1、24.4 弧长和扇形面积(第 1 课时)教学内容1n的圆心角所对的弧长 L= 180nR2扇形的概念；3圆心角为 n的扇形面积是 S 扇形 = ；2364应用以上内容解决一些具体题目教学目标了解扇形的概念，理解 n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n的圆心角所对的弧长 L= 和扇形面2180nR积 S 扇 = 的计算公式，并应用这些公式解决一些题目2360nR重难点、关键1重点：n的圆心角所对的弧长 L= ，扇形面积 S 扇 = 及其它们的应用180nR2360nR2难点：两个公式的应用3关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公
2、式的过程教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题1圆的周长公式是什么？2圆的面积公式是什么？3什么叫弧长？老师点评：（1）圆的周长 C=2 R（2）圆的面积 S 图 = R2（3）弧长就是圆的一部分二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为 R，则：1圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧21的圆心角所对的弧长是_32的圆心角所对的弧长是_44的圆心角所对的弧长是_5n的圆心角所对的弧长是_（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n的圆心角所对的弧长为 360nR例 1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直
3、长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即 的长（结果精确到 0.1mm）AB .cBAO110分析：要求 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可AB解：R=40mm，n=110 的长= = 76.8（mm）180nR4因此，管道的展直长度约为 76.8mm问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？（2）如果这头牛只能绕柱子转过 n角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以 A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积（2）如
4、果这头牛只能绕柱子转过 n角，那么它的最大活动区域应该是 n圆心角的两个半径的 n圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形（小黑板） ，请同学们结合圆心面积 S= R2的公式，独立完成下题：1该图的面积可以看作是_度的圆心角所对的扇形的面积来源:学优高考网2设圆的半径为 R，1的圆心角所对的扇形面积 S 扇形 =_3设圆的半径为 R，2的圆心角所对的扇形面积 S 扇形 =_4设圆的半径为 R，5的圆心角所对的扇形面积 S 扇形 =_来源:学优高考网 gkstk5设圆半径为 R，n的圆心角所对的扇形面积 S 扇形 =_老师检
5、察学生练习情况并点评1360 2S 扇形 = R2 3S 扇形 = R2 4S 扇形 = 5S 扇形 =160602360R2360nR因此：在半径为 R的圆中，圆心角 n的扇形S 扇形 =23n例 2如图，已知扇形 AOB的半径为 10，AOB=60，求 的长（结果精确到AB01）和扇形 AOB的面积结果精确到 01）分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足解： 的长= 10= 10.5AB60183S 扇形 = 102= 52.33因此， 的长为 25.1cm，扇形 AOB的面积为 150.7cm2A三、巩固练习课本 P122练习四、应用拓展例 3 （1）操作
6、与证明：如图所示，O 是边长为 a的正方形 ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O处，并将纸板绕 O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a（2）尝试与思考：如图 a、b 所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为 a的正三角形或边长为 a的正五边形的中心点处，并将纸板绕 O旋转， ，当扇形纸板的圆心角为_时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值 a；当扇形纸板的圆心角为_时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值 aDECBAO(a) (b)（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a的正 n边
7、形的中心 O点处，若将纸板绕 O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_时，正 n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a，这时正 n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正 n边形面积 S之间的关系（不需证明） ；若不是定值，请说明理由解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 AB、AD分别交于点 M、N，连结 OA、OD四边形 ABCD是正方形OA=OD，AOD=90，MAO=NDO，又MON=90，AOM=DONAMODNOAM=DNAM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点 M与点 A（点 B）重合时，点 N必与点 D（点 A）重合，此时 AM+AN仍为定值 a
8、故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a（2）120；70（3） ；正 n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是 60 Sn五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握：1n的圆心角所对的弧长 L= 180R2扇形的概念3圆心角为 n的扇形面积是 S 扇形 =236n4运用以上内容，解决具体问题六、布置作业1教材 P124 复习巩固 1、2、3 P125 综合运用 5、6、72选用课时作业设计第一课时作业设计来源:学优高考网 gkstk一、 选择题1已知扇形的圆心角为 120，半径为 6，则扇形的弧长是（ ） A3 B4 C5 D62如图 1所示，把边长为 2的正方形 ABCD的
9、一边放在定直线 L上，按顺时针方向绕点 D旋转到如图的位置，则点 B运动到点 B所经过的路线长度为（ ）A1 B C D2(1) (2) (3)3如图 2所示，实数部分是半径为 9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）A12 m B18 m C20 m D24 m二、填空题1如果一条弧长等于 R，它的半径是 R，那么这条弧所对的圆心角度数为_， 4当圆心角增加 30时，这条弧长增加_2如图 3所示，OA=30B，则 的长是 的长的_倍来源:gkstk.ComABC三、综合提高题1已知如图所示， 所在圆的半径为 R， 的长为 R，O和 OA、OB
10、分别相BA3切于点 C、E，且与O 内切于点 D，求O的周长2如图，若O 的周长为 20 cm，A、B 的周长都是 4 cm，A 在O内沿O滚动，B 在O 外沿O 滚动，B 转动 6周回到原来的位置，而A 只需转动 4周即可，你能说出其中的道理吗？.cBAO3如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷 ABCD，AB=1，AD= ，将画3刷以 B为中心，按顺时针转动 ABCD位置（A点转在对角线 BD上） ，求屏幕被着色的面积答案:一、1B 2D 3D二、145 R 2316三、1连结 OD、OC，则 O在 OD上由 = R，解得：AOB=60，ABl由 RtOOC解得O的半径 r= R，所以O的周长为 2 r= R1332O、A、B 的周长分别为 20 cm，4 cm，4 cm，可求出它的半径分别为 10cm、2cm、2cm，所以 OA=8cm，OB=12cm，来源:学优高考网因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，所以A 滚动回原位置经过距离为 2 8=16 =4 4，而B 滚动回原位置经过距离为 2 12=24 =4 6因此，与原题意相符3设屏幕被着色面积为 S，则 S=SABD +S 扇形 BDD+SBCD =S 矩形 ABCD+S 扇形 BDD，连结 BD，在 RtABD中，AB=1，AD=AD= ，3BD=BD=2，DBD=60，S= 22+1 = + 1632
