1、1.2.2 空间中的平行关系知识梳理1.两直线平行定义:直线 a 和平面 没有公共点,叫做直线和平面 平行 ,记作 a.平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 ,也叫空间平行线的传递性.等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.2.直线与平面平行判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.性质定理:如果一条直线和一个平面平行 ,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.3.平面与平面平行定义:如果两个平面没有公共点 ,那么这两个平
2、面叫做平行平面.平面 与平面 平行,记作.判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交 ,那么它们的交线平行.结论:两条直线被三个平行平面所截 ,截得的对应线段成比例.知识导学对于等角定理,要注意“方向相同”含义的理解,可以在实际图形中观察出来,也可以理解为对应射线的方向相同.若去掉“方向相同”这一条件,可以得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补”.由于平行没有公共点,与此有关的命题可以看
3、成否定性命题,在证明时可以采用反证法加以证明,本教材中的判定定理就是这样证明的.疑难突破1.什么是反证法?怎样利用反证法证明平行关系?剖析:反证法是数学中常用的一种方法，而且有些命题只能用它去证明.用反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定命题的结论不成立.(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾.由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.(3)肯定原来命题的结论是正确的.用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”,结论一不成立就会出矛盾，这个矛盾是通过与已知条件矛盾、与公理或定理矛盾的方式暴露出来的.这个矛盾是
4、怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.“结论不成立”与“ 结论成立”必然有一个正确.既然“ 结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了.由于平行关系都意味着没有公共点,是否定性的命题,因此可以采用反证法进行证明,即先假设不平行,再推导矛盾,从而肯定原命题正确.2.线线平行与线面平行之间的转化关系.剖析:(1) 由线线平行 ,可判定线面平行 ;由线面平行,可判定线线平行 .这种“线线线面” 之间平行的互相联系和相互转化,是线线、线面平行的判定和性质的实质,也是我们运用定理对平行进行证明的关键所在.(2)从思维方法的角度来看,要进行平行的证明,往往先从题目的结论出发去选择相应的判定方法并进行“逆向思维”. 当逆推出现困难时,应进行“ 正向思维 ”,即根据题目的已知去联想和推导有关的性质,使题设和结论逐步靠近,找到证明思路.这种“两头凑”的方法其实也是整个高中数学学习中较为常用的思维和证明方法.(3)对较为复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理进行证明,可有如下示意图:
