1、121 函数第 1 课时 函数的概念1使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式2了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量， 变量与自变量和函数重点在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数关系式难点对函数意义的正确理解一、创设情境，导入新课请同学们先看两个实际问题：(出示幻灯片)问题 1：某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：在整个的售米过程中出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？由学生讨论回答答：共出现了米的千克数、每千克米的价格、总价三个量，其中千克数和总价是随着顾客的需购量的不同而变化的，但每千克米
2、的价钱即单价是不变的问题 2：我们生活在美丽的海滨城市，我们知道大海的脾气是捉摸不透的，她有时暴躁不安，有时却温柔善良试想，当海上风平浪静时，若我们将一块石头投入海中，我们将会发现水面上有怎样的变化？答：水面上出现一圈圈圆形的水波纹，如右图(出示幻灯片)那么，在这一变化过程中，圆的半径 r，周长 C 和面积 S 是怎样变化的呢？圆的周长和直径 2r 的比值又是怎样的呢？第一个问题很简单，学生可直接得到答案，针对第二个问题的回答结果可再提问：你是怎样得到圆的周长和直径 2r 的比值是不变的呢？这个比值是什么呢？由上面的两个例子我们可以看到，在某一具体过程中有些量是可以取不同的数值的，如以上两例中
3、的大米的千克数、总价、圆的半径 r，周长 C 以及面积 S，我们称之为变量；而有些量在整个过程中都保持不变，例如米的单价与圆周率 ，我们称之为常量但请大家注意：常量和变量并不是绝对的，而是相对的例如：(出示幻灯片)(1)从大连到北京，如果我们乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？这个问题的答案有很多种，引导学生回答：随着时间的不同，距北京的距离不同，但速度是不变的(2)从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中，哪些量是变量，那些量是常量？引导学生回答：距离不变，但随着两种交通工具速度的不同，到北京的时间也不同这两个问题都可由学生讨论
4、、回答通过这两个问题可以向学生进行对立统一的辩证唯物主义教育二、合作交流，探究新知在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的例如：大米的千克数与总价，圆的半径与面积之间的关系，这就是我们今天要学习的数学中一个很重要的基本概念函数现在，我们就来研究什么叫函数首先，我们来看问题 1：在售米的过程中，米的千克数和总价这两个量有什么关系？给学生一定的时间讨论，由学生回答后加以总结：对于米的千克数，每确定一个值，就有唯一的总价与它相对应提问：(1)大家试想，若每千克大米售价 2.40 元，我们用字母
5、n 表示大米的千克数，字母 m 表示总价，那么 n 与 m 之间有怎样的关系式呢？(2)若买 5 千克大米，应付多少钱？若买 25 千克大米呢？这两问主要是为了让学生从实际问题中体会一下对应的关系再来看问题 2：(1)请大家考虑，若已知圆的半径为 r，我们应怎样计算它的面积呢？(2)半径 r 与面积 S 有怎样的关系呢？总结：对于每一个半径 r 的值，面积 S 都有唯一的确定值与它相对应类似于这种变量间相互依存的关系还有很多，我们就不再一一列举由上面两个例子中的共同特点，你能否总结出函数的概念呢？教师提出问题之后，先由学生讨论，再由一名同学给出他的叙述方式，交由大家讨论，若完全正确，则教师可以
6、加以肯定表扬之后，再强调其中的关键词语，然后板书；若回答得不完善，可由其他同学再接着补充，直到补充正确、完整之后(若学生不能总结完整，教师可适当给予提问性的铺垫)，再强调关键词语，然后板书此处是本节课的重点和难点，一定不能操之过急【归纳总结】一般地，设在一个变化过程中有两个量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数三、运用新知，深化理解例 1 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，求矩形面积 S(m2)与一边长 L(m)之间的关系式，并指出式中的常量与变量，函数与自变量(出示幻灯片)分析：此题较简单，可由学生独立完成，完成
7、之后，可适当给予几个数值加以计算，强化学生对定义中“唯一的”的理解例 2 判断下列变化过程中，两变量存在函数关系的是( )A x， y 是变量， y2 xB人的身高与年龄C三角形的底边长与面积D速度一定的汽车所行驶的路程与时间分析：选项 A 中根据 x 每取一个值， y 有两个值与其对应，故不存在函数关系，此选项错误；选项 B 中人的年龄变，但身高不一定变，故人的身高与年龄不存在函数关系，此选项错误；选项 C 中高不能确定，共有三个变量，故不存在函数关系，此选项错误；选项D 中速度一定的汽车所行驶的路程与时间存在函数关系，此选项正确【归纳总结】判断函数关系时，应先看问题中是否仅有两个变量，再看
