1、厦门外国语学校 2017-2018 学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 ， 选 D2. 设时虚数单位，若复数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， .故选：A 点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可 （2）复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭
2、复数，解题中要注意把的幂写成最简形式3. 执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 2，则输出的 值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件 S2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件 S2,执行循环体,S=32，n=3不满足条件 S2,执行循环体,S=116，n=4不满足条件 S2,执行循环体,S=2512，n=5满足条件 S2，退出循环，输出 n 的值为 5.故选：C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，
3、更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：几何体是半个圆柱，底面是半径为 1 的半圆，高为 2，故几何体的表面积是,故选 C考点：1三视图；2几何体的表面积5. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 的定义域和值域均为 ,函数 的定义域和值域均为 ，不满足要求；函数的定义域为 ，值域为 ，不满足要求；函数 的定义域为 ，值域为 不满足要求；函数 的定义域和值域均为 满足要求， 故选 A. 6
4、. 直线 与圆 相交于点 ，点 是坐标原点，若 是正三角形，则实数的值为 （ ）A. 1 B. -1 C. D. 【答案】C【解析】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径圆的圆心坐标 ，设圆半径为，圆心到直线的距离为 ，则 由条件得 ，整理得 所以 ，解得 选 C7. 设椭圆 ，双曲线 ， （其中 ）的离心率分别为 ，则（ ）A. B. C. D. 与 1大小不确定【答案】B【解析】在椭圆 中， ， ，在双曲线 中， ， ， ，故选 B.8. 已知底面边长为 ，各侧面均为直角三角形的正三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得正三棱
5、锥侧棱长为 1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为 1） ，则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为 ，故其表面积为 选 A9. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. -【答案】C【解析】因为 ，所以 ，故选 C.10. 已知函数 ，且 ，则 等于（ ）A. 2013 B. 2014 C. 2013 D. 2014【答案】D【解析】当 n 为奇数时， ，当 n 为偶数时， 所以 ，故 ，所以 ，故选 D. 11. 关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验 .受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个都小
6、于 1的正实数对 ；再统计两数能与 1构成钝角三角形三边的数对 的个数 ；最后再根据统计数 估计 的值，假如统计结果是 ，那么可以估计 的值约为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】正实数对 ，且 ，所在区域面积为 1，能够成钝角三角形的条件为 且，其区域面积为 ，根据概率 得 ，故选 B. 点睛：几何概型问题，一般要分析总体的区域是长度还是面积，还是体积，然后计算其度量，本题需要用到可行域及弓形的面积计算，将概率问题转化为度量比即可求解.12. 若关于 的不等式 的解集为 ，且 中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ，由题设原不等式有
7、唯一整数解，从而曲线 应在直线 下方由于 ，故 在 上单调递减，在 单调递增，所以 由于直线 恒过定点 ，要使 中只有一个整数，结合图象得只需 由题意得 ， ， 故实数的取值范围是 选 B点睛：已知函数的零点（方程解）的个数求参数的取值范围时，一般用数形结合的方法求解解题时结合题意， 将题中的方程转化为两个函数的形式，通过对函数单调性的讨论得到函数图象的大体形状，画出函数的图象后，经过对两函数图象相对位置关系的分析再转化为不等式（组）， 通过解不等式（组）可得所求范围二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分13. 已知向量 ， ，且 ，则 _【答案】【解析】由题意可知 ，解得 ，
8、答案：14. 已知实数 ， 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】615【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由 可得 平移直线 ，结合图形可得，当直线 经过可行域内的点 C 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 也取得最大值由 解得 故点 C 的坐标为（2,2） 答案：615. 学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“ 作品获得一等奖” ； 乙说：“ 作品获得一等奖”丙说：“ 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是 或 作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 _【答案
9、】16【解析】若 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 16. 已知平面图形 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧） ，且 ，则四边形 面积的最大值为_【答案】【解析】试题分析：设 ,在 中运用余弦定理可得 ；在 中运用余弦定理可得 .所以 .又四边形 的面积,即 .联立 和并两边平方相加可得 ,化简变形得,所以当 时, 最大,即 .故应填 .考点：三角变换的公式及正弦定理余弦定理的综合运用【易错点晴】本题考查是正弦定理余弦定理及
10、三角形面积公式和三角变换等有关知识的综合运用.解答时充分借助题设条件,先两个具有公共对角线 的三角形中运用余弦定理构建方程 ,然后再运用三角形的面积公式构建四边形 的面积关系为 ,最后通过联立方程组并消去内角 的正弦和余弦,建立了目标函数 求出最大值为 .解答过程充分体现了正弦定理的边角转换和余弦定理的构建立方程的数学思想及运用.三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 等差数列 的前 n项和为 ，已知 ， 为整数，且 .（1 ） 求 的通项公式；（2 ） 设 ，求数列 的前 n项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）利用已知条件求
11、出数列的公差，然后求a n的通项公式；（2）化简数列的表达式，利用裂项消项法求解数列的和即可试题解析：（1）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数又 ，故 于是 ，解得 ，因此 ，故数列 的通项公式为 （2） ， 于是18. 如图（1） ，五边形 中， ， ， ， .如图（2） ，将 沿折到 的位置，得到四棱锥 .点 为线段 的中点，且 平面 （1 ） 求证： 平面 .（2 ） 若直线 与 所成角的正切值为 ，设 ，求四棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证明面面垂直，一般先证线面垂直，题中已知 平面 ，由于 是 的中点，只要取 的中点，可证 ，从而得 平
