1、互动课堂疏导引导“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的原本就是一个典型的演绎系统,它从 10 条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其他命题.像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设), 以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示：MP(M 是 P)
2、 )(PSM是是三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是：若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提.如图所示,在锐角ABC 中,ADBC,BEAC,D、E 是垂足.求证：AB 的中点 M 到D、E 的距离相等.分析：解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.证明：(1)因为有一个内角是直
3、角的三角形是直角三角形, (大前提)在ABD 中,ADBC, 即 ADB=90, (小前提)所以ABD 是直角三角形. (结论)同理,AEB 也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， (大前提)而 M 是 RtABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线， (小前提)所以 DM= . (结论)AB21同理，EM= ，所以，DM=EM.案例 已知函数 f(x)=ax+ (a1).1证明：函数 f(x)在(-1，+)上为增函数.【探究】用演绎推理解决问题的常见模式是三段论.证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数 y=f(x)满足：在给定区间内任取两个自变量 x1,
4、x2，若 x1x 2,则有 f(x1)f(x 2),小前提是函数 f(x)=ax+ (a1)12在(-1，+)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键.证明：设-1x 1x 2,f(x2)-f(x1)= + - -a21x2= - + -2x121x= ( )+ 1xa12 )1(2)(2x= ( )+1x12)(312x因为 x2-x10,又 a1,所以 -x11.2x所以 ，而-1x 1x 2,0所以 x1+10,x 2+10,所以f(x2)-f(x1)0,f(x) 在(-1,+)上为增函数.规律总结演绎推理一般分三段，称为“三段论”，其中第一段称为“大前提”，指的是一个一般原理.第二段称为
5、“小前提” 指的是一种特殊情况，第三段称为“结论”是所得的结论，当大前提是很显然时，一般可以省略不写.演绎推理在数学命题的推理中是常用的方法，证题中要注意灵活应用.活学巧用例 1 已知 a、bR ,求证： .|1|1baab证明：设 f(x)= ,x0,+),x 1、x 2 是0,+)上的任意两个实数,且 0x1x 2,f(x2)-f(x1)=x.)(1122x因为 x2x 10,所以 f(x2)f(x 1).所以 f(x)= 在0,+)上是增函数.(大前提)由|a|+|b|a+b|0,(小前提)知 f(|a|+|b|)f(|a+b|)(结论),即 成立.|1|1baab例 2 梯形的两腰和一
6、底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在梯形 ABCD 中(如图),AB=DC=AD,AC 和 BD 是它的对角线 ,求证：AC 平分BCD,DB 平分 CBA.证明：(1)等腰三角形两底角相等( 大前提),DAC 是等腰三角形,DA、DC 是两腰(小前提),1=2(结论).(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等( 大前提),1 和3 是平行线 AD、BC 被 AC 截出的内错角(小前提 ),1=3(结论).(3)等于同一个量的两个量相等( 大前提),2 和3 都等于1(小前提 ),2=3(结论),即 AC 平分BCD.(4)同理,DB 平分 CBA.例 3 已知函数 f(x
7、)= ,其中 a0,b0,x(0,+),确定 f(x)的单调区间,并证明在每个单bx调区间上的增减性.证明：设 0x 1x 2,则f(x1)-f(x2)=( )-( )1ba2x=(x2-x1)( ).x2当 0x 1x 2 时,则 x2-x10, ,bax21 bxax2121,0f(x 1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x 2).f(x)在 (0, 上是减函数.ba当 时,则 x2-x10, , ,x12 ba2x21f(x 1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x 2).f(x)在 ,+)上是增函数.ba例 4 已知函数 f(x)= (a0 且 a1)ax(1)证明：函数 y=f(x
8、)的图象关于点 ( )对称；21,(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.证明：函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点 (x,y),它关于点( , )对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由已知，y= ,21 ax则-1-y= ,aaxxf(1-x)= = ,xx1 axx-1-y=f(1-x).即函数 y=f(x)的图象关于点 ( )对称.21,(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x).即 f(x)+f(1-x)=-1.f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
