2S (4)西 2S (5) 东偏北 45 2228(6)西 400 7008.已知| |=| |= ，且AOB=120 ，则| + |=_.OABOAB思路解析：以 OA、OB 为邻边作 OACB，则 = + ，因为| |=| |= ，且AOB=120，CAB2所以OAC 是正三角形.所以| + |=| |=| |= .C2答案： 29.已知非零向量 a、b，且 a+b 平分 a、b 的夹角，则向量 a、b 的关系
6、是_.思路解析：在平行四边形 OACB 中， =a， =b，则对角线 =a+b，因为 a+b 平分OABOCa、b 的夹角，所以OAC OBC.所以|a|=| b|.答案：|a|=|b|我综合我发展10.已知两个不共线向量 e1 和 e2，如果 =2e1+3e2， =6e1+23e2， =4e1-8e2.求证：DA、B、D 三点共线.思路分析：欲证 A、B、D 三点共线，只要证明 与 共线即可.ADB证明： = + + =2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2C=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6 .向量 与 共线.ADB又 与 有共同的起点 A,A、B、D 三点共线.11
7、.求证：对任意向量 a、b，都有|a+b| a|+|b|.思路分析：对向量 a、b，按照共线与不共线分类讨论来研究其长度问题.证明：(1)当 a、b 不共线时，如图 2-2-12，设 =a, =b，则 a+b= ,OABOB图 2-2-12OAB 中,| | |+| |,OBA|a +b|a|+|b|.(2)当 a、b 不共线时，a、b 同向则| a+b|=|a|+|b|；a、b 反向则|a+b |a|+|b|.对任意向量 a、b，都有| a+b|a|+|b|.12.用向量方法证明：梯形中位线平行于两底且等于上、下两底和的一半.思路分析：用向量法证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行
8、向量线性运算，最后作出运算结果的几何意义解释即可.答案：已知如图 2-2-13，梯形 ABCD 中，E、F 是两腰 AD、BC 的中点，图 2-2-13求证：EFABCD ，且 EF= (AB+CD).21证明：E、F 分别是 AD、BC 的中点， .BFCAD, ,BFAE, = ( + + + + + )= ( + ).EF21DACBF21DCAB又DCAB ，设 = .B = ( + )= ( + )= .212121 .EFDCE、F 、D、C 四点不共线，EFCD. 同理 ,EFAB，且 | |= (| |+| |).EF= （AB+CD）.EF21ABCD2113.在重 300
9、N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30、 60(如图 2-2-14)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.图 2-2-14思路解析：作出向量图，由图可知合力与分力的关系，向量的模即为力的大小.解：如图 2-2-15，作 OACB，使AOC=30 ，图 2-2-15BOC=60，在OAC 中，ACO=BOC=60 ，OAC=90，| |=| cos30= 300= (N)，OAC23150| |=| |sin30= 300=150(N)，| |=| |=150(N).B答：与铅垂线的夹角为 30的绳子拉力是 1503 N，与铅垂线的夹角为 60的绳子拉力是150
10、 N.14.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西 10 n mile 处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以 9 n mile/h 的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为 18 n mile/h，要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用时间.思路分析：根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，结合勾股定理，实质是解决几何问题即可.解：如图 2-2-16，渔船在 A 处遇险，货船在 B 处，货船在 C 处与渔船相遇.设所用时间为 t，由已知ABC 为直角三角形,图 2-2-16| |=10,| |=9t,| |=18t,BACB由勾股定理,得| |2=| |2+| |2.AC18 2t2=100+92t2.t 2= .4310t0.64.sinABC= = ，|BCA21ABC=30.货船应沿东偏南 30的方向行驶，最快可用 0.64 小时将渔船救出险境.
