1、页 1 第2018 届贵阳第一中学高考适应性月考卷（七）数学理（解析版）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ， ，则等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 中不等式变形得 解得 即 ，故选 B 2. 下列命题中， ， 为复数，则正确命题的个数是（ ）（1）若 ，则 ；（2）若 ， ， 且 ，则 ；（3） 的充要条件是 .A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 在复数集中可得(1)(3)错，(2)中的复数不能比较大小.故选 A3. 设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ）A
2、. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】根据题意，在等比数列 中有 解得 ，则故选 C4. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）页 2 第A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体为四棱锥 ,由体积公式易得故选 A5. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据诱导公式得到 ， 结合两式得到 .故答案为：C。6. 已知函数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的 值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 从而模拟程序运行，可得程序框图的功能是求页 3 第时 的值，解得 ，则输出 的值是 6.故选 C7. 如图，在圆 中，若 ， ，
3、则 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 如图所示，过点 作 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点， .又 ，故选 C8. 实数， ，满足 且 ，则下列关系式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由 综上，可得故选 A9. 已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D页 4 第【解析】 由变量 满足约束条件 画出可行域如图所示，则 的几何意义是可行域内的点与 连线的斜率不小于 ，由图形可知，直线 与直线的交点为 ，直线 与 的交点为 ， 的概率是，则 的概率是 .故选 D10. 已知定义在 上的函数 ， ，其中 为偶函
4、数，当 时， 恒成立；且 满足：对，都有 ；当 时， .若关于 的不等式 对恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 函数 满足：当 时， 恒成立，函数 为 上的偶函数，且在 上为单调递增函数，且有 ， ，恒成立 恒成立，只要使得定义域内 ，由，得 ，即函数 的周期 ， 时， ，求导得，该函数过点 ，如图，且函数在 处取得极大值，在 处取得极小值 ，即函数 在 上的最大值为 2， ，函数的周期是 ，当 时，函数 的最大值为 2，由 ，即 ，则 ，解得 或 .故选 D页 5 第【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及
5、利用周期可以求得 时， 的值域为 还考查了函数恒成立11. 已知在三棱锥 中， ， ， ， ，侧面 底面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 如图，取 的中点 ，连接 ，过 作 平面 ，交 于点 ，过 作，交 于点 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则 ， ，即 ，解得 ， ， ，则 ， ，设球心 ，则 ， ，解得 ，三棱锥 的外接球的半径 ，三棱锥 外接球的表面积为 .故选 D12. 在双曲线 ： 的右支上存在点 ，使得点 与双曲线的左、右焦点 ， 形成的三角形的内切圆 的半径为，若 的重心 满足 ，则双曲
6、线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，由 平行于 轴得 则 所以 的面积又由焦半径公式页 6 第， 因此 代入椭圆方程得 故选 C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 命题“ ， ”的否定是_【答案】 .【解析】命题“ ， ”的否定是; 即答案为 14. 在 中，角 的平分线长 ，角 ， ，则 _【答案】 .【解析】设角 B 的平分线为 ，由正弦定理得 ，即 ，得 ， ， 即答案为 .15. 抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 ， 两点，且满足 ，点 为原点，则 的面积为_【答案】 .【解析】由题可得 . 即答案为 2.【点
7、睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题16. 数列 的前 项和 ，数列 满足 ，则对于任意的正整数 ，下列结论正确的是_ ；页 7 第 ； ； .【答案】.【解析】由题， ， ，当 时， ，两式相减得 ， 成立，正确；当 时，不正确； ，正确； 成立，正确就答案为三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知数列 的前 项和为 ，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）当 时， ，得当 时， 由 可求 的通项公式为 （2）根据题意 ，利
