1、庖丁巧解牛知识巧学一、二项式定理1.公式(a+b)n= (nN *).nknn bCabaC10对二项式公式,令 a=1,b=x,则得一个比较常用的公式:(1+x) n=1+xn.rnnxx21(1)(a+b) n 的二项展开式共有1 项,其中各项的系数 (0,1,2,, )叫kn做二项式系数;(2)各项的次数都等于二项式的幂指数.方法归纳 (1)字母的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由逐次减 1 直到零,字母的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由 0 逐项加 1 直到;(2)由于二项式定理表示的是一个恒等式,在二项展开式中,有关系数的或组合数中一些和的问题,可对照二项展开式,对、赋以特
2、殊值,是解决这类问题的基本方法;(3)有关三项展开问题,可将三项中某两项看做一项,然后利用二项式定理处理.(4)二项式系数 只与第 n 项有关,与 a,b 的大小无关.nnC210,2.通项公式二项展开式中第1 项 叫做二项展开式的通项,即 Tk+1= an-kbk.knba nC(1)通项公式表示的是二项展开式中的任意一项,只要与确定,该项也随之确定;对于一个具体的二项式,它的二项展开式中的项依赖于;(2)通项公式表示的是第1 项,而非第项;(3)公式中的第一个量与第二个量的位置不能颠倒.疑点突破 利用通项公式可以解决以下问题:(1)求指定项;(2)求特征项;(3)求指定项、特征项的系数.在
3、应用通项公式时要注意以下几点:(1)要能准确地写出通项,特别注意符号问题;(2)要将通项中的系数和字母分离开来,以便解决有关问题;(3)通项公式中含有 a,b,n,k,Tk+1 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求第五个元素,在有关二项式定理的问题中,常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程或方程组,这里必须注意是正整数,是非负整数,且.二、二项式系数及其性质二项展开式中,各项系数 (r=0,1,2,,n) 叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项rnC式的幂指数有关的1 个组合数,与 a,b 无关.其性质如下:(1)对称性:
4、在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可以由 得到.mn(2)增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,那么其展开式中间一项,即 的12nT二项式系数最大;如果是奇数,那么其展开式中间两项 与 的二项式系数相等21nT1且最大.(3)各二项式系数的和: =2n,且奇数项的二项式系数和等于偶nnCC210数项的二项式系数和,即 +=2n-1.5314nn方法点拨 对形如(ax+b) n,(a2+bx+c)m 的式子求其展开式的各项系数之和,只需令=1即可,对形如(ax+by) n 的式子求其展开式各项系数之和,只需令=1 即可.辨析比较 二项式系数与项的系数是
5、不同的概念.如(a-b) n 的二项展开式的通项公式只需把-看成代入原来的二项式定理可得:T r+1=(-1)r an-rbr,则第1 项的二项式系数为C,而第1 项的系数是(-1) r .rnCnC知识拓展 如求(a+bx) n 展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式中各项系数分别为 A1,A2,,A n+1,设第1 项系数最大,应有 从而解出.,21rrA的值即可.问题探究问题 1 什么叫做二项式系数?什么叫做二项式项的系数?它们本质相同吗?有什么区别? 思路:(a+b) n 的二项展开式共有 1 项,其中各项的系数 (k0,1,2,,n) 叫做二项式knC系数.而二项式项的
6、系数是在二项式系数的前面加相应符号.二者是有区别的,如(a+bx) n 的展开式中,第1 项的二项式系数为 ,而第1 项的系数为 an-rbrrn n探究:在有关二项展开式问题中,要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系,同时注意“取特殊值法” 在求系数和中的作用.如在(1+2x) 7 的展开式中,第四项是 T4= 17-37C3(2x) 3,其二项式系数是 ,则第 4 项的系数是 23=280,它们既有区别,又有联系.37C7C求二项式系数的和是 2n,求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.问题 2 在数的整除问题中,我们经常会遇到这样的问题:今天是星期天,2 20 天后是星期几?11
7、827 的末位数字是几?3 4n+2+5m+1 能被 14 整除吗?等等.你能对此类问题提供一种较好的解决方法吗?试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解.思路:对类似的整除问题,可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差,利用二项式定理展开,对展开项的数字特征进行分析.对二项式定理的理解应注意它是一个恒等式,左边是二项式幂的形式.表示简单,右边是二项式的展开式,表示虽然复杂,但很有规律,规律特点为:它有1 项,是和的形式;各项的次数都等于二项式的幂的次数;字母按降幂排列,次数由减到0,字母按升幂排列,次数由 0 增到.各项的二项式系数依次为: ,利nnC,10用
8、展开式解决问题时可以根据需要而选择.探究:上题中的“11 827 的末位数字是几”这一问题,可以利用二项式定理看做( 10+1)827,由二项式展开,得 8278267328721870827 10100CC容易发现,其个位数字即为 1.二项式定理中,、是任意的,于是我们可以根据需要对其赋值,利用二项式定理来解决一些实际问题.如令=1,=,则(1+x ) n=1+这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如nrnn xxxC 221上式中再令=-1,或令、取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果.典题热题例 1(2005 全国高考)(2x- )9 的展开式中,常数项为_.(用数字作答).x1
