1、2018届湖南省常德市高三上学期检测考试（期末）理数试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 64|xA，集合 1)3(log|2xB，则 BA（ ）A 5|x B 65| C 54|x D 54|x2.已知复数 iaz31是纯虚数（其中 i为虚数单位， Ra）则 z的虚部为（ ）A B C D i3.如果随机变量 ),(2NX，且 3.0)13(XP，则 )1(XP（ ）A 4.0 B 3.0 C .0 D 4.元朝著名数学家朱世杰四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍
2、，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 0x，那么在 这个空白框中可以填入（ ）A 1x B 12x C. x2 D 12x5.已知等差数列 na的公差和首项都不为 0，且 81a、 成等比数列，则 34a（ ）A 2 B 3 C. 5 D 76.将 5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A 42种 B 48种 C. 54种 D 60种7
3、.将函数 )32sin()xf的图像向右平移 个单位，得到函数 )(xg的图像，则下列说法不正确的是（ ）A )(xg的周期为 B 23)6(g C. 6x是 )(的一条对称轴 D为奇函数8.函数 xeyxsin)(的部分图像大致为（ ）A B C. D9.已知数列 na的前 项和为 nS，且 na2，则 10（ ）A 102 B 92 C. 91 D 210.已知函数 nxapgxf)(,)(,lo)( （其中 ,a） ，则下列选项正确的是（ ）A ，都有 nl B 0x，当 0x时，都有 xaanxlog C. 0x，都有 xxa D ，当 时，都有11.一个几何体的三视图如图所示，其中正
4、视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A 34 B 38 C. 316 D 27312.已知 、 分别为双曲线 )0,(2bayx的左右顶点，两个不同动点 QP、 在双曲线上且关于 x轴对称，设直线 BQAP、 的斜率分别为 nm、 ，则当 |ln24mba取最小值时，双曲线的离心率为（ ）A 25 B 26 C. 3 D 2第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.设向量ba、的夹角为 ，且 )1,3(2),1(aba，则 cos 14.设 yx、 满足条件 xy，则目标函数 yxz的最小值为 15.已知抛物线 E4:2，直线 )0(1
5、:kl，直线 l与抛物线 E相交于 BA、 两点，且 的延长线交抛物线 的准线于 C点， OBCAS（其中 为坐标原点）,则 k 16.设函数 2)(xf，若函数 3)()(2mxffxg有四个零点，则实数 m的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC的内角 、 的对边分别为 cba、 ，已知 BcCbasin3o.（1）求 ；（2）若 b，求 面积的最大值.18. 07年 1月某城市国际马拉松赛正式举行，组委会对 40名裁判人员进行业务培训，现按年龄（单位：岁）进行分组统计：第 组 )25,0，第 组 )3,25，第
6、组 )35,，第 4组 )0,，第 5组 )4,0，得到的频率分布直方图如下：（1）培训前组委会用分层抽样调查方式在第 4、 组共抽取了 12名裁判人员进行座谈，若将其中抽取的第 3组的人员记作 )(,.*21NnC，第 组的人员记作 )(,.*NmD，第 5组的人员记作)(,.*21kE，若组委会决定从上述 12名裁判人员中再随机选 3人参加新闻发布会，要求这 3组各选 人，试求裁判人员 1D、 不同时被选择的概率；（2）培训最后环节，组委会决定从这 40名裁判中年龄在 45,的裁判人员里面随机选取 名参加业务考试，设年龄在 45,0中选取的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望.19.
