1、百校联盟 2018 届 TOP20 一月联考（全国卷）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 为实数集 ，已知集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，阴影部分表示的集合为选 C 2. 若 ，则 （ ）A. B. C. 16 D. 8【答案】A【解析】 ，由条件得 ， ，解得 选 A3. 某公交车站每隔 10 分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客侯车时间超过 7 分钟的概率为（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】D4. 命题 ，命题 函数 在 上有零点，则 是 的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得函数 在 上单调递增，又函数 在 上有零点，所以 ，解得 是 的必要不充分条件选 C5. 如图所示，程序输出的结果为 ，则判断框中应填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依次运行框图中的程序：第一次： ，满足条件，继续运行；第二次： ，不满足条件， 退出循环结合各选项可得 B 正确选 B6. 已知 ，则函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， 由 解得 或 ，故排
3、除 B ，函数为奇函数，排除 C又 ，故排除 D综上选 A7. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. 61 C. 62 D. 73【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是 1、4 的正方形；前、后两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 4 的梯形；左、右两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 5 的梯形其表面积为 选 C8. 根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为 36 万千
4、米，月球轨道上点 与椭圆两焦点 构成的三角形 面积约为 (万千米) 2， ，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为 由椭圆的定义和余弦定理可得焦点三角形的面积 ，解得 由于地球的近地点为 36，所以 ， ， 故所求的标准方程为 选 B 9. 函数 ，则下面 4 个结论:函数 图象的对称轴为将 图象向右平移 1 个单位后，得到的函数为奇函数函数 的单调递增区间为经过点 的直线和 图象一定有交点正确结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】由题意得 对于，由 ，得 ，故 正确对于，将
5、的图象向右平移 1 个单位后，得到的函数为 ，由于 ，故所得函数为非奇非偶函数，所以不正确对于，当 时，函数的单调递增区间为 ；当 时，函数的单调递增区间为 ，故不正确对于，由题意得函数 的最大值为 ，最小值为 ，直线经过定点 ，由于 ，故当直线与 x 轴平行时与函数 的图象不想交故不正确综上只有正确选 A10. 如图所示，四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， 分别为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，取 AD 的中点 O，连 OP,OB，由题意可得 平面 在 中，则由余弦定理得 ，所以 ，因此可建立如图所
6、示的空间直角坐标系 则 ， ， 异面直线 与 所成角的余弦值为 选 B点睛：空间向量的引入为求空间角带来了方便，解题时只需通过代数运算便可达到解题的目的，由于两向量夹角的范围为 ，因此向量的夹角不一定等于所求的空间角，因此在解题时求得两向量的夹角（或其余弦值）后还要分析向量的夹角和空间角大小间的关系解题时要根据所求的角的类型得到空间角的范围，并在此范围下确定出所求角（或其三角函数值）11. 双曲线 ， ，方向向量为 的直线过点 且与双曲线交于 两点，,， ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，由题意知 D 为 BC 的中点，且 ，所以 过点 D 作 轴于 ，
7、则 在 中， ，根据三角形的相似可得， 又 ， ， ， 故点 D 的坐标为 设 ，由点差法可得 ，即 ， 选 A点睛：本题涉及的知识点较多，体现了知识间的综合运用解答时注意以下几点：（1）若直线的方向向量为 ，则直线的斜率为 （2）求双曲线的离心率时，要把所给的条件集中在某一个三角形中，然后根据三角形的边角关系得到一个关于 的方程或不等式，再根据 消去 得到关于 的方程或不等式，从而可得关于的方程或不等式，解方程或不等式可得离心率或其范围12. 函数 满足 ， ，若存在 ，使得 成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意设 ，则 ，所以 （为常数） ， ， 令
8、，则 ，故当 时， 单调递减；当时， 单调递增 ，从而当 时， ， 在区间 上单调递增设 ，则 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 不等式 等价于 ， ，解得 ，故 的取值范围为 选 A点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数 ，并进一步求得函数 的解析式，从而得到函数 在区间 上的单调性然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为 ，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 向量 ，且 ，则 的坐标为_【答案】 或 【解析】 ， 又 ， ，解
9、得 当 时， ；当 时， 答案： 或 14. 若 满足约束条件 则 的最小值为_【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），由于 ，故表示可行域内的点 与定点 间距离的平方， 即由图形可得 的最小值即为点 到直线 的距离，所以 答案：15. 若 ，则 _【答案】-38【解析】令 ，则 由条件可得 ，故 的系数为 ，即 答案： 16. 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则 外接圆面积的最小值为_【答案】【解析】由条件及正弦定理得 ， ，整理得 在 中，由余弦定理得 ， ，当且仅当 时等号成立 设 外接圆的半径为，则 ，故 故 外接圆面积的最小值为 答案：点睛：解答本题时注意以下
10、两点：（1）与解三角形有关的最值问题一般与面积有关，且常与基本不等式结合在一起考查，解题时要注意构造应用不等式的形式，同时还要说明等号成立的条件 （2）已知三角形的边和它的对角可求出三角形外接圆的半径，即 ，此结论的用途很大，需要记住三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 正项数列 满足 ， ，数列 为等差数列， ， .（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1）证明见解析， （2）【解析】试题分析：（1）将条件整理可得 ，可得 ，从而证得数列 是等比数列，求出后根据题意可得 ，进而求