9、思路分析:二项展开式的通项为 Tr+1= (2x)9-r(- )r=(-1)r29-r .rC9x1C92rx令 9-r- =0,得=6.故常数项为 T7=(-1)623 =672.2r 9答案:672方法归纳 凡涉及到展开式的项及其系数等问题时,常是先写出其通项公式 Tr+1= an-rnCrbr,然后再根据题意进行求解,往往是结合方程思想加以解决.拓展延伸 (2005 山东高考 )如果(3x )n 的展开式中各项系数之和为 128,则展开321x式中 的系数是( )31xA.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同,常规解法是利用通项公式 Tr+
10、1=an-rbr,先确定,再求其系数.令=1,即(3-1) n=128,得=7.nC由通项公式,得 Tr+1= (3x)7-r( )r=(-1)r37-r ,rC7321xrC735rx由 7- =-3.解得 r=6.故 的系数是 (-1)63 =21.35r37答案:C深化升华 在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时,通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系,巧妙构造方程,利用方程的思想求解.例 2(1+2x) n 的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:根据已知条件可求出,再根据的奇偶性,确定出二项式系数最大的项.解:
11、T 6= (2x)5,T7= (2x)6,依题意有 25= 26,解得 n=8.nCnnC所以(1+2x) n 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5= (2x) 4=1 120x4.48C设第1 项系数最大,则有 .解得 5r6.,2188rrC由于 r0 ,1,2,8,所以=5 或=6.则系数最大的项为 T6=1 792x5,T7=1 792x6.方法归纳 二项式系数最大项的问题,可直接根据二项式系数的性质求解.为奇数时,中间两项的二项式系数最大;为偶数时,中间一项的二项式系数最大.误区警示 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,要根据各项系数的正、负变化情况,采用列不等式,解
12、不等式的方法求.例 3 求(1+2x-3x 2)6 展开式中含 x5 的项.思路分析:幂函数 6 是个不大的数目,显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x 2)6 乘开为多项式,再从中取出含 x5 的项,但是计算量较大.如果把 1+2x-3x2 中的两项结合起来,则可看成二项式,从而可利用二项式定理,展开后,再把结合为一组的两项展开,就能得到含 x5的系数. 解:原式=1+(2x-3x 2) 6=1+ (2x-3x2)+ (2x-3x2)2+ (2x-3x2)3+ (2x-3x2)6.1C636C6可以看出,继续将右端展开后,在 (2x-3x2)3, (x-3x2)4, (2x-3x2)5
13、这三部分的展开式35中都含有 x5 的项,它们分别是:2(-3)2x5, 23(-3)x5, 25x5.把这三项合并后,就得到 (1+2x-3x2)6 展开式36C246160中含的项是-168x 5.方法归纳 用结合的方法,把三项式做为二项式处理,这是一种较为普遍的转化方法.通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题,把较困难的问题转化为较容易的问题.例 4 求 0.9986 的近似值,使误差小于 0.001.思路分析:因为直接对 0.9986 进行求值难度较大,而 0.9986=(1-0.002)6,故可用二项式定理展开计算.解:0.998 6=(1-0.002)6=1+6(-0.00
14、2) 1+15(-0.002)2+(-0.002) 6.因为 T3= (-0.002) 2=15(-0.002)2=0.000 060.001,2C且第三项以后的绝对值都小于 0.001,所以从第三项起,以后的项可以忽略不计.则 0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988.深化升华 由(1+x) n=1+ x+ x2+ xn,当的绝对值与 1 相比很小且很大时,1nCx2,x3,,x n 等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此,可用近似计算公式:(1+x) n1+nx.在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式
15、中各项的取舍.若精确度要求较高,则可使用较为精确的公式:(1+x)n1+nx+ x2.)1(例 5 求证:对任何非负整数,3 3n-26n-1 可被 676 整除.思路分析:当=0 或 1 时,所给式子为具体数,可以验证.当2 时,由于注意到 676 等于262,而 33n=27n=(26-1)n.可以用二项式展开,看各项中是否均能含有 262.解:当=0 时,原式等于 0,可被 676 整除.当=1 时,原式=0 ,也可被 676 整除.当2 时,原式=27 n-26n-1=(26+1)n-26n-1=(26n+ 26n-1+ 262+ 26+1)-26n-1=26n+ 26n-1+ 262.1C1C1Cn每一项都含有 262 这个因数,故可被 262=676 整除.综上所述,对一切非负整数,3 3n-26n-1 可被 676 整除. 方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明,证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式,展开后的每一项中都含有除式这个因式,就可证得整除.