1、疱丁巧解牛知识巧学1.积化和差恒等式由于 sin(+)+sin(-)=2sincos，则不难得出 sincos= sin(+)+sin(-) .同理21可得cossin= sin(+)-sin(-),21coscos= cos(+)+cos(-),sinsin=- cos(+)-cos(-),这组等式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算.在告知公式前提下利用该组公式进行运算.记忆要诀 在积化和差公式的展开式右边的函数名称可简记为“同余弦，异正弦” ，即当展开式为两个角的正弦积或余弦积时，展开式为两角和与差的余弦；当展开式为两角的正弦
2、与余弦之积时，展开式为两角和与差的正弦.深化升华 积化和差公式实现了运算结构和角的转化，它将两个角的正余弦之积转化为这两个角和与差的正弦或余弦和差的形式.2.和差化积恒等式与万能公式若令 +=,-=，则 = ，= ，代入 sincos2= sin(+)+sin(-)得21sin cos = sin( + )+sin( - )= (sin+sin).1221sin+sin=2sin cos .2同理，可得sin-sin=2cos sin ，cos+cos=2cos cos ，2cos-cos=-2sin sin ，这组等式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用.辨析比较 和差化积公式
3、也实现了运算结构与角的转化，只不过它是将两个角正弦和与差或余弦和与差的形式化为两角和差一半的正余弦积的形式，它与积化和差公式相辅相成，配合使用.3.万能代换公式由于 sin= = ,1sin2tan1cos2i cos= ，2tan1cos2sini1co222tan= = ,cosi tasi222即 sin= ,cos= ,tan= .2tan12tan12tan1上述三个公式统称为万能公式(不用记忆). 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切即：f(tan ).所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁.上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小.典题
4、热题例 1 在ABC 中，若 sinBsinC=cos2 ，则 ABC 是( )AA.等边三角形 B.等腰三角形C.不等边三角形 D.直角三角形思路解析：由于 sinBsinC=cos2 ,A+B+C=，所以有- cos(B+C)-cos(B-C)= (1+cosA)，211- -cosA-cos(B-C)= (1+cosA).所以 cos(B-C)=1.又 B、C 为三角形内角，则必有 B-C=0.故三角形为等腰三角形.答案：B妙解提示 本题也可以利用反代法，先验证等腰直角三角形，再验证正三角形即可得出正确结论.例 2 计算 sin69-sin3+sin39-sin33.思路分析：应用和差化
5、积、两角和与差三角公式，二倍角公式，在解题时可尽可能地出现相同角或特殊角.解：原式=(sin69+sin39)-(sin33+sin3)=2sin54cos15-2sin18cos15=2cos15(sin54-sin18)=2cos152sin18cos36=2cos15 18cos36in2=2cos15 =cos15=cos(45-30)= .36i 426方法归纳 在利用和差化积公式求值时，要尽量出现两角和与差为特殊角或为相同角，以便于求值和提取公因式.例 3 已知 =-5，求 3cos2+4sin2 的值.cos3sin2思路分析：本题应用万能公式和同角三角函数基本关系式.可先由已知
6、得出 tan 的值，再利用万能公式解题.解： =-5,cos0(否则 2=-5).cssi =-5,解之，得 tan=2.3tan12原式 = .57214)(3tan24t)( 22 方法归纳 利用万能公式对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁.本题就是一个具体的例子，本题还有一种方法，就是先求出 tan 的值，再将所求的式子用倍角公式化为关于 的正、余弦二次齐次多项式的形式，再求解，但这种解法要比第一种解法复杂得多.例 4 求证：sin3sin 3+cos3cos3=cos32.思路分析：由于等式的左边为单角和三倍角，而等式的右边为二倍角，则可考虑将单角和三倍角利用积化和差等式化
7、为二倍角.证明：左边=(sin3sin)sin 2+(cos3cos)cos2=- (cos4-cos2)sin2+ (cos4+cos2)cos2211=- cos4sin2+ cos2sin2+ cos4cos2+ cos2cos21= cos4cos2+ cos2= cos2(cos4+1)= cos22cos22=cos32=右边.原式得证.深化升华 证明三角恒等式的方法，一般是由繁化简，可由左推右，也可以由右推左，也可以证明两边和同一个式子相等，不论是哪种方法，在证明前一定要仔细观察等式的结构，以选择适当的证明方法.例 5 已知 cos-cos= ，sin-sin=- ，求 sin(
8、+)的值 .2131思路分析：利用和差化积公式及倍角公式的应用.cos-cos=-2sin sin 和 sin-2sin=2cos sin ，从而得出 tan ，进而求出 sin(+)的值.2解： cos-cos= ，21-2sin sin = .sin-sin=- ，32cos sin =- .231sin 0,-tan =- .tan = .223sin(+)= = .491tan12方法归纳 利用和差化积公式，可以使解题过程简化.问题探究交流讨论探究问题 在ABC 中，三个内角分别为角 A、B 和 C，则由 2sinB=sinA+sinC 能得到哪些结论？探究过程:学生甲：直接利用二倍角
9、公式与和差化积公式可得 2sin cos =4sin cos2AC2B，而 sin =sin( - )=cos ，cos =cos( - )=sin ，则可得2B2C2cos =2cos .CA学生乙：由 cos =2cos ,再利用两角和与差的三角公式，可得Acos cos +sin sin =2(cos cos -sin sin )，即 cos cos =3sin sin .而且2B22B2AB2还可以进一步得到 tan tan = .31学生丙：由 cos =2cos 及 sin =sin( - )=cos ，可得 cosCA2C2=2sin ，则 2cos cos =4sin2 =cosA+cosC，即 4sin2 =cosA+cosC.2CAB2BB学生丁：由 cos =2cos 可得 sin = cos ，1A1又由 0 ，可得 0 ，所以 0B .2B63探究结论：由已知条件可得如下结论：cos =2cos ；cos cos =3sin sin ；tan tan = ；4sin 2 =cosA+cosCA2AB2AB31C；0B 等.3