12、面 ，因此就得到面面垂直；（2）由（1）的垂直可证 是等边三角形，因此有 ，再得 ，于是有 平面 ，可得 ，这样可求得图形中各线段长，可得四棱锥的底面积和高，得体积试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ，所以 ，则四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，平面 平面 PCD；（2）取 的中点 ，连接 ，因为 平面 ， .由 即 及 为 的中点，可得 为等边三角形， ，又 ， ， ， 平面 平面 ，平面 平面 .所以所以 .， 为直线 与 所成的角，由（1）可得 ， ， ，由 ，可知 ，则 .其他方法酌情给分19. 为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区
13、委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动 “从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：人数 次数年龄0,10) 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,6018岁至 31岁 8 12 20 60 140 15032岁至 44岁 12 28 20 140 60 15045岁至 59岁 25 50 80 100 225 45060岁及以上 25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于 201
14、3年确定新的年龄分段：44 岁及以下为青年人，45 岁至 59岁为中年人，60 岁及以上为老年人用样本估计总体的思想，解决如下问题：（1 ） 估计本市一个 18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（2 ） 若月骑车次数不少于 30次者称为“骑行爱好者” ，根据这些数据 ，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）42.75；
15、（2）见解析【解析】试题分析：（1 ） 用区间中点値代替本组的次数，然后乘以该组的频率，求和后即为所求的平均次数 （2 ）根据题意得到列联表，然后求出 ，与临界值表比较后可得结论试题解析：（1 ） 由统计表可得，本市一个 18岁以上青年人每月骑车的平均次数为（次） （2）根据题意得到如下 列联表骑行爱好者 非骑行爱好者 总计青年人 700 100 800非青年人 800 200 1000总计 300 1500 1800由表可得所以能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关点睛：独立性检验的方法及注意事项（1）解题步骤：)构造 22 列联表； 计算 K2；查表
16、确定有多大的把握判定两个变量有关联（2）注意事项：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值 ，再将该数值对应的 k 值与求得的 K2相比较；另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性 p，所以其有关联的可能性为 1p20. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点是原点，以 轴为对称轴，且经过点 .（1 ） 求抛物线 的方程；（2 ） 设点 ， 在抛物线 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ， .求证:直线 的斜率为定值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（）利用待定系数法，将点 代入即可得到抛物线 的方程；（）由，得直线 与 的倾斜角互补，所以 ，设
17、出直线 的方程与抛物线联立可得 点坐标，将 换为 可得 点坐标，由两点间斜率计算公式可得结果.试题解析：（）依题意，设抛物线 的方程为 由抛物线 且经过点 ，得 ，所以抛物线 的方程为 （）因为 ，所以 ，所以 ，所以 直线 与 的倾斜角互补，所以 依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，将其代入抛物线 的方程，整理得 设 ，则 ， ，所以 以 替换点 坐标中的 ，得 所以 所以直线 的斜率为 点睛：本题主要考查了圆锥曲线中抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系以及转化与化归思想，整体代换思想在圆锥曲线中的应用，难度一般；此题中直接利用待定系数法求出抛物线的方程，利用转化思想将长
18、度相等转化为斜率相反，联立直线与抛物线的方程得到交点坐标，运用整体代换思想得最后结果.21. 设函数 （ 为常数） ，为自然对数的底数.（1 ） 当 时，求实数 的取值范围；（2 ） 当 时，求使得 成立的最小正整数 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）解不等式 ，考虑到 恒成立，可对 分类讨论： 和 ；（2）题意就是恒成立，求 的最小值正整数，只要求得 的最小值即可，由于要求得的零点，因此还要对此函数进行分析，设 ，利用导数确定它的单调性，从而确定零点 的范围， ，再求得最小值 的范围，可得结论试题解析：（1）由 可知 ，当 时， ，由 ，解得 ；当 时， ，由 ，
19、解得 或 ；当 时， ，由 ，解得 或 ；（2）当 时，要使 恒成立，即 恒成立，令 ，则 ，当 时， ，函数 在 上单调递减；当 时， ，函数 的 上单调递增又因为 时， ，且 ，所以，存在唯一的 ，使得 ，当 时， ，函数 在 上单调递减；当 时， ，函数 在 上单调递增所以，当 时， 取到最小值，因为 ，所以 ，从而使得 恒成立的最小正整数 的值为 122. 在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ， （t 为参数） ，在以原点 O为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ， 两点的极坐标分别为（1 ） 求圆 的普通方程和直线的直角坐标方程； （2 ） 点 是圆
20、上任一点，求 面积的最小值【答案】 （1） ， ；（2）4【解析】试题分析：（1）由圆 C 的参数方程消去 t 得到圆 C 的普通方程，由直线 l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据 转化为直角坐标方程即可；（2）将 A 与 B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据 P 在圆 C 上，设出 P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形 PAB 面积的最小值试题解析：（1）由 消去参数 t，得 ，所以圆 C的普通方程为 由 ，得 ，换成直角坐标系为 ，所以直线 l的直角坐标方程为 （2） 化为直角坐标为 在直线 l上，并且 ，设 P点的坐标为 ，则 P点到直线 l的距离为 ， ，所经 面积的最小值是23. 已知函数 ，（1 ） 解不等式： ；（2 ） 若对任意的 ，都有 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据绝对值几何意义得 ，再根据绝对值定义得 ,即得不等式解集， （2）原命题等价于 ，利用绝对值三角不等式求 值域：而 ，所以 ，再根据绝对值定义求不等式解集得实数的取值范围.试题解析：（1）由 ，得 ，得解集为 .（2）因为任意 ，都有 ，使得 成立，所以 ，又 ，所以 ，解得 或 ，所以实数的取值范围为 或 .、
