1、典题精讲例 1 已知三点 A(1，-1) 、B(3 ，3)、C(4，5)，求证:A、B、C 三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.kAB= =2，k AC= =2,kAB=kAC.13145A、 B、C 三点共线.证法二:利用直线方程.设 AB:y=kx+b，则 ,3bk.3,2直线 AB 的方程为 y=2x-3.当 x=4 时，y=24-3=5，故点 C(4，5)在 AB 上.A、B、C 三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程
2、是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练 1 若三点 A(2，2) 、 B(a,0)、C(0,4)共线，则 a 的值等于_.思路解析:因为 kAB= ，k BC= ，又因为三点 A、B 、C 共线，所以 kAB=kBC，即20aa04= ，解得 a=4.20a4答案:4例 2 设过定点 A 的直线 l1 的倾斜角为 .现将直线 l1 绕点 A 按逆时针方向旋转 45得到直线 l2,设直线 l2 的倾斜角为 ,请用 表示 的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图 2-2-(1,2)-1 的示意图,从图中可得图 2-2-(1,2)
3、-1当 0135时,=+45 ；当 135180时,=+45-180=-135.黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为 =+45.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0180,故当 135180时,180+45 225.故作为直线的倾斜角应减去 180.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练 2 如图 2-2-(1,2)-2，直线 l1 的倾斜角 1=30，直线 l1l2，求 l1、l 2 的斜率.图 2-2-(1,2)-2解：l 1 的斜率 k1=tan1=tan30= ，l 2 的倾斜角 2=90+30=120，3l2 的斜率 k2=tan120=tan(180-60)=-t
4、an60= .3例 3 设直线 l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在 x 轴上的截距是-3，试确定m 的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令 y=0，由题意得 )2(,326102m由式，得 m3 且 m-1.由式，得 3m2-4m-15=0，解得 m=3 或 m= .因为 m3，所以 m= .535绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在 x 轴上的截距，只需令 y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式 m2-2m-30 的解是 m3 且 m-1
5、；而方程 3m2-4m-15=0 的解是 m=3 或 m= .变式训练 3 已知直线 ax+by+c=0 的图形如图 2-2-(1,2)-3，则( )图 2-2-(1,2)-3A.若 c0，则 a0，b0 B.若 c0 ，则 a0，b0C.若 c 0，则 a0，b0 D.若 c0 ，则 a0，b0思路解析：直线 ax+by+c=0 的斜率 k= 0，baab0.又直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 与 ， 0， 0. ac0， bc0.若 c0，则 a0，b0；若 c0，则 a0，b0.选 D.acb答案:D例 4 求直线 2x+(3k-1)y+k-1=0 在 x、y 轴上的截距.思路分析：
6、按照截距的定义求解,即在方程中令 y=0,则 x 的取值即为直线在 x 轴上的截距;令 x=0,则 y的取值即为直线在 y 轴上的截距.解:令 y=0,则 x= ,于是直线在 x 轴上的截距为 ；21k21k令 x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在 y 轴上的截距为 ；3当 k= 时,直线在 y 轴上的截距不存在.3黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对 y 轴截距是否存在的讨论，即忽视了 k= 的情形而造31成错解.事实上，当 k= 时，分式 无意义，此时的直线在 y 轴上的截距不存在.311k变式训练 4 一条直线经过点 M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 _.思路解
7、析：设直线在两轴上的截距均为 a.若 a=0,则所求直线方程为 3x-2y=0；若 a0,则同上可求得直线方程为 x+y=5.答案:3x-2y=0 或 x+y=5问题探究问题 1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点 P1 与 P2 关于点 M 对称，则点 M 是 P1、P 2 的中点 .若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点 P1 与 P2 关于直线 l 对称，则直线 l 是
8、线段 P1P2 的中垂线，它应同时满足两个条件，即 P1、P 2 的中点在直线 l 上，且 P1P2 的连线与 l 垂直，也就是说，P 1P2 的中点坐标满足直线 l 的方程，且 P1P2 连线的斜率与直线 l 的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线) 关于点、曲线(含直线) 关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点 P(x0,y0)关于点 M(a,b)的对称点为 P(2a-x0,2b-y0);(2)点 P(a,b)不在直线 l：Ax+By+C=0 上，P 关于直线 l
9、 的对称点为 P(x,y)的求法：因为 PP中点 M( )在 l 上,PP l,所以由方程组 可解2,0ybxa,1)(,02000BAaxbyCy出 P(x0,y0).(3)几种特殊对称：点(a,b) 关于 x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于 y 轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于 y=x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于 y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于 x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于 x-y=m 的对称点为 (m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称” 问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可
10、转化为“点关于直线对称” 问题来解决.问题 2 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量 x、y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗?导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系 y=kx+b 中，若 b 为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若 k 为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关
11、注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成 f1(x,y)+f2(x,y)=0的形式，再解方程组 求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方0),(,21yxf程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线 y=kx+b(其中 k 为参数，b 为常数) ，它表示过定点(0，b) 的直线系，但不包括 y 轴(即x=0).经过定点 M(x0，y 0)的直线系 y-y0=k(x-x0)(k 为参数)，它表示经过定点(x 0，y 0)的直线系，但不包括平行于 y 轴的那一条 (即 x
12、=x0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k 为常数，b 为参数) ，它表示斜率为 k 的平行直线系.若已知直线 l：Ax+By+C=0 ，与 l 平行的直线系为 Ax+By+m=0(m 为参数,且 mC).若已知直线 l：Ax+By+C=0 ，与 l 垂直的直线系为 Bx-Ay+n=0(n 为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线 l1：A 1x+B1y+C1=0(A12+B120)与 l2：A 2x+B2y+C2=0(A22+B220)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中 m、n 为参数，m 2+n20).当 m=1，n=0 时，方程即为 l1 的方程；当 m=0，n=1 时，方程即为 l2 的方程.上面的直线系可改写成(A 1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(其中 为实数).但是，方程中不包括直线 l2，这个形式的直线系方程在解题中常见 .