11、得 （2）由（ 1）得 ，根据数列通项公式的特点，对数列 求和时先分组，再分别用错位相减求和及公式求和可得结果试题解析：（1）由题可得 ， ， ， ，又 ， 数列 是首项为 ，公比为 3 的等比数列 ， ，由题意得 ，解得 （2）由（1）得 ， ， ，令 ，则 ， 得所以 18. 质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过 20 克的为合格.（1）从甲、乙两车间分别随机抽取 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；（2）质检部门从甲车间 8 个零件中随机抽取 4 件进行检测
12、，若至少 2 件合格，检测即可通过，若至少 3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（3）若从甲、乙两车间 12 个零件中随机抽取 2 个零件，用 表示乙车间的零件个数，求 的分布列与数学期望.【答案】 （1） （2） （3）分布列见解析【解析】试题分析：（1）本题求独立事件同时发生的概率，解题时运用对立事件的概率求解比较简单 （2）运用条件概率求解，解题时要分清谁是条件 （3）由题意可得到 的所有可能取值，然后分别求出概率，列成表格的形式可得分布列，根据定义求得期望值试题解析：（1）由题意得甲车间的合格零件数为 4，乙车间的合格的零件数为 2，故所求概率
13、为 即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为 （2）设事件 表示“2 件合格，2 件不合格” ；事件 表示“3 件合格，1 件不合格” ；事件 表示“4 件全合格” ； 事件 表示“检测通过”；事件 表示“检测良好” 则 ， 故甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率为 （3）由题意可得 的所有可能取值为 0，1，2， 随机变量 的分布列为 点睛：（1）在求某事件的概率时，若事件较为复杂时 ，可通过求它的对立事件的概率来求解 对于含有“至多” 、“至少”等词语的概率问题，一般用对立事件的概率来解较为简单（2）求概率时，当题目中含有“在发生的条件下，求发生的概率”的字样时
14、，一般用条件概率求解，解题时要分清楚谁是条件，然后再利用公式求解 19. 如图所示，在底面为正方形的四棱柱 中， .（1）证明：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连 交 于 ,由条件可得 ，又由 得到 ，从而可得 平面由四边形 为平行四边形可得 ，所以 平面 ，因此平面 平面（2）由条件可得 两两垂直， 建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和直线 的法向量，根据两向量的夹角的余弦值可求得线面角的正弦值试题解析：（1）证明：连 交 于 ，则 为 中点， ， , 为公共边， ， 又 ， ， 平面 由题意得 ，故四边形 为平行四
15、边形 ， 平面 ，又 平面 内， 平面 平面 （2）由题意得 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ， ， 为等边三角形， 又 ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量为 ，由 可得 ，令 ，则 设 与平面 所成角为，则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 20. 已知点 ，过点 且与 轴垂直的直线为 ， 轴，交 于点 ，直线垂直平分 ，交 于点.（1）求点 的轨迹方程；（2）记点 的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 交于不同两点 ，且 （ 为常数） ，直线与 平行，且与曲线 相切，切点为 ，试问 的面积是否为定值.若为定值，求出 的面积；若不是定值，说明理由.【答案】 （1） （2） 的面积为定值.
16、【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义可得点 M 的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程 （2）设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立消元后可得 中点 同样设出切线方程 ，与抛物线方程联立消元后可得切点 的坐标为 ，故得 轴于是 ，由此通过计算可证得的面积为定值试题解析：（1）由题意得 ，即动点 到点 的距离和到直线 的距离相等，所以点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点 轨迹方程为 （2）由题意知，直线 的斜率存在，设其方程为 ，由 消去 x 整理得 则 设 的中点为 ,则点 由条件设切线方程为 ，由 消去 y 整理得 直线与抛物线相切， ， ，切点 的横坐标为 ，
17、点 轴 ， ， ， 为常数， 的面积为定值点睛：圆锥曲线中求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值 21. 函数 在 处的切线斜率为 .（1）讨论函数 的单调性； （2）设 ， ，对任意的 ，存在 ，使得 成立，求 的取值范围.【答案】 （1） 时， 上单调递增区间为 ； 时， 的单调递增区间为 ，单调递 减区间为 . （2）【解析】试题分析：（1）对 求导后根据的取值情况进行分类讨论可得函数的单调性 （2）根据题意将问题转化为函数 的最小值不
18、小于函数 的最小值的问题解决即可试题解析：（1）由题意得函数 的定义域为 ， ，曲线 在 处的切线斜率为 ， ， ， （）当 时， ，所以 在 上单调递增；（）当 时，令 ， ，当 时， ，时， ，（）当 时， ，故当 时， ， 在 上单调递增综上：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减（2）由（1）可得 ， ，设 ，则 ，设 ，则 ， 当 时， ， ， 在区间 上单调递减，故当 时， ， ， 在 上单调递减， ， ， 在区间 上单调递减， 由题意得 ， ,令 ，则 ， ，可求得 对任意的 ，存在 ，使得 成立 ，整理得 ，解得 或 ，又 ，所以 实数 的取值范围为
19、 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .（1）求经过椭圆 右焦点 且与直线垂直的直线的极坐标方程；（2）若 为椭圆 上任意-点，当点 到直线距离最小时，求点 的直角坐标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：试题解析：（1）将参数方程 （ 为参数）消去参数 得 ，椭圆的标准方程为 ，椭圆的右焦点为 ，由 得 ，直线的直角坐标方程为 ，过点 与垂直的直线方程为 ，即 ，极坐标方程为 （2）设点 ，则点 到直线的距离 ，其中 ，当 时， 取最小值，此时 ， 点坐标为 23. 选修 4 一 5:不等式选讲函数 ， ，函数 的最小值为 . （1）求不等式组 的解集；（2） ，求证： .【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）先由绝对值的三角不等式得到 ，由 得 ，从而得 令，再用零点分区间法去掉绝对值后解不等式即可 （2）结合图象可得的最小值为 4，再由基本不等式得到 ，故可证得 成立试题解析：（1） ， 解不等式 ，得 ， 设 由 解得 ，即不等式 的解集为 原不等式组的解集为（2）由题意得 结合图象可得 的最小值为 4又 ，(当且仅当 时等号成立）， ，
