1、三 简单曲线的极坐标方程1能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)的方程2通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义1圆的极坐标方程(1)曲线 C 的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中_，并且坐标_都在曲线 C 上，那么方程 f(， )0 叫做曲线 C 的极坐标方程(1)由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程有些表示形式可能不满足方程例如，对极坐标方程 ，点
2、M( ， )可以表示4 4为( ， 2)或 ( ， 2) 等多种形式，其中只有( ， )的形式满足方程，而其他表示形式4 4 4 4 4 4都不满足方程(2)今后我们遇到的极坐标方程多是 ( )的形式，即 为 的一个函数(3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程 ( )的图形的对称性：若 ()( )，则相应图形关于极轴对称；若 ()()，则图形关于射线 所在的直线2对称；若 ()( )，则图形关于极点 O 对称(2)圆经过极点 O，圆与极轴的另一个交点是 A(2a,0)，圆的半径是 a，圆心坐标是C(a,0)(a0) ，则圆的极坐标方程是_【做一做 11】 极坐标方程 1 表示( )A直线
3、B射线 C圆 D椭圆【做一做 12】 在极坐标系中，求圆心为 A(8， )，半径为 5 的圆的方程32直线的极坐标方程直线 l 经过极点，极轴与直线 l 的夹角是 ，则直线 l 的极坐标方程为_(R )求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径 和极角 之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立 ， 之间的关系【做一做 21】 极坐标方程 sin (R)表示的曲线是( )13A两条相交直线 B两条射线C一条直线 D一条射线【做一做 22】 曲线 0， (0)和 4 所围成图形的面积是 _3【做一做 23】 极坐标方程 cos sin 2 所表示的曲线是 _答案
4、：1(1)至少有一个满足方程 f(， )0 适合方程 f(，)0 的点(2)2acos 【做一做 11】 C【做一做 12】 解：在圆上任取一点 P(， )，那么，在AOP 中，|OA|8，| AP|5，AOP 或 .由余弦定理得 cos AOP ，即3 3 82 2 52282 16cos ( )390 为所求圆的极坐标方程32【做一做 21】 A【做一做 22】 83【做一做 23】 一条直线和一个圆 cos sin 22sin cos ，cos 0 或 2sin .cos 0 表示一条直线(y 轴)；2sin 2cos ( )表示圆心为(1， )，半径为 1 的圆2 21直角坐标系与极坐
5、标系的区别剖析：(1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对( ，)只能与一个点 P 对应，但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对(，)对应例如( ，2n)与( ，(2n1)(n 为整数)表示的是同一个点，所以在极坐标系内点与有序实数对( ，)不是一一对应的(2)在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的( 解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程)可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的(3)在直角坐标系内，曲线上每一
6、点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如给定曲线 ，设点 P 的一个极坐标为( ，4)，那么点 P 适合方程 ，从而是曲线上的一个点，但点 P 的另一个极坐标( ， )就不4 4 94适合方程 了所以在极坐标系内，确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判断点 P 的极坐标中是否有一种形式适合曲线 C 的方程即可2求极坐标方程的步骤剖析：求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹将已知条件用曲线上的点的极坐标 ， 的关系式f(， ) 0 表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)
7、建立适当的极坐标系，设 P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略3常见的直线和圆的极坐标方程剖析：(1)直线的极坐标方程( a0)过极点，并且与极轴成 角的直线的极坐标方程：(R )；垂直于极轴和极点间的距离为 a 的直线的极坐标方程：cos a；平行于极轴和极轴间的距离为 a 的直线的极坐标方程：sin a；不过极点，和极轴成 角，到极点距离为 a 的直线的极坐标方程：sin( )
8、a.(2)圆的极坐标方程(a0)圆心在极点，半径为 a 的圆的极坐标方程：a；圆心在(a,0) ，半径为 a 的圆的极坐标方程：2acos ；圆心在(a，)，半径为 a 的圆的极坐标方程： 2acos ；圆心在(a， )，半径为 a 的圆的极坐标方程： 2asin ；2圆心在(a， )，半径为 a 的圆的极坐标方程： 2a sin ；32圆心在(a， 0)，半径为 a 的圆的极坐标方程： 2acos ( 0)题型一 圆的极坐标方程【例 1】 求圆心在 A(2， )，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方32程反思：在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标
