1、课堂导学三点剖析一、要正确合理使用两个计数原理【例 1】 某国际旅行社共有 9 名专业导游，其中 6 人会英语，4 人会日语，若在同一天要接待 5 个不同的外国旅游团队，其中有 3 个队要安排会英语的导游，2 个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有_种.(用数字作答)解析：可从那名既会英语，也会日语的人(记为甲) 出发进行分类，按照甲是否被安排到需要英语的旅游团可分两类：第一类，甲被安排到需要英语的旅游团，则再分两步进行，第 1 步再从会英语的另外 5 人中选 2 人共 3 人分别安排到 3 个需要英语翻译的旅游团，共有 种安排方法；第 2 步25C3A从只会日语的 3 人中选出 2 人
2、安排到需要日语翻译的旅游团队有 种安排方法，故一共有3 种安排方法；25CA2第二类，甲没有被安排到需英语翻译的旅游团，则可分两步：第 1 步，从只会英语的 5 人中选 3 人安排到需英语翻译的 3 个旅游团有 种安排方法；第 2 步从会日语的 4 人(包括35A甲)中选 2 人安排到需要日语翻译的旅游团，有 种安排方法，故共有 种安排方法.2435A2由分类计数原理，一共有 + =1 080(种)不同的安排方法.25C335温馨提示本题既用了加法原理，也用到了乘法原理，当两个原理同时使用时，要根据问题的特点分清使用的先后顺序.二、解排列组合问题要遵循一定的先后原则【例 2】 （1）从 1、3
3、、5、7、9 中任取 3 个数字，从 2、4、6、8 中任取 2 个数字组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个?解析：从 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字有 种取法，从 2，4，6，8 中任取 2 个数字共5C有 种取法，再将取出的 5 个元素作全排列有 种，由乘法原理共有 =7 24CA35C45A200(种)(2)6 个人站成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有多少种?解析：将甲、乙看成一个元素进行全排列有 种，相邻的两人又有 种排法，因此，共52有 =240(种)排法.5A2温馨提示对于排列组合的综合问题，一般原则是先任取元素组合，后排列顺序，即先组合后排列.在(2)中用到了先
4、整体后个别的原则，即整体排好之后，再考虑特殊元素.这在处理“相邻”、 “不相邻”、 “连排 ”问题中有所体现.三、 “枚举法”和“ 逆向思考”【例 3】有四位老师在同一年级的 4 个班级中，各教一个班级的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法总数是( )A.8 B.9 C.10 D.11解析：设甲、乙、丙、丁四位老师分别执教 1 班、2 班、3 班、4 班，由表格知，当乙监考1 班时的方法数为 3 种，同理丙与丁监考 1 班时也都为 3 种，从而安排监考的方法总数为9 种.乙监考 1 班情况表1 班 2 班 3 班 4 班乙 甲 丁 丙乙 丙 丁 甲乙 丁 甲 丙温馨
5、提示人们在解决排列组合问题时，常习惯于用定义或含有排列数、组合数的式子来解决，但有时会遇到障碍，难以突破，如采用枚举的方法会收到意想不到的效果.各个击破【类题演练 1】某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张不同花色的 A，有5 次出牌的机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?解析：出牌的方法可分为以下几类：5 张牌全部分开出，有 种方法；两张 2 一起出，5A3 张 A 一起出，有 种方法； 2 张 2 一起出，3 张 A 分开出，有 种方法；2 张 2 一25 45起出，3 张 A 分两次出，有 种方法；2 张 2 分开出，3 张 A 一
6、起出，有 种方法；3C5A352 张 2 分开出，3 张 A 分两次出，有 种方法，因此共有不同的出牌方法 + +345 2A+ + + =860 种.45C52345【变式提升 1】有五张卡片，它们的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，可组成多少个不同的三位数?解析：解法一 (直接法)从 0 与 1 两特殊元素着眼分为三类：取 0 不取 1，可从四张卡片中选一张作百位，有 种方法，0 可在后两位有14C12C种方法；最后从剩下的三张中任取一张，有 种方法；又除含 0 的那张外，其它两张都3有正面与反面两种可能，故不同
7、的三位数有 22(个).1413取 1 不取 0，同上分析可得不同三位数 22 (个).CA0 和 1 都不取，有不同的三位数 23 (个).4综上，共有不同的三位数 22+ 22 + 23 =432 个.14134解法二 (间接法)任取三张卡片可以组成不同三位数 23 (个).5CA其中 0 在百位的有 22 (个) ，这些不合题意，故共有三位数 23 -4CA 5CA22 =432 个.4A【类题演练 2】 6 名同学站成一排，其中甲不站在排头，也不站在排尾，共有多少种方法?解法一：(先满足特殊元素)甲站在除排头和排尾以外的四个位置，其余的元素做全排列.故有 =480(种).145解法二：
8、(先满足特殊位置)从除甲以外其余 5 个元素中任取两个元素排在排头和排尾两个位置，其它元素做全排列，所以有 =480(种).2A14【变式提升 2】从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有( )A.180 种 B.240 种 C.300 种 D.360 种解析：分三种情况：(1)甲、乙都不参加，有 =24 种； (2)甲、乙仅有 1 人参加，有 214A13C=144 种；(3)甲、乙两人都参加，有 =72 种.由分类计数原理，共有34A2324+144+72=240 种.答案：B【类题演练 3】 从集合1，2，3，10中选出
9、 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中的任何两个数的和不等于 11，这样的子集共有( )A.10 B.16 C.20 D.32解析：由于 11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,即和为 11 的有下述五组数：(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),现从这五组数中各取一个数，方法数共有 25，即正确答案为 D.【变式提升 3】从六种小麦品种 a、b、c、d、e 、f 中选出四种，在不同土质的四块土地甲、乙、丙、丁上试种，每块土地上各种一个品种.已有实验定论：a 与 b 不适于土地甲，其余小麦品种均适于这块土地，则试种的方法有多少种?解析：将土地作为元素，小麦品种视为位置，原问题即为四块土地甲、乙、丙、丁的排列问题，显然共有 =240 种排法，故有 240 种试种方法.14C35A
