1、荆州市 2018 届高三年级质量检查（）数学（理工农医类）第卷 选择题（60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集 UR，集合 |13Ax， |230Bx，则 ()UACB（ ）A 3(,)2 B (,) C (1,) D ,)2.若复数 zmi是纯虚数，其中 m是实数，则 z（ ）A i B C 2i D 2i3.下列命题正确的是（ ）A命题“ pq”为假命题，则命题 p与命题 q都是假命题；B命题“若 xy，则 sinxy”的逆否命题为真命题；C “ 2amb”是“
2、 ab”成立的必要不充分条件；D命题“存在 0xR，使得 201x”的否定是：“对任意 xR，均有 210x”.4.已知随机变量 (1,)N:，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 OABC中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）注： 68.2%P， 295.4%P.A6038 B6587 C7028 D75395.已知数列 na满足 152nnaa，且 2469a，则 15793loga（ ）A-3 B3 C D6.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵” 1ABC的所有顶点都在球 O的球面上，且 1A，若球 O的表面积为 3，则
3、这个三棱柱的体积是（ ）A 16 B 13 C 12 D17.偶函数 fx和奇函数 gx的图象如图所示，若关于 x的方程 fgx， 2fx的实根个数分别为 m、 n，则 （ ）A16 B14 C12 D108.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A14 B15 C16 D179.已知 67011xaax，若 0170a，则 3a（ ）A-5 B-20 C15 D3510.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A 842 B 1243 C 6423 D1211.已知双曲线 C：21(0,)xyab的左、右焦点分别为 1F、 2， O为
4、坐标原点，以 12F为直径的圆 O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、 Q，点 B为圆 与 y轴正半轴的交点，若2PFQB，则双曲线 的离心率为（ ）A 35 B 352 C 15 D 15212.已知函数 lnxfe与函数 2xgea的图象上存在关于 y轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）A ,e B 1,e C ,1 D 1,2第卷 非选择题（90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卷的横线上.13.平面向量 (2,)a， (3,1)b，若向量 a与 b共线，则 ab 14.设椭圆 20xy的右焦点与抛物线 216yx的焦点相同，离
5、心率为 63，则此椭圆的方程为 15.已知 x， y满足不等式组230yx，若不等式 7axy恒成立，则实数 a的取值范围是 16.设数列 na满足 012， 20,18nna，若使得 1kka，则正整数 k 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.已知向量 2sin,cos2ax， cos,in()2b，若 ()fxab，且函数 ()fx的图象关于直线 6x对称.（）求函数 ()f的解析式，并求 ()fx的单调递减区间；（）在 ABC中，角 、 、
6、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 ()2fA，且 5b， 23c，求ABC外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱 1ABC中， ABC， 12A，点 P为棱 1BC的中点，点Q为线段 1上一动点.（）求证：当点 Q为线段 1AB的中点时， PQ平面 1ABC；（）设 1B，试问：是否存在实数 ，使得平面 与平面 1PQ所成锐二面角的余弦值为301？若存在，求出这个实数 ；若不存在，请说明理由.19.手机 Q中的“ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的 朋友圈里有大量好友参与了“ Q运动” ，他随机选取了其中 30 名，其中男女各15 名，记
7、录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示： 0,250,50,750,10,男 0 2 4 7 2女 1 3 7 3 1（）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明 Q朋友圈里的男性好友中任意选取 3 名，其中走路步数低于 7500 步的有 X名，求 的分布列和数学期望；（）如果某人一天的走路步数超过 7500 步，此人将被“ 运动”评定为“积极型” ，否则为“消极型”.根据题意完成下面的 2列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型 消极型 总计男步数性别女总计附：22()(nadbcK.20(Pk0.10 0.05 0.025 0.012.706
8、3.841 5.024 6.63520.已知倾斜角为 4的直线经过抛物线 ： 2(0)ypx的焦点 F，与抛物线 相交于 A、 B两点，且 8AB.（）求抛物线 的方程；（）过点 (12,)P的两条直线 1l、 2分别交抛物线 于点 C、 D和 E、 F，线段 CD和 EF的中点分别为 M、 N.如果直线 l与 2的倾斜角互余，求证：直线 MN经过一定点.21.已知函数 nfxa.（）讨论 的单调性；（）若 21,ae，求证： 12axfxe.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 C的圆心为 2,4，
