1、1.5 定积分1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 定积分知识梳理1.直线 x=a,x=b(ab),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为_梯形.2.如果函数 f(x)在区间a,b 上连续,用分点 a=x0x 1x i-1x ix n=b,将区间a,b均分成 n 个小区间,在每个小区间x i-1,xi上任取一点 i(i=1,2,n),作和式,当 n时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数iinii fabf11 )()(f(x)在区间 a,b上的_(definite integral), 记作 .这里 a 与 b 分别叫做badxf)(积分_与积分_,区间a,b叫做积分_,函数 f
2、(x)叫做_,x 叫做_,f(x)dx 叫做_.3 定积分的性质(1) =_badxf)(;xdkfba)(2) = _;f211(3) = f(x)dx+_ (acb).baxf)(ca)(知识导学要学好本节内容,必须理解定积分 (f(x)0)的真正含义,同时熟记定积分的性badxf)(质,因为只有用性质解题才能大大简化求曲边形面积的过程.疑难突破本节的重点、难点是对定积分定义的理解,尤其是“以直代曲”的思想是定积分中最重要的部分.剖析:利用定积分求曲边形的面积的实质是 “化整为零”的过程.典题精讲【例 1】 求由直线 x=1,x=2,y=0 及曲线 y= 围成的图形的面积 S.21x思路分
3、析:利用求曲边梯形面积的步骤求解 .解:(1)分割在区间1,2等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间：1, ,n1, ,2,记第 i 个区间为 (i=1,2, ,n)，其长度n21n1ii,1为 x= .i分别过上述 n-1 个点作 x 轴的垂线 ,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形( 如图 151)，它们的面积记作:S 1,S 2,S n.图 1-5-1则小曲边梯形面积的和为 S= .niiS1(2)近似代替记 f(x)= ,当 n 很大，即 x 很小时，在区间 上，可以认为 f(x)=21x nii,1的值变化很小，近似地等于一个常数,不妨认为它等于 f( ).从图形上看，2
4、ii就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间 nii,1上，用小矩形面积 S i近似地代替 S i，即在局部小范围内“以直代曲”，则有S iS i=f( )x= (i=1,2,n).n1 )(1()(1(2 iiniin(3)求和小曲边梯形的面积和 Sn= ii1niS1= )1()2()()(1(1 nniini ,212n从而得到 S 的近似值 SSn= .1(4)逼近分别将区间1,2等分成 8,16,20,等份时,S n 越来越趋向于 S,当 n 趋向于+时,S n 无限趋近于 .21由此可知图形面积为 .绿色通道：本题主要考查曲边梯形面积的求解方法.用分割、
5、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积,它体现了一种化整(分割) 为零,积零为整(逼近)的思想方法.变式训练：求抛物线 y=x2 与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形的面积 S.解:(1)分割在区间0,1上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间:0, , , ,n12,1.n1记第 i 个区间为 (i=1,2,n),其长度为 x= .分别将上述 n-1 个分ni,1i点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,它们的面积记作:S 1,S 2,S n.S= .niiS1(2)近似代替记 f(x)=x2,当 n 很大,即 x 很小时，在区间 上，可以认为
6、 f(x)=x2 的值变ni,1化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点 处的函数值 f( ).就ni1是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边,这样,在区间 上,用小矩i形的面积 S i近似地代替 S i,即在局部小范围内“ 以直代曲 ”,则有S iS i=f( )S=( n1)2x=( i)2 (i=1,2,n). n1(3)求和由S n= i nii xf1121 )()(=0 +( )2 +( )2 = 1 2+22+(n-1)23= ,从而得到 S 的近似值)(36(3 nnSSn= (1- )(1- ). 1n2(4)逼近分别将区间0,1等分成 8，16，
7、20，等份时，可以看到随着 n 的不断增大，即x 越来越小时，S n= (1- )(1- )越来越趋近于 S，而当 n 趋向于+时，式无限趋向31n2于 ,即所求面积为 .31【例 2】 利用定积分的性质,用定积分表示出下列曲线围成的平面区域的面积.(1)y=0, ,x=2;xy(2)y=x-2,x=y2.思路分析：用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分变量，确定上、下限，当计算公式 S= 中的 f(x)或 g(x)是badxgf|)(|分段函数时，面积要分块计算.解:(1)曲线所围成的区域如图 1-5-2 所示.图 1-5-2设此面积为 S,则 S=
8、2020)(dxx(2)如图 1-5-3 所示,曲线所围成的平面区域 S=A1+A2，图 1-5-3A1 由 y= ,y= ,x=1 围成；xA2 由 y= ,y=x-2,x=1 和 x=4 围成.A 1= ,0)(dxxA2= .42S= .4110 )(xx绿色通道：利用定积分求平面图形面积时，可从以下几个步骤进行：画图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，求定积分得面积.变式训练：计算抛物线 y2=2x 与直线 y=x-4 所围成的图形面积.解：曲线所围成的区域如图 1-5-4 所示.图 1-5-4S=A1+A2,A1 由 y= ,y= ,x=2 围成,xA2 由 y= ,y=x-4,
9、x=2,x=8 围成.A 1= dxx)2(20= ,dA2= .dxxx 828 )4()4(所以 S= .0问题探究问题:利用求曲边梯形的理论方法能否解决汽车 (或某变速物体)在某段时间内的路程问题?导思:这一问题是考查和培养学生的发散思维能力,应用所学知识解决一些未曾见过或未曾解决过的问题,体现数学中转化的思想方法.探究:若做直线运动的物体,它的速度是时间 t 的函数 v(t),则物体在 t=t0 到 t=t1 这段时间内所经过的路程为 Sn= t，其中 i , ,t=iiv1)(nti)(10nti)(,物体在 t=t0 到 t=t1 这段时间内所经过的路程 S 是曲线 v=v(t)与直线 t=t0,t=t1 及横轴围t01成的曲边梯形的面积.
