1、课堂导学三点剖析各个击破一、利用综合法证明数学问题【例 1】如右图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA底面 ABCD,求证:PCBD. 证明：(综合法)因为 PA 是平面 ABCD 的垂线,PC 是平面 ABCD 的斜线,连结 AC、 BD,则 AC 是 PC 在底面 ABCD 内的射影.又因为四边形 ABCD 为正方形.AC BD. 故 PCBD. 温馨提示本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有 AB、AD 、AP 两两垂直的基向量) 等等 .一般地,对于命题“若 A 则 D
2、”用综合法证明时，思考过程可表示为 (如右图).综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从 A 推演达到 D 的途径，但由 A 推演出的中间结论未必唯一，如 B、B 1、B 2 等，可由 B、B 1、B 2 能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如 C、C 1、C 2、C 3、C 4 等等.最终,能有一个(或多个) 可推演出结论 D 即可.类题演练 1用综合法证明,设 a0,b0,ab.证明: .证明：综合法因为 ab，所以 a-b0，而（a-b） 20，展开（a-b） 2 得：a2-2ab+b20.两边加上 4ab 得：a2+2ab+b24ab.左边写成（a+b） 2 得：（a+b） 24ab.
3、由于 a0,b0,两边取算术平方根得：a+b2 .ab两边除以 2 得：.变式提升 1已知 ab0,求证: .ba证明：ab0，b ,即 2b2 .ab进而-2 -2b,于是 a-2 +ba+b-2b,即 0( )2a-b,ba .二、利用分析法证明数学问题【例 2】求证: .723证法一：为了证明 , ,0,只需证明( )2(2+ )2,展开得 11+ 11+ ,只需证 ,37647647只需证 67.显然 67 成立. 成立.2证法二:为了证明 ,723只要证明 ,7只要证明 .321 ,7,2.07 成立. 成立.3172温馨提示用分析法思考数学问题的顺序可表示为:(对于命题“若 A 则
4、 D”)如右图,分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从 D 上溯寻其论据,如 C、C 1、C 2 等,再寻求 C、C 1、 C2 的论据,如 B、B 1、B 2、B 3、B 4 等等,继而寻求 B、B 1、B 2、B 3、B 4 的论据,如果其中之一 B 的论据恰为已知条件,于是命题已经得证.类题演练 2已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0x1.求证:log x +logx +logx log xa+logxb+logxc.cb2证明：要证明logx +logx +logx log xa+logxb+logxc,2a只需要证明logx log x(abc).bac2由已知 0x1,只需证
5、明 abc.bac2由公式知 0, 0, 0.2ba2caa、b、c 不全相等，上面三式相乘， =abc,即 abc 成立,2bab2clog x +logx +logx log xa+logxb+logxc 成立 .2c变式提升 2设 a,bR+,且 ab,求证:a 3+b3a 2b+ab2.证明：要证 a3+b3a 2b+ab2 成立，只需证（a+b）(a 2-ab+b2)ab(a+b)成立,又因 a+b0,只需证 a2-ab+b2ab 成立.又需证 a2-2ab+b20 成立.即需证(a-b) 20 成立.而依题设 ab，则（ a-b） 20 显然成立.由此命题得证.三、创新应用【例 3
6、】设 a、b、c 为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证 3SI24S.证明：I 2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S.故要证 3SI24S,只需证 3Sa2+b2+c2+2S4S,即 Sa2+b2+c22S(这对于保证结论成立是充分必要的).欲证上左部分,只需证 a2+b2+c2-ab-bc-ca0.即只需证(a 2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)0(这对于保证前一定结论成立也是充要的).要证上成立,可证三括号中子都不为负 (这一条件对保证上结论成立是充分的,但它并不必要),注意到:a
7、2+b2-2ab=(a-b)20,b2+c2-2bc=(b-c)20,c2+a2-2ca=(c-a)20,故结论真.欲证上右部分,只需证:a 2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即要证:(a 2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0.欲证上,则至少要证以上三个括号中子之一小于零(这一条件对保证上结论成立只是必要的,但它并不充分),即要证 a2 ab+ac,b2bc+ba,c 2ca+cb 之一真 ,也就是要证ab+ c,bc +a,ca+ b 之一真,它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边和.故原成立.温馨提示在本例中,我们既看到按结论成立的充分条件推演的步子,
8、也看到按结论成立必要条件而推演的步子,同时也看到按结论成立的充要条件而推演的步子 .类题演练 3设实数 a0,且函数 f(x)=a(x2+1)-(2x+ )有最小值-1.a1(1)求 a 的值;(2)设数列a n的前 n 项和 Sn=f(n),令 bn= ,证明数列b n是等差数列.an242(1)解：f(x)=a( x- )2+a- ,1a由题设知 f( )=a- =-1,且 a0，解得 a=1 或 a=-2（舍去）.(2)证明：由（1）得 f(x)=x2-2x,当 Sn=n2-2n,a1=S1=-1.当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3.a1 满足上式，即 an=2n-3.数列a n是首项为 -1，公差为 2 的等差数列.a 2+a4+a2n= =n(2n-1),)(2n即 bn= =2n-1.)1(b n+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2.又 b1= =1,2ab n是以 1 为首，2 为公差的等差数列.