9、表示，然后化简，最后求出 与 的函数关系，即要求的极坐标方程题型二 直线的极坐标方程【例 2】 求过点 A(1,0)且倾斜角为 的直线的极坐标方程4分析：本题可用两种解法：(1)可先根据题意画出草图，并设点 M(，) 是直线上的任意一点，从而由等量关系建立关于 ， 的方程并化简，最后检验是否是所求即可；(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程，然后由公式Error!化为极坐标方程即可反思：解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点 M 所满足的等式，从而建立了以， 为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解题型三 直角坐标方程与极坐标
10、方程的互化【例 3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线 y x(x0)；3(2)圆 x2y 22ax 0(a0)分析：由公式Error!化简即可反思：化曲线的直角坐标方程 f(x，y )0 为极坐标方程 f(，)0，只要将 xcos ，y sin 代入到方程 f(x， y)0 中即可化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为 0.例如 x2y 225 化为极坐标方程时，有 5 或 5 两种情况，由于 0，所以只取 5.事实上，这两个方程都表示以极点为圆心，以 5 为半径的圆题型四 易错辨析【例 4】 把直角坐标方程 xy0 化为极坐标方程错解：将 xcos ，ysin 代入
11、xy 0 得cos sin 0.(cos sin )0.tan 1.所以极坐标方程是 k (kZ)4答案：【例 1】 解：如图，设 M(，)为圆上除 O、B 外的任意一点，连接OM，MB ，则有 OB4，|OM | ，MOB| |，BMO ，从而BOM 为直角三32 2角形，所以有| OM| OB|cosMOB，即 4cos( ) 4sin ，点 O(0,0)，B(4， )也32 32适合此方程，故所求圆的极坐标方程为 4sin .化为直角坐标方程为 x2y 24y0.【例 2】解法一：如图，设 M(，)( 0)为直线上除点 A 以外的任意一点，则xAM ，OAM ，OMA ，4 34 4在O
12、AM 中，由正弦定理得 ，即 ，OMsinOAM OAsinOMA sin 34 1sin4 所以 sin( ) ，即 (sin cos cos sin ) ，4 22 4 4 22化简，得 (cos sin )1，经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为 (cos sin )1.解法二：以极点 O 为直角坐标原点，极轴为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy，直线的斜率 ktan 1，4直线方程为 yx 1，将 y sin ，xcos (0) 代入上式，得sin cos 1，所以 (cos sin )1.【例 3】 解：(1)将 xcos ，y sin 代入
13、y x，得 sin cos ，3 3tan ， 或 .33 43又 x0，cos 0， ，43射线 y x(x0)的极坐标方程为 (0) 343(2)将 xcos ，y sin 代入 x2y 22ax 0，得2cos2 2sin2 2a cos 0，即 (2acos )0，2acos ，圆 x2y 22ax 0( a0)的极坐标方程为 2acos ，圆心为(a,0) ，半径为r| a|.【例 4】 错因分析：由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里通常约定 只在 0,2)范围内取值正解：将 xcos ，ysin 代入 xy 0 得cos sin 0，(cos sin )0，tan 1.
14、(0)和 (0)34 74综上所述，直线 xy 0 的极坐标方程为 (0) 和 (0)或 (R) 或34 74 34 (R)741 极坐标方程 cos (0)表示的曲线是( )2A余弦曲线 B两条相交直线C一条射线 D两条射线2 在极坐标系中，过点 P(3， )且垂直于极轴的直线方程为 ( )3A cos Bsin 332C cos D sin 23(2012 广东惠州一模)在极坐标系中，点 P(2， )到直线 l：3cos 4 sin3 的距2离为_4 求过 A(2， )且平行于极轴的直线5 在圆心的极坐标为 A(4,0)，半径为 4 的圆中，求过极点 O 的弦的中点的轨迹答案：1D cos
15、 ， 2k(kZ )2又0，cos 表示两条射线2A 设直线与极轴的交点为 A，则|OA |OP |cos ，32又设直线上任意一点 M(，)，则|OM|cos | OA|，即 cos .31 在相应直角坐标系中，P(0，2) ，直线 l 方程：3x 4y30，所以 P 到 l 的距离：d .204()314.解：如图所示，在直线 l 上任意取一点 M(， )，A(2， )，4|MH| 2sin .2在 Rt OMH 中，|MH| OM|sin ，即 sin ，过 A(2， )且平行于极轴的直线方程为 sin .425解：设 M(， )是所求轨迹上任意一点连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(0， 0)，则有 0， 0 2.由圆心为(4,0)，半径为 4 的圆的极坐标方程为 8cos ，得 08cos 0.所以 28cos ，即 4cos .故所求轨迹方程是 4cos .它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的圆