8、一个变量是否随着另一个变量的变化而变化，最后看给定一个自变量的值，因变量的值是否有唯一的值与它对应补充练习：下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由：(1)y2 x3；(2) y ；1x 1(3)y ；(4) x2 y21.x 2由学生加以讨论回答答案：(1)、(2)、(3)是函数，其中 x 是自变量， y 是 x 的函数；(4)不是函数因为对于每一个 x 值， y 不是有唯一的值与它对应(注意学生在说明原因时的语言，一定要准确)提问：由练习(4)说明了什么问题？四、课堂练习，巩固提高1教材 P23 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结
9、，梳理新知变 量 与 函 数 常 量 与 变 量 ： 在 一 个 变 化 过 程 中 ， 数 值 发 生变 化 的 量 为 变 量 ， 数 值 始 终 不 变 的 量 称 之 为常 量 .函 数 ： 一 般 地 ， 在 一 个 变 化 过 程 中 ， 如 果 有 两个 变 量 x与 y， 并 且 对 于 x在 它 允 许 取 值 范围 内 的 每 个 确 定 的 值 ， y都 有 唯 一 确 定 的 值与 其 对 应 ， 那 么 我 们 就 说 x是 自 变 量 ， y是 x的 函 数 . )六、布置作业 1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P31 习题 12.1 第 1
10、题第 2 课时 函数的表示方法1运用丰富的实例，帮助学生全面理解函数的三种表示方法2会用函数模型解决问题重点函数的三种表示方法及其应用难点函数的三种表示方法的应用一、创设情境，导入新课活动一 问题与情境用哪些方法表示函数？它们各有什么优点？分组活动，教师应注意：(1)列表法，图象法，解析法(2)表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法(3)为了全面认识问题，有时几种方法可同时运用先独立思考，然后组内交流并作记录，最后各组选代表发言，归纳出以下几点：列表法直接给出部分函数；解析法能明显地表示对应规律；图象法能明显地表示变化趋势二、合作交流，探究新知活动二 探究问题有时为了需要，这三种表达方式交替
11、使用或同时使用出示问题 1.一个水库的水位在最近 5 h 内持续上涨下表记录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间， y 表示水位高度t/h 0 1 2 3 4 5y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5思考：(1)观察记录表中的记录数值，你认为两个变量有什么对应关系？(2)这个函数的图象是一条直线吗？(3)根据什么预测？教师用设问的形式引导学生(1)观察记录表中的记录数值；(2)写出水位 y 随时间 x 的变化的函数表达式；(3)画出这个函数图象；(4)根据图象预测教师板书并画出图象要求学生体会不同的表示方法之间的转化问题 2 试判断点(2，4)是否在函数 y
12、2 x 的图象上思考：怎样确定一个点是否在函数的图象上？让学生思考、讨论，然后师生共同归纳出判断点是否在函数图象上的方法是：将点的坐标代入函数的表达式，看是否适合教师适当点评活动三 深化问题问题 3 1.已知函数 y2 x3，求：(1)函数图象与 x 轴、 y 轴的交点坐标；(2)x 取什么值时，函数值大于 1；(3)若该函数图象和函数 y x k 相交于 x 轴上一点，试求 k 的值2在同一直角坐标系中，画出函数 y x 与函数 y2 x1 的图象，并求出它们的交点坐标教师提示：(1)函数图象与 x 轴交点的纵坐标是 0，与 y 轴的交点横坐标为 0；(2)让学生画出草图注意：画图要标准学生
13、讨论(1)根据老师的引导解答问题；(2)画图，根据图象解答学生分组进行，然后交换方法三、运用新知，深化理解例 1 (教材 P24 例 1)【归纳总结】函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数表达式有算术平方根的表达式时，考虑被开方数为非负数在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义例 2 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间 t(s)的数据如下表：时间 t(s) 1 2 3 4 距离 s(m) 2 8 18 32 写出用 t 表示 s 的函数表达式：
14、_分析：观察表中给出的 t 与 s 的对应值，再进行分析，归纳得出函数表达式 t1 时，s21 2； t2 时， s22 2； t3 时， s23 2； t4 时， s24 2；，所以 s 与 t的函数表达式为 s2 t2，其中 t0.【归纳总结】本题以列表法表示时间 t 与距离 s 之间的关系，认真观察分析 s 随 t 的变化而变化的规律是列出函数表达式的关键例 3 一根弹簧原长 12 cm，它所挂的重量不超过 10 kg，并且挂重 1 kg 就伸长 1.5 cm，写出挂重后弹簧长度 y(cm)与挂重 x(kg)之间的函数关系式是( )A y1.5( x12)(0 x10)B y1.5 x1
15、2(0 x10)C y1.5 x12( x0)D y1.5( x12)(0 x10)分析：设挂重为 x，则弹簧伸长为 1.5x，挂重后弹簧长度 y(cm)与挂重 x(kg)之间的函数关系式是 y1.5 x12(0 x10)【归纳总结】解这类题的关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式在实际问题中求函数解析式时，要特别注意自变量的取值范围四、课堂练习，巩固提高1教材 P26 和 P28 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知1函数的三种表示方法及各自的优点2如何用函数解决问题？提示：函数不同的表示方法之间可以互相转化；思考三种表示方法之间的关系六、布置
