1、2 1 认识一元二次方程第 1 课时 一元二次方程【知识与技能】探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能 够 从实际问题中抽象出方程知识【过程与方法】在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与 实际生活的联系【情感态度】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知 识应用的价 值，提高学生学 习数学的兴趣，了解数学对促进社会进 步和发展人类理性精神的作用【教学重点】一元二次方程的概念【教学难点】如何把实际问题转化为数学方程一、创设情境，导入新课问题 1：有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起
2、，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题 2：一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫二、合作交流，探究新知你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？(1)(1002 x)(502 x)3600；(2)(x6) 27 210 2.【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过
3、的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是 2.【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的方程叫做一元二次方程；一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2 bx c0( a、 b、 c 为常数， a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中 ax2是二次项， a 是二次项的系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项活动中教师应重点关注：(1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点；(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；(3)强调定义中体现的 3 个特征：整式；一元；2 次【教
4、学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类 比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的三、运用新知，深化理解1把方程5 x26 x30 的二次项系数化为 1，方程可变为 CA x2 x 065 35B x26 x30C x2 x 065 35D x2 x 065 35分析：注意方程两边除以5，另两项的符号同时发生变化2下列方程是一元二次方程的有(5)(1)x2 50；(2) x23 xy70；1x(3)x 4；(4) m32 m30；x2 1(5) x250；(6) ax2 bx4.223已知方程( m2) x2( m1) x m0，当 m 满足 m2 时，它是一元一次方程；当m 满足
5、m2 时，它是一元二次方程分析：当 m20，即 m2 时，方程是一元一次方程；当 m20，即 m2 时，方程是一元二次方程4一元二次方程( x1) 2 x3( x22)化成一般形式是 2x2 x70.分析：一元二次方程一般形式是 ax2 bx c0( a， b， c 为常数， a0)，对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得 2x2 x70.5已知( m3) x23 mx10 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 m3.6把方程(13 x)(x3)2 x21 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项. 解：原方程化为一般形式是：5 x28 x20，
6、其中二次项是 5x2，二次项系数是 5，一次项是 8x，一次项系数是 8，常数项是2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的符号)7关于 x 的方程 mx23 x x2 mx2 是一元二次方程， m 应满足什么条件？ 分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为 0 即可解：由 mx23 x x2 mx2 得到( m1) x2( m3) x20，所以 m10，即 m1.所以关于 x 的方程 mx23 x x2 mx2 是一元二次方程， m 应满足 m1. 【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中 3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程
7、的基本概念的理解四、课堂练习，巩固提高请同学们完成探究在线高效课堂 “互动课堂”部分五、反思小结，梳理新知让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？六、布置作业1教材习题 2.1 第 1、2 题2请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”部分第 2 课时 一元二次方程的解和近似解【知识与技能】会进行简单的一元二次方程的试解【过程与方法】根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目【情感态度】理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力【教学重点】判定一个数是否是方程的根【教学难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义
8、一、创设情境，导入新课学生活动：请同学独立完成下列问题问题 1：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为 x m，那么，根据题意，可得方程为_ x28 210 2_整理，得_ x2360_列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x236问题 2：一个面积为 120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为 x m，则长为_( x2)_m.根据题意，得_ x(x2)120_整理，得_ x22 x1200_列表：x 5 6 7 8 9 10 11x22 x120【教学说明】通过
9、列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范 围二、合作交流，探究新知提问：(1)问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2 中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题 1 中还有其他解吗？问题 2 呢？老师点评：(1)问题 1 中 x6 是 x2360 的解；问题 2 中， x10 是x22 x1200 的解(2)如果抛开实际问题，问题 1 中还有 x6 的解；问题 2 中还有 x12 的解为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根回过头来看： x2360 有两个根，一个是 6，另一个是6，但6 不满足题意；同理，问
10、题 2 中的 x12 也不满足题意【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是 实际问题的根， 还要考虑这些根是否确实是实际问题的解三、运用新知，深化理解1下面哪些数是方程 2x210 x120 的根？4，3，2，1，0，1，2，3，4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有2 和3 满足方程的等式，所以 x2 或 x3是一元二次方程 2x210 x120 的两根2若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c0( a0)的一个根，求代数式2014(a b c)的值分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入
11、方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们要深刻理解3你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)x2640；(2)3 x260；(3)x23 x0.分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察并结合平方根的意义来求解4 x(x1)2 的两根为 DA x10， x21 B x10， x21C x11， x22 D x11， x225方程 ax(x b)( b x)0 的根是 BA x1 b， x2 a B x1 b， x21aC x1 a， x2 D x1 a2， x2 b21a6如果 x2810，那么 x2810 的两个根分别是 x1 _9_， x2 _9_7如果 x1 是方程
12、 ax2 bx30 的一个根，求( a b)24 ab 的值解：由已知，得 a b3，原式( a b)2(3) 29.8如果关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c0( a0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：1 必是该方程的一个根证明：由题意可知： a c b， a b c0，把 x1 代入原方程，得ax2 bx c a(1) 2 b(1) c a b c0.1 必是该方程的一个根9在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在( )x2 1x22 10，令 y，则有 y22 y10，根据上述变形数学思想(换元法)解x2 1x x2 1x决小明给出的问题：求( x21) 2( x21)0 的根解：设 y x21，则 y2 y0， y10， y21，当 x210 时， x11， x21；当 x211 时， x3 x40. x11， x21， x3 x40 是原方程的根【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小 组交流讨论得出结果四、课堂练习，巩固提高请同学们完成探究在线高效课堂 “互动课堂”部分五、反思小结，梳理新知本节课应掌握：1一元二次方程根的概念2一个数是否是一元二次方程的根的判断方法3求一元二次方程的根的方法六、布置作业1教材习题 2.2 第 1、2 题2请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”部分
