1、1限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.已知抛物线 C 的开口向下,其焦点是双曲线 -x2=1 的一个焦点,则抛物线 C 的方程为 ( )y23A.y2=8x B.x2=-8yC.y2= x D.x2=- y2 22.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的焦点,过点 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且 |AB|=3,则椭圆 C 的方程为 ( )A. +y2=1B. + =1x22 x23y22C. + =1 D. + =1x24y23 x25y243.若双曲线 x2+my2=m(mR)的焦距为 4,则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y= x B
2、.y= x5 3C.y= x D.y= x1515 334.已知直线 x-y=0 与抛物线 y2=12x 相交于点 A(不与原点重合),则点 A 到抛物线焦点的3距离为 ( )A.6 B.7 C.9 D.125.在平面直角坐标系中,经过点 P(2 ,- )且离心率为 的双曲线的标准方程为 ( )2 2 3A. - =1 B. - =1x24y22 x27y214C. - =1 或 - =1D. - =1 或 - =1x23y26 y214x27 x27y214 y214x276.已知椭圆 C: +y2=1 的离心率与双曲线 E: - =1(a0,b0)的一条渐近线的斜率相等,则双x22 x2a
3、2y2b2曲线 E 的离心率为 ( )A. B.2 3C. D.52 6227.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 K,抛物线上有一点 P,若 |PF|=5,则 PKF 的面积为( )A.4 B.5 C.8 D.108.设 A,B 分别是椭圆 C: + =1 的左、右焦点,点 P 是椭圆 C 与圆 M:x2+y2=10 的一个交点,则x212y22|PA|-|PB|=( )A.2 B.42 3C.4 D.62 29.椭圆 C: + =1(ab0)的右焦点为 F,存在直线 y=t 与椭圆 C 交于 A,B 两点,使得 ABF 为x2a2y2b2等腰直角三角形,则椭
4、圆 C 的离心率 e= ( )A. B. -122 2C. -1 D.51210.已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,其一条渐近线被圆( x-m)2+y2=4(m0)截得的x2a2y2b2 2线段长为 2 ,则实数 m 的值为 ( )2A.3 B.1C. D.2211.若过抛物线 y= x2的焦点的直线与抛物线交于 A,B 两点,则 (O 为坐标原点)的值是14 OAOB( )A. B.-34 34C.3 D.-312.设椭圆 C: +y2=1 的左焦点为 F,直线 l:y=kx(k0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,则 AFB 的x24周长的取值范围是 . 13.抛物线 y2=8
5、x 的焦点为 F,点 A(6,3),P 为抛物线上一点,且 P 不在直线 AF 上,则 PAF 的周长的最小值为 . 能力提升14.已知抛物线 C:y2=2x,直线 l:y=- x+b 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆与 x12轴相切,则 b 的值是 ( )3A.- B.- C.- D.-15 25 45 8515.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且垂直于长轴的直线交椭圆于 A,B 两x24y23点,则 ABF1的内切圆的半径为 ( )A. B.1 C. D.43 45 3416.已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若
6、在直线 x=2a 上存在点 P 使线段x2a2y2b2PF1的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A. B.(0,23 23,1)C. D.(0,12 12,1)17.已知双曲线 -y2=1 的右焦点是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,直线 y=kx+m 与抛物线相交于x23A,B 两个不同的点,点 M(2,2)是线段 AB 的中点,则 AOB(O 为坐标原点)的面积是 . 18.抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,A,B 为抛物线上的两点,以 AB 为直径的圆过点 F,过 AB的中点 M 作抛物线的准线的垂线 MN,垂足为 N,则 的最大值为 . |MN|MF|4限时
7、集训(十五)基础过关1.B 解析 双曲线 -x2=1 的一个焦点为(0, -2),所以抛物线的焦点坐标也是(0, -2),故抛y23物线 C 的方程为 x2=-8y.2.C 解析 设椭圆 C 的方程为 + =1(ab0),则 |AB|=3= ,根据 a2-b2=c2可得 a2- a-1=0,x2a2y2b2 2b2a 32得 a=2,所以 b2=3,所以椭圆 C 的方程为 + =1.x24y233.D 解析 双曲线的标准方程为 y2- =1,x2-m 双曲线的焦距为 4, =2,即 m=-3,1+(-m) 双曲线的标准方程为 y2- =1,x23 双曲线的渐近线的方程为 y= x.334.B