7、如图，四棱锥 ABCDP中， 平面 BCDABC, .（1）求证：平面 平面 ；（2）若 60,120，且 P，求二面角 P的平面角的大小.20. 已知圆 )0(:221ryxC的一条直角是椭圆 )0(1:22bayxC的长轴，动直线nmxl:，当 l过椭圆 2上一点 ),1(D且与圆 1相交于点 BA、 时，弦 的最小值为 2.（1）求圆即椭圆 2的方程；（2）若直线 l是椭圆 C的一条切线， NM、 是切线上两个点，其横坐标分别为 2、，那么以MN为直径的圆是否经过 x轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数 )2ln(21)(af （其中 Ra）.（1）
8、讨论 x的单调性；（2）若 )(fy有两个极值点 21x、 ，且 21，求证： 12)(xf.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，圆 C的参数方程为 sin31coyx（ 为参数） ，以原点为极点，以 x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 C的普通方程与极坐标方程；（2）若直线 l的极坐标方程为 3)6cos(，求圆 C上的点到直线 l的最大距离.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 |1|)(xaxf.（1）当 6时，解不等式 9)(f；（2）若关于实数 x的不等式 2ax恒成立，求实
9、数 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBCBC 6-10:ACCDB 11、12：DA二、填空题13. 103 14. 25 15. 2 16. )2,3(三、解答题17.解：（1）由已知 BcCbasin3o及正弦定理得 BCBAsincosinsi.又 )(BA，故 CAco)(sin.由和 ),0(C得 3tan,cosin3B，又 ,B，所以 6B.（2） A的面积 accS41sin2由已知及余弦定理得 aca36os12又 ca2，故 32，当且仅当 时，等号成立.因此 ABC面积的最大值为 4.18.解：（1）各组频率分别为： 10.,23.,50. ，这 4人中，来自各
10、组的分别有 4,812,人，分层抽样后，来自第 53、 组的分别有 6人，当分别从这三组抽一人有 426种情况，记事件A“裁判人员 1DC、 不同时被选中”则 A“裁判人员 1DC、 同时被选中” ，故 2438)(AP为所求.（2）随机变量 的可能取值为 3,20，且有： 58)1(,54)0( 312483128 CPCP)(,)( 312431248故分布列为： 0 23P5145285151的数学期望为： 130)( E.19.解：（1）证明： BCDA,点 CA,在线段 B的中垂线上，即有 又 P平面 P,，而 A,平面 PC，又 D平面 平面 D平面 PC（2）设 OBDAC，由（
11、1）可知，可建立如图空间直角坐标系 xyzO，不妨设 3，又 60,20BCDA，易知， PDBAC,1,3，而 ，2,6P，在 PRt中， ，则 )2,(),3(),1(),(),0()( PBCO设平面 的法向量为 ,1zyxn，则 0BCn，而 )0,3(,4,BC02431zyx，不妨设 31，则可取 )2,13(同理可得平面 PDC的法向量为 ),(m设二面角 B的平面角为 21|,cos, nm120则二面角 的平面角为 120.20.解：（1）当 ODl时， |AB最小， 232,6| rOD，由已知，可知 2a，又点 ),1(在椭圆上 2C上， 1,12b综上，圆 1的方程为
12、yx，椭圆 2C的方程为 12.（2）联立方程 nmyx2，得到 02)(2nmy，由 l与椭圆相切，得到020)2(4222 nmnmn ，易知 0，设以 MN为直径的圆经过 ),(0xE，设 ),2(),(1yNM则有0,2(),2( 2021 yyxE，而 2121 , mnmny ，由可知， 20220 nxxENM)1()(20220 mmnx，要使上式成立，有只有当 0x，故经过定点 )0,(与 ,1.21.解：（1） 2ln21)(xaf定义域为 4, axf当 4a时， 0)(f；当 4a时，令 )(xf，解 x2或 ax； 0)(xf，解 ax4当 0时，令 )(f，得 ；
13、f，得 2；所以当 xf在 ,上单调递增；当 4a时， )(f的单调递增区间为 ),4(),2(a；单调递减区间为 )4,a；当 0时， )(xf的单调递减区间为 )4,(a；单调递增区间为 ),；（2）由（1）可知， (xfy有两个极值点 21,x，且 21，则 40a时，且 a4,21 ；要证 2)(xf，即证 0)(xf，即证 0)2ln()4(22 xxx ，即证 ln12，又 02,0x，即证 021)ln()2(xx；令 t，则 )4,(，设 ln(,tgttg，而 0)(,42tgt，即 )(tg在)4,(单调递增； 02ln(gt，即 021)ln()(2xx成立；所以 12)xf.22.解：（1）圆 C的圆心 为 )1,3(，半径 3r，则普通方程为 9)(22yx，,sin,cox其极坐标方程为 )1sin()3co( 22，即 05si32（2）由 )6cos(得 32sinco，化为 31yx，即 06yx，圆心 ),(C到直线 l的距离为 213|6|d，故圆 上的点到直线 l的最大距离为 5r.23.解：（1）当 6a时， 9)(|,1|6|6|)( xfxxf 9x或 91或 9解得： 7或 2即不等式解集为： ),72,(；（2） |1|1|1|)( axxaxaxf2恒成立，即 22,| 或 2解得： 1.
