1、长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联合考试试题数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 z满足 |3zi，则 z对应点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.设集合 2(,)|1xy， (,)|3xy，则 AB的子集的个数是（ ）A4 B3 C2 D1 3.已知双曲线2ab（ 0a， b）的一个焦点为 (0,2)F，一条渐近线的斜率为 3，则该双曲线的方程为（ ）A213xyB213yxC213yxD213xy4.在数列 na中，
2、 1， 1ln()na，则 na（ ）A 2lB 2(1)lC D 5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A 342B 4(21)C 4(2)D 4(1) 6.孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得 ”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 n是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解如图是解决这类问题的程序框图，若输入 24n，则输出
3、的结果为（ ）A23 B47 C24 D48 7.郑州绿博园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）A168 种 B156 种 C172 种 D180 种 8.设 ， ， C是半径为 1 的圆 O上的三点， AOB，则 ()()CAOB的最大值是（ ）A 12B 2C 21D 1 9.将函数 sincoyx的图象向右平移 个单位长度，得到函数 2sincoyx的图象，则sin的值为（ ）A 32B 35C 12D 45 10.已知105xedn，其中 2.71e， e为自然对
4、数的底数，则在 (2)nx的展开式中 2x的系数是（ ）A240 B80 C 80D 40 11.过抛物线 C： 24yx的焦点 F的直线 l与抛物线 交于 P， Q两点，与抛物线准线交于 M，且3FMP，则 |（ ）A 2B 3C 43D 34 12.已知函数 ()sin2fx的图象与直线 20kxy（ k）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为 1， ， 3x，则 1323()tan()（ ）A 2B C D 1 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知实数 x， y满足1,0,x则 2xy的最小值为 14.已知点 (,)Pab在
5、函数2ex（其中 .71， e为自然对数的底数）的图象上，且 1a， b，则 lnb的最大值为 15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为 3，则其包装盒的体积的最小值为 16.在平面四边形 ABCD中， 120， 19AC， 2BC， 2ADB， C的面积为 23，则 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若数列 na的前 项和 nS满足 2na（ 0， *nN） （1）证明：数列 为等比数列，并求 ；（2）若 4， 2,lognab偶（ *nN） ，求数列 nb的前 项和 nT18.如图 1，菱形 ABCD的边
6、长为 12， 60BAD， C与 B交于 O点，将菱形 ABCD沿对角线折起，得到三棱锥 ，点 M是棱 的中点， 62M（1）求证：平面 ODM平面 ABC；（2）求二面角 的余弦值19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜过去 50 周的资料显示，该地周光照量 X（小时）都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的周数有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的周数有 35 周，超过 70 小时的周数有 10 周根据统计，该基地的西红柿增加量 y（百斤）与使用某种液体肥料 x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合 y与 x的
7、关系？请计算相关系数 r并加以说明（精确到 0.01） ；（若 |0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量 X限制，并有如表关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1000 元以过去 50 周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式 1221()()niiiniiiixyr，参考数据 0.35， 0.9520.设点 A为
8、圆 C： 24xy上的动点，点 A在 x轴上的投影为 Q，动点 M满足 2QA，动点M的轨迹为 E（1）求 的方程；（2）设 与 y轴正半轴的交点为 B，过点 的直线 l的斜率为 k（ 0） ， l与 E交于另一点为 P，若以点 B为圆心，以线段 P长为半径的圆与 E有 4 个公共点，求 的取值范围21.已知函数 2()xxfaee（ 0a， 2.718e， e为自然对数的底数） ，若 ()0fx对于xR恒成立（1）求实数 的值；（2）证明： ()fx存在唯一极值点 0x，且 02ln11()44fxe请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4