8、解析 联立 得到 3x2=12x,x= 4 或 0(舍), A (4,4 ),又焦点3x-y=0,y2=12x, 3F(3,0),|AF|= =7.(4-3)2+(43-0)25.B 解析 由 e= = ,得 = .当焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a0,b0),代ca 3 ba 2 x2a2y2b2入 P(2 ,- ),得 - =1,解得 a2=7,b2=14;当焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 -2 28a22b2 y2a2=1(a0,b0),代入 P(2 ,- ),得 - =1,无解 .综上,双曲线的标准方程为 - =1,故选x2b2 2 2 2a28b2 x27y214
9、B.6.D 解析 易知椭圆 C: +y2=1 的离心率为 ,由题可知 = ,又因为 c2=a2+b2,所以双曲x22 22 ba 22线的离心率 e= = .ca 627.A 解析 由抛物线的方程 y2=4x,可得 F(1,0),K(-1,0),设 P(x0,y0),则 |PF|=x0+1=5,即 x0=4,不妨设 P(x0,y0)在第一象限,则 P(4,4),5所以 S PKF= |FK|y0|= 24=4,故选 A.12 128.C 解析 由题易知线段 AB 是圆 M 的一条直径,则有|PA|+|PB|=2a=4 ,|PA|2+|PB|2=(2c)2=40, (|PA|+|PB|)2=|P
10、A|2+|PB|2+2|PA|PB|,得32|PA|PB|=8, (|PA|-|PB|)2=|PA|2+|PB|2-2|PA|PB|=32,则 |PA|-|PB|=4 ,故选 C.29.B 解析 由题知,当 BF AB 时, ABF 为等腰直角三角形, |FB|=|AB| ,即 =2c,b2a即 b2=2ac,a 2-c2=2ac, 1-e2=2e,e 2+2e-1=0,解得 e= -1,由于椭圆的离心率2e(0,1), e= -1,故选 B.210.D 解析 双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则x2a2y2b2 2= ,c 2=2a2,a 2+b2=2a2,a=b ,则双曲线的一条
11、渐近线方程为 x-y=0,圆( x-m)ca 22+y2=4(m0)的圆心坐标为( m,0),半径为 2,则圆心到渐近线的距离 d= = ,解m2-( 2)2|m|2得 m=2.11.D 解析 抛物线为 x2=4y,焦点为 F(0,1),设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程 得 x2-4kx-4=0,所以 x1x2=-4,y1y2= (x1x2)2=1,x2=4y,y=kx+1, 116故 =x1x2+y1y2=-3,故选 D.OAOB12.(6,8) 解析 根据椭圆的对称性得 AFB 的周长等于|AF|+|BF|+|AB|=2a+|AB|=4+|
12、AB|,而 A,B 为直线 y=kx(k0)与椭圆的交点,所以2b|AB|2a,即 2|AB|4,所以 AFB 的周长的取值范围为(6,8) .13.13 解析 由抛物线定义知,抛物线上的点 P 到焦点的距离 |PF|等于点 P 到准线的距离d,即 |FP|=d.所以 PAF 的周长l=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+ 6 +2+5=13.(6-2)2+(3-0)2能力提升14.C 解析 由题意,可设 A,B 的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),联立直线与抛物线方程消去 y 得 x2-(b+2)x+b2=0,则 x1+x2=4(b+2),x1x2=4b2,y1+y2=-4
13、.由题知 |AB|=y2=2x,y=-12x+b, 14 12,即 =2,解得 b=- .故选 C.|y1+y22 | 12 1+(12)2 4(b+2)2-44b2 4515.D 解析 由题不妨设点 A 在第一象限 .由 + =1 得 a=2,b= ,易知 A,B 的纵坐标x24y23 3yA,yB分别为 ,- .根据椭圆的定义可知 ABF1的周长为 4a=8,设 ABF1的内切圆半径为 r,32 32ABF1的面积为 |F1F2|yA-yB|= 23=3= 8r,解得 r= ,故选 D.12 12 12 34616.B 解析 根据中垂线的性质可得, |PF2|=|F1F2|=2c,又 |P
14、F 2|2 a-c, 2a3 c,即e ,又 e 1, 椭圆的离心率的取值范围是 ,故选 B.23 23,1)17.2 解析 由题意得,抛物线的焦点坐标为(2,0),则 y2=8x,3联立 得 y2- y+ =0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2= ,y2=8x,y=kx+m, 8k 8mk 8k 8mk又因为点 M(2,2)是线段 AB 的中点,所以 y1+y2= =4,解得 k=2,m=-2,8k则 |AB|= |y1-y2|= 4 =2 ,点 O 到直线 AB 的距离 d= = ,1+1k2 52 1-m 15 |m|1+k225所以 AOB 的面积 S= |AB|d=2 .12 318. 解析 过 A,B 分别向准线作垂线交准线于 A,B,由抛物线定义得2|AA|=|AF|,|BB|=|BF|,所以 |MN|= (|AF|+|BF|)= (|AA|+|BB|),易知12 12AF BF,|MF|= |AB|,所以 = = ,当且仅当 |AF|=|BF|时,等号成12 |MN|AB| |AF|+|BF|2|AF|2+|BF|2 |AF|2+|BF|22|AF|2+|BF|2 22立,则 的最大值为 ,所以 的最大值为 .|MN|AB| 22 |MN|MF| 2