8、用裂项相消法可求数列 的前 项和 .页 8 第试题解析：（1）当 时， ，得当 时，有 ，所以即 ，满足 时， ， 所以 是公比为 2，首项为 1 的等比数列， 故通项公式为 （2） ， 18. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面为平行四边形， ， ， .（1）求 的长；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）如图，过 点作 于垂足 可得 平面 过 点在平面 内作 ，交 于点 ，建立以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴的空间直角坐标系，页 9 第可得 ， ， ， ，即可所求 之长（2）求出平面 的法向量 ， ，平面 的法向量 ，即可得二面角
9、的平面角的余弦值试题解析：（）如图，过 点作 于垂足 平面 平面 ， 平面 过 点在平面 内作 ，交 于点 ，建立以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为轴的空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . （）设平面 的法向量 ，而 ，由 及 可得，可取 ， 设平面 的法向量 ，页 10 第，由 得可取 ， ， 二面角 的余弦值为 . 19. 从某工厂的一个车间抽取某种产品 件，产品尺寸（单位： ）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组频数（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在 的概率；（2）求这 件产品尺寸的样本平均数 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）根据频数分布
10、对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布 ，其中 近似为样本平均值 ，近似为样本方差 ，经过计算得 ，利用该正态分布，求 .附：若随机变量服从正态分布 ，则 ， ；.【答案】 （1） .（2） .（3） .【解析】试题分析：（1）利用古典概型可求该产品尺寸落在 的概率；（2）根据频数分布表，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，可求这 件产品尺寸的样本平均数 ；（3）依题意 ，而 取 ，利用该正态分布，可求 .试题解析：（）根据频数分布表可知，产品尺寸落在 内的概率 .页 11 第（）样本平均数. （）依题意 ，而 取 ， ， ， ，即为所求 . 20. 已知 ， 为椭圆 ： 的左、右
11、顶点， ，且离心率为 .（1）求椭圆 的方程；（2）若点 为直线 上的任意一点， ， 交椭圆 于 ， 两点，求四边形 面积的最大值.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）依题意 ，结合离心率公式，则 .椭圆方程为： .（2）设 ，（ ） ，则直线 方程： ，直线 方程 .设 ， ，联立直线方程与椭圆方程有 ， . ， ，则.利用换元法，设 ，则 ，面积函数 ，结合对勾函数的性质可得 .试题解析：（1）依题意 ，则 ，又 ， .页 12 第椭圆方程为： .（2）设 ， （不妨设 ） ，则直线 方程： ，直线 方程 .设 ， ，由 得 ，则 ，则 ，于是 .由 ，得 ，则 ，则 ，
12、于是 ，.设 ，则 ，在 递减，故 .点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知函数 ，其中为常数.（1）当 时，讨论 的单调性；页 13 第（2）当 时，求 的最大值.【答案】 （1）当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减.（2） .【解析】试题分析：（1）由题 .分别讨论当 ， ， 三种情况下 的单调性；（2） ， 在 上的最大值等价于
13、在 上的最大值，记为 ， ， 讨论 的性质，可求 的最大值.试题解析：（1）对 求导，得 . 当 ，即 时，或 时， ， 单增，时， ， 单减； 当 时，即 时， ， 在 上单增； 当 时，即 时，或 时， 在 ， 上单增，时， ， 在 上单减. 综上所述，当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减.页 14 第（） ， 在 上的最大值等价于在 上的最大值，记为 ， ， 由（）可知 时， 在 上单减， ， ，从而 在 上单减， ， 在 上单增， ， 的最大值为 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡
14、上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数， ） ，已知直线的方程为 .（1）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线的距离的最小值；（2）若曲线 上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析：（1）求出直线的普通方程，设 ，则点 到直线的距离的距离，即可求点 到直线的距离的最小值；（）若曲线 上的所有点均在直线的右下方 则 ，有 恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范围试
15、题解析：（）依题意，设 ，则点 到直线的距离，当 ，即 ， 时， ，故点 到直线的距离的最小值为 . 页 15 第（）因为曲线 上的所有点均在直线的右下方，所以对 ，有 恒成立，即 恒成立，所以 ，又 ，所以 .故的取值范围为 .【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， ， .（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） 或 .（2） .【解析】试题分析：（）当 时， . 对 解析分类讨论，可求不等式 的解集；（2）当 时， 的最大值为 ，要使 ，故只需 ；当 时， 的最大值为 ，要使 ，故只需 ，由此可求实数的取值范围.试题解析：（）当 时， .当 时， 恒成立， ； 当 时， ，即 ，即 或 .页 16 第综合可知： ； 当 时， ，则 或 ，综合可知： .由可知： 或 . （）当 时， 的最大值为 ，要使 ，故只需 ，则 ， ； 当 时， 的最大值为 ，要使 ，故只需 ， ，从而 .综上讨论可知： .