9、：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，倾斜角为 的直线 l过点 (2,4)M，以原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2sincos（1）写出直线 l的参数方程（ 为常数）和曲线 C的直角坐标方程；（2）若直线 与 交于 A、 B两点，且 |40AB，求倾斜角 的值23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|1|fxmx（1）当 5时，求不等式 ()2f的解集；（2）若二次函数 23yx与函数 ()yfx的图象恒有公共点，求实数 m的取值范围长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联合考试试题数学（理科）答案一、选择题1-5:DAC 6-
10、10:BAD 11、12： CB二、填空题13.4 14.e 15.72 16.43三、解答题17.解：（1）由题意可知 1Sa，即 1；当 2n时， 1(2)()2nnnnna a，即 12na；所以数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，所以 12nna（2）由（1）可知当 4时 12na，从而12,nb偶n为偶数时，2(3)(1)nnT；为奇数时， 1nnb12(31)4()(22nn14(2)(5)3n1()(3)4nn，综上， 1(2)(),3,34nnTn偶18.（1）证明：四边形 ABCD是菱形， AD， O，C中， 12， 120， 6，又 M是 B中点， 6AB，又 MD，
11、 22OD， O， ， AC平面 ， C， 平面 B，又 平面 M，平面 D平面 AB（2）解：由题意， O， ，又由（1）知 ，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知： (6,0)D， (,630)A，(0,3)，故 9,AM， (6,30)AD，设平面 的法向量 mxyz，则 0,mAMD即 930,6yzx令 3y，则 x， 9z， (3,)由条件知 OB平面 AC，故取平面 AD的法向量为 (0,1)n，所以， 39cos,1|mn，由图知二面角 MD为锐二面角，故二面角 AC的余弦值为 39119.解：（1）由已知数据可得 24568x， 3454y，因为51()(3)101iiixy
12、，522221()()35ii，522221()(1)01ijy，所以相关系数 1221()()niiini ii jxyr690.515，因为 0.75r，所以可用线性回归模型拟合 y与 x的关系（2）记商家周总利润为 Y元，由条件可知至少需要安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元；安装 2 台光照控制仪的情形：当 70X时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 30120Y元，当 3时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 6元，故 Y的分布列为： Y2000 6000P0.2 0.8所以 ()10.250.790.146EY元综上可
13、知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪20.解：（1）设点 (,)Mxy，由 2QA，得 (,)xy，由于点 A在圆 C： 24上，则 24x，即点 的轨迹 E的方程为 21y（2）由（1）知， 的方程为24x，因为 E与 y轴的正半轴的交点为 B，所以 (0,1)，所以故 B且斜率为 k的直线 l的方程为 ykx（ ） 由 21,4yx得 2(4)80x，设 1(,)Bxy， 2(,)P，因此 1， 22814kx，128|4kkx由于圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设在 y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点 P， T，满足|BP，此时直线 BP斜率 0k，设直线 T
14、的斜率为 1，且 ， 1，则 21218|4k，故 22112| |kk，所以242410kk，即 42411()()，所以 22(80kkk，由于 12，因此 2211，故 2211988()kk因为 0，所以 0，因此 22198()8kk，又因为 0k，所以 24k，又因为 1，所以 22，所以 4280k，又因为 0k，解得 k，所以 (,)(,)，综上所述， k的取值范围为 222(,)(,)(,)(,)421.解：（1）由 ()0xfea，可得 ()0xgae，因为 (0)g，所以 (g，从而 x是 的一个极小值点，由于 ()1xae，所以 (0)1a，即 1当 时， gx， xg
15、e， (,0)x时， ()， ()在 ,0)上单调递减，时， x， 在 上单调递增； ()gx，故 1a（2）当 1a时， 2()xxfe， ()2)xfe令 ()xhe，则 h， ,ln2)时， ()0x， ()在 ,ln)上为减函数；(ln2,)x时， ()0hx， ()在 ln2,)上为增函数，由于 10h， ，所以在 1上存在 0x满足 0()hx， ()x在 ,l)上为减函数， 0时， (0hx，即 ()0fx， ()f在 0,)x上为增函数，(,ln2)x时， )，即 ， 在 ln2上为减函数，时， (x，即 ()fx， ()f在 ,)上为减函数，(0,)x时， )0h，即 0，
16、在 上为增函数，因此 f在 ln2,上只有一个极小值点 0，综上可知， ()x存在唯一的极大值点 x，且 (2,1) 0(h， 0e，所以 0022 200)()()14xxxxf ， 0(2,1)， (,1)x时，214， 0()4f； ln,2e， 0 2ln1()l2fxfee；综上知： 214422.解：（1）倾斜角为 的直线过点 (,4)M，直线 l的参数方程是 cos4inxty（ t是参数） ，曲线 C的极坐标方程为 2，曲线 C的直角坐标方程是： 2yx（2）把直线的参数方程代入 yx，得 2si(cos8in)0t t， 12cos8int， 120int，根据直线参数方程的几何意义 120|4sinMABt，故 或 34，又 22(co8)si0， 34 23.解：（1）当 5m时，52,1,()3,.xf由 ()2fx得不等式的解集为 |2x （2）由二次函数 23(1)y，该函数在 1x取得最小值 2，因为,()12,mxf在 x处取得最大值 2m，所以要使二次函数 3y与函数 ()yfx的图象恒有公共点，只需 m，即 4