16、作业 1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P31 习题 12.1 第 24，8，9 题第 3 课时 函数的图象1能根据函数图象所提供的信息 获取函数的性质2判断点与函数图象的位置关系重点根据图象判断函数的有关性质难点正确无误地观察函数图象一、创设情境，导入新课如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化，你从图象中得到了什么信息？教师引导学生按要求讨论问题，在学生充分发表自己的意见后，师生共同归纳得出：气温 T 是时间 t 的函数学生观察图形后讨论，分小组发表自己的意见二、合作交流，探究新知活动 1问题正方形边长 x 与面积 S
17、的函数关系是 S x2(x0)思考：(1)能否利用在坐标系中画图的方法来表示 S 与 x 的关系？(2)自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯一的数值 S，是否确定了一个点( x， S)呢？活动 2问题根据上面的练习，思考什么叫函数的图象？活动 3问题教材 P28“思考”第 1 题思考：(1)这天最高体温、最低体温分别是多少？分别是在什么时刻达到的？(2)什么时间段体温上升？什么时间段体温不断下降？(3)体温变化规律是什么？巩固练习：P29“思考”第 2 题教师请学生思考，并与学生校核答案教师应重点关注：(1)对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，这样可确定点
18、(2)用光滑的曲线连接，是指不出现明显的拐弯点(3)表示 x 与 S 的对应关系的点有无数个，但我们实际上只能描述出有限个点，要学生同时想象出其他点的位置教师在学生讨论的基础上叙述出函数的图象的定义，并板书应重点关注：(1)学生是否明确函数定义的内涵，包括图象的画法；(2)举例说明，如：你所画的就是函数 S x2(x0)的图象教师在学生讨论的基础上，对学生的答案作出评价学生按教师的要求填表，在直角坐标系中描点连线学生根据自己画的图象，思考函数图象的定义，然后讨论让学生先讨论，然后分组回答活动 4出示问题：如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回
19、家图反映了这个过程中，小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系图图根据图象回答下列问题：(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？(2)小明吃早餐用了多少时间？(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？(4)小明读报用了多少时间？(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？教师应重点关注：(1)小明离家的距离 y 是时间 x 的函数，从图象中有两段是平行于 x轴的线段可知，小明离家后这两段时间内先后停留在食堂与图书馆(2)题中的图象是由 5条线段组成的，它对应 5 个时间段内的活动， x 表示时间，每条线段左右端点的横坐标之差表示了相应的时间段的长
20、， y 表示小明离家的距离学生书写时必须说明是根据横坐标还是根据纵坐标得到的(3)学生回答问题要规范、全面在教师的引导下，学生先回答每个问题，再书写出答案，然后比较与教材答案的异同三、运用新知，深化理解例 某星期四下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校图中折线表示小强离开家的路程 y(公里)和所用的时间 x(分)之间的函数关系下列说法错误的是( )A小强从家到公共汽车站步行了 2 公里B小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟C公共汽车的平均速度是 30 公里/时D小强乘公共汽车用了 20 分钟分析：根据题意和图象可
21、知小强从家到公共汽车站步行了 2 公里，选项 A 正确；根据题意和图象可知小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟，选项 B 正确；公共汽车的速度为15 30(公里/时)，选项 C 正确；小强和小明一起乘公共汽车，时间为 30 分钟，选项 D12错误【归纳总结】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的实际意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决需注意计算单位的统一四、课堂练习，巩固提高1教材 P30 练习2请同学们完成探究在线高效课堂 “随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知以师生共同交流的方式进行归纳：(1)函数图象会使函数关系更为清晰，怎样画出函数的图象呢？(2)如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题？教师在学生讨论的基础上，总结出：(1)函数图象的特点；(2)用描点法画出函数的图象；(3)应用函数图象时，注意自变量与函数的对应关系讨论怎样画函数的图象，小组之间可以交换意见六、布置作业 1请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”内容2教材 P3132 习题 12.1 第 57 题
