1、 根据两点距离公式，利用双曲线方程，借助代入消元法，消去其中一个变量，得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式，将点点之间距离的最值问题转化成常见函数二次函数的最值问题进行求解，注意变量的取值范围。先看例题：已知双曲线 求点 到此双曲线上的点的最近距离。24:yCx(1,0)P解：设双曲线上的点( , )到点 P 的距离为 d,22221) 5dxxx当 = 时, d 取得最小值 3整理：焦点在 x 轴上的双曲线 上任一点 ，)0,(12bayx,Pxy，,0Mm2222|()()(1)Pmxa，,Nn2222|()()(yxynanb两点距离的最值问题转化成二次函数的最值问题进行
2、求解，注意变量 的取值范围，其中,xy|,xayR焦点在 y 轴上的双曲线 类似处理。)0,(12baxy再看一个例题，加深印象例：已知双曲线 的离心率 ，点 A（0，1）与双曲线上的点)0,(12bayx 25e的最小距离是 ，求双曲线的方程530解：离心率 ，2e a=2b，,5c双曲线方程可化为 ，224byx点 A（0，1）与双曲线上的点的距离 ，22214()5()5xyyb 时，点 A（0，1）与双曲线上的点的最小距离是 ，5y 2430b=1，a=2，双曲线的方程为 214xy总结：1.根据双曲线不同形式的标准方程及两点距离公式，写出双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量 x 或
3、y 的函数表达式。2.根据变量 的取值范围，求出二次函数的最值，进而求出双曲线上点到坐标轴上点的距,离最值。练习：1.已知双曲线 C: ,点 A(a,0) (a0)到双曲线上的点的最近距离为 d,求解析式21xyd=f(a).2.已知双曲线 C: ,P 是 C 上的任意点.24y()求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;()设点 A 的坐标为(3,0),求| PA|的最小值.答案：1.解： ，2222()()1()1adxayxax|x0 a 2 时，点 A(a,0)到双曲线的距离的最小值 ；2()1|af a当 a2 时，点 A(a,0)到双曲线的距离的最小值 2fa2.()设 P 的坐标为( x,y),则|PA|2(x3) 2y 2(3)14x.25|x|2,当 时,|PA| 2的最小值为 ,15x45即| PA|的最小值为 .25