9、半径为 2.以极点为原点，极轴方向为 x轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为13xtay（ 为参数， aR且 0）.（）写出圆 C的极坐标方程和直线 l的普通方程；（）若直线 l与圆 交于 A、 B两点，求 A的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲设不等式 12x的解集为 .（）求集合 A；（）若 m，不等式 210xm恒成立，求实数 x的取值范围.荆州市 2018 届高三年级质量检查（）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC二、填空题13. 203 14. 2148xy15. 4,3 16. 2018三
10、、解答题17.解：（） ()2sincofxabx2sinsi()xx，函数 f的图象关于直线 6对称， 6k， Z， 6k， Z，又 2， . ()2sin()fxx.函数 iy的单调递减区间为 3,2k， kZ.令 32,26xk， 2,6x. ()f的单调递减区间为 2,6k， kZ.（） 2sin()fA， sin()16A. (0,)， 13,6， 2， .在 BC中，由余弦定理得 2cosab5123cos76， 7a.由正弦定理得 721sinRA， ， 7S.18.（）证明：法 1：连接 1B、 AC，显然 、 Q、 1B三点共线.点 P、 Q分别为 和 的中点， /P；在直三
11、棱柱 1ABC中， ABC， 平面 1AC， 1BAC，又 1，四边形 1为正方形， 1， 、 平面 ， 平面 ，而 1/PQAC， 平面 1ABC.法 2：（用向量法同等给分）.（）解：以 为原点，分别以 、 、 1为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，连接 1AP、 B，设 (,)xyz， 1Q， (,2)(,2)， 2xyz， (,2,)Q.当点 在线段 1AB上运动时，平面 1APQ的法向量即为平面 1APB的法向量，设平面 1P的法向量为 1(,)nxyz，由 10nB得 20xyz，令 2y得 1(,)，设平面 1BQ的法向量为 2(,)nxyz，由 210nPBQ得 (1)
12、0yxz，令 z得 21(,0),0n，取 2(,， 122()cos,621306， 90， 13或 .19.解：（）在小明的男性好友中任意选取 1 名，其中走路步数低于 7500 的概率为 6215.X可能取值分别为 0，1，2，3， 7()()5PC， 12354()()PXC，2136， 08，积极型 消极型 总计男 9 6 15女 4 11 15总计 13 17 30X的分布列为0 1 2 3P271554236158125则 274()015EX3686.（）完成 列联表2k的观测值203(9)17503.94.81.据此判断没有 5%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.20
13、.解：（）由题意可设直线 AB的方程为 2pyx，令 1(,)Axy， 2(,)B.联立 2pyx得22304px， 123，根据抛物线的定义得，又 124ABp，又 8AB， 4p， 2.则此抛物线的方程为 24yx.（）设直线 1l、 2的倾斜角分别为 、 ，直线 1l的斜率为 k，则 tan.由于直线 1l与 2的倾斜角互余，则sin()2tant()2cocos1iitan，则直线 2l的斜率为 k.于是直线 CD的方程为 8(12)yx，即 (12)8ykx，联立 2(1)4yx得 24380k， 4CDyk，则 26CD， 2(1,)Mk，同理将 k换成 1得： 2(8,N， 2)
14、(MNk14k.则直线 MN的方程为 212(8)4ykxk，即 140kx，显然当 0， y.所以直线 N经过定点 (1,).21.解：（） axfx， 0a， ()在 (0,)上恒成立，即 fx在 (0,)上单调递减.当 时，由 fx，得 1a；由 ()，得 1a；综上：当 时， 在 (,)上单调递减；当 0a时， fx在 10,a上单调递减，在 1,a上单调递增.（）令 1()2xgfe1lnx，则 11axaxe1()ax，由于11axax，设 1()axre， 1()axre，由 ()0rx，所以 ()在 0,上单调递增；由 1()1xaa，所以 ()rx在 1,a上单调递减. ma
15、x2()()0re（因为 2e） ，从而 10ax.则 ()g在 10,上单调递减；在 1,a上单调递增， min()ga，设 2,tea， 22()ln(0)tghtee ，21()0htt， ()t在 2,上递减， 2)ht； gx，故 1axfxe.说明：判断 1axe的符号时，还可以用以下方法判断：由 10ax得到 lnx，设 1ln()xp， 2ln()xp，当 2e时， ()px；当 20e时， 0.从而 ()在 2,上递减，在 (,)上递增. 2min1()()xe.当 21ae时， lnx，即 1axe.22.解：（）法一：在极坐标系中，令 BOX， 4A，在 ABC中， 为直
16、径， 42cos()，13xtay消去参数 t得直线 l的普通方程为： 310axy.法二：在直角坐标系中，圆 C的圆心为 (2,)，则方程为 22()()8y.即 240xy， 24cosin0，即 cosini().（）法一：直线过圆 C内一定点 3,1P，当 CAB时， 有最小值， 2826ABR.法二：点 (,)到直线 l的距离 21ad， 2ABRCP22()87aa.当 1a时， 有最小值 6.23.解：（）由已知，令(1)()12xfx，由 ()2fx得 |A.（）将不等式 210mx整理成 2(1)0xm，令 ()gx，要使 )g，则2(1)(10gxx，20x， 312x或 ， 32x.
