1、课堂探究探究一 求离散型随机变量的方差解决求离散型随机变量的方差问题，首先要理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能取的全部值，其次求出 X 每个取值对应的概率，列出分布列，然后由期望的定义求出 E(X)，最后由方差计算公式求出 D(X)【典型例题 1】 某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人，女生 2 人) 中选 3 人参加市中学生运动会志愿者(1)所选 3 人中女生人数为 ，求 的分布列及方差(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率思路分析：(1)先求出 的分布列，再求期望，再利用方差公式求出方差(2) 利用条件概率或用古典概型概率公式求解解：(1) 的可能取值为 0,1,
2、2.由题意 P(0) ，C34C36 15P(1) ，C24C12C36 35P(2) ，C14C2C36 15所以 的分布列为 0 1 2P 15 35 15E()0 1 2 1 ，15 35 15D()(01) 2 (11) 2 (21) 2 .15 35 15 25(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为 C， “男生甲被选中”包含的基本事件数为 C 10， “男生甲被选中，女生乙也被选中”包含的基本事件数为25C 4，14所以 P(C) .故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 .C14C25 410 25 25探究二 离散型随机变量方差的性质及运算1简化运算：
3、当求随机变量 的期望与方差时，可首先分析 是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量2性质应用：注意利用 E(ab) aE ()b 及 D(ab)a 2D()求期望与方差【典型例题 2】 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有n 个( n 1,2,3,4)现从袋中任取一个， 表示所取球的标号(1)求 的分布列、期望和方差(2)若 a b，E()1，D ()11，试求 a，b 的值思路分析：(1)先求出 的分布列，再利用公式求出期望与方差(2)通过 与 的线性关系表示出 E()，D ()，列方程组求解解：(1) 的分布列为 0 1 2 3
4、4P 12 120 110 320 15所以 E()0 1 2 3 4 1.5，12 120 110 320 15D()(01.5) 2 (11.5) 2 (21.5) 2 (3 1.5) 2 (4 1.5) 2 2.75.12 120 110 320 15(2)由 D()a 2D()，得 a22.7511，即 a2.又 E()aE() b，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2；当 a2 时，由 121.5b，得 b4.所以Error! 或Error!即为所求探究三 方差的实际应用离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，
5、因此在实际决策问题中，通常需先计算期望，比较一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的稳定性较好，因此在利用期望和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要考虑【典型例题 3】 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两个建材厂进行抽样检查，他们从中各取等量的样品进行检查，得到它们的抗拉强度指数如下：X 110 120 125 130 135P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2Y 100 115 125 130 145P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中 X 和 Y 分别表示甲、乙两厂钢筋的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，比较说明甲
6、、乙两厂的钢筋哪一种稳定性较好思路分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望，然后比较这两种钢筋质量的稳定性，即方差解：E(X) 1100.11200.2 1250.41300.1135 0.2125，E(Y)1000.11150.21250.41300.11450.2125，D(X)(110125) 20.1(120125) 20.2(125125) 20.4(130125)20.1(135125) 20.250，D(Y)(100125) 20.1(115125) 20.2(125125) 20.4(130125)20.1(145125) 20.2165.由 E
7、(X)E(Y) ，可知甲、乙两厂的钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于 120，但由于 D(X)D (Y)，即乙厂的钢筋的抗拉强度与其平均值偏差较大，故可认为甲厂的钢筋的质量稳定性较好探究四 易错辨析易错点：用错公式而致误【典型例题 4】 已知随机变量 X 的概率分布如下表所示：X 1 0 1P 12 13 16求 E(X)，D(X)， 的值D(X)错解：E( X)x 1p1x 2p2x 3p31 0 1 ，12 13 16 13D(X)(x 1E( X)p1( x2E(X)p 2( x3E (X)p3 0，所12 13 16以 0.D(X)错因分析：错误的原因是在利用方差的定义求解时，把(x iE(X) 2pi中(x iE( X)2 的平方漏掉了正解：E( X)x 1p1x 2p2x 3p31 0 1 ，12 13 16 13D(X)(x 1E( X)2p1( x2E(X) 2p2( x3E (X)2p3 2 2 2 ，12 13 16 59所以 .D(X)59 53
