1、荆州市 2018 届高三年级质量检查（）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ， ， 选 C2. 若复数 是纯虚数，其中 是实数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数 是纯虚数， ，解得 ， ， 选 B3. 下列命题正确的是（ ）A. 命题“ ”为假命题，则命题 与命题 都是假命题；B. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题；C. “ ”是“ ”成立的必要不充
2、分条件；D. 命题“存在 ，使得 ”的否定是：“ 对任意 ，均有 ”.【答案】B【解析】选项 A 中，若“ ”为假命题，则命题 与命题 中至少有一个是假命题，故 A 不正确选项 B 中，由于“若 ，则 ”为真命题，故其逆否命题为真命题，所以 B 正确选项 C 中， “ ”是“ ”成立的充分不必要条件，故 C 不正确选项 D 中，所给命题的否定为：“对任意 ，均有 ”，故 D 正确故选 B4. 已知随机变量 ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）注： ， .A. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539【
3、答案】B【解析】随机变量 ， ， ，落入阴影部分的点的个数的估计值为 个选 B5. 已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）A. -3 B. 3 C. D. 【答案】A【解析】 ， ，数列 是等差数列，且公差为 2 ， ， . 选 A 6. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵” 的所有顶点都在球 的球面上，且 ，若球 的表面积为 ，则这个三棱柱的体积是（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】设球半径为 ，则 ，故 由题意得三棱柱的底面为等腰直角三角形，故底面三角形的外接圆的圆心为直角三角形斜边的中点，即如图中的点 ，所以外接球的球心为 的中点 设三棱柱的高为
4、 ，如图， 在 中，有，即 ，解得 所以三棱柱的体积是 选 C7. 偶函数 和奇函数 的图象如图所示，若关于 的方程 ， 的实根个数分别为 、 ，则 （ ）A. 16 B. 14 C. 12 D. 10【答案】D【解析】由 ，得 ，结合函数 的图象可得 有 6 个实根，故 ；同理，由 得 或 ，结合函数 的图象可得 ， 有 4 个实根，故 所以 选 D8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】C【解析】第一次循环： ，不满足 ；第二次循环： ，不满足；第三次循环： ，不满足 ；第一次循环： ，不满足 ； ；第十五次循环： ，满足 ；
5、 。故选 C。9. 已知 ，若 ，则 （ ）A. -5 B. -20 C. 15 D. 35【答案】A【解析】在 中，令 得 ， 又 展开式的通项为 ， 选 A 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. B. C. D. 12【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的棱长为 2 的正方体中的四棱锥 ，且底面矩形中， 故该多面体的表面积为 选 C11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，以 为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与 轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心
6、率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为 ，以 为直径的圆 的方程为 由 ，解得 ，故点 P 的坐标为 ；由 ，解得 ，故点 Q 的坐标为 ， ， ，整理得 ， ，故得 ，解得 选 D点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于 等式或不等式，再由 及 可得到关于的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围） 解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键 12. 已知函数 与函数 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.
7、【答案】C【解析】由题意得方程 在 上有解，即 在 上有解设 ，则由题意得两函数的图象在在 上有公共点由 ，得 ，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 设直线 与函数 的图象切于点 ，如图所示，由题意得 ，解得 ，结合图象可得当两函数的图象有公共点时，则有 ，故实数的取值范围为 选 C点睛：（1）本题中将两函数图象上有关于 y 轴对称的点转化为方程 在 上有解的问题处理，然后化为函数设 的图象在在 上有公共点的问题 ，体现了转化思想方法的运用（2）对于函数图象有公共点的问题，可利用数形结合的方法，找到两图象有一个公共点（即相切）的情形，确定出参数的取值，最后根据两图象的上下相对位置关系求得
8、所求范围二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卷的横线上.13. 平面向量 ， ，若向量与 共线，则 _【答案】【解析】向量 ， ，且 ， ，解得 ， ， 答案：14. 设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为_【答案】【解析】由题意知抛物线 的焦点为（4,0） ， ， ， ， ，椭圆的方程为 答案：15. 已知 ， 满足不等式组 ，若不等式 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可得点 的坐标为 又直线 过定点 ，故得 .由图形得，若不等式 恒成立，则 ，解得 故实数的取值范
9、围是 答案： 点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路（1）线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题（2）求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值（或范围）16. 设数列 满足 ， ，若使得 ，则正整数 _【答案】2018【解析】由题意得 ， 由 ，得 ， ， ，学|科|网.学| 科|网.学|科 |网 .学|科|网.学| 科|网.学|科| 网.学|科|网.学| 科|网.学|科| 网.学|科|网.学| 科|网.学|
10、科| 网. ， 由 得 ， 综上所述 答案：三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知向量 ， ，若 ，且函数 的图象关于直线 对称.（）求函数 的解析式，并求 的单调递减区间；（）在 中，角 、 、 的对边分别为、 、 ，若 ，且 ， ，求 外接圆的面积.【答案】 （） ， ；（）【解析】试题分析：（）由题意得 ，根据函数 的图象关于直线 对称可得 ，所以得，结合正弦函数的单调区间可得所求 （）由 可得 ，然后由余弦定理得，最后由正弦定理得三角
11、形外接圆半径，由此可得圆的面积试题解析： （） ，函数 的图象关于直线 对称， ， ， ， ，又 ， . .由 ，得 的单调递减区间为 ， .（） ， . ， ， ， .在 中，由余弦定理得 ， .由正弦定理得 ， ， 外接圆的面积 18. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 为棱 的中点，点 为线段上一动点.（）求证：当点 为线段 的中点时， 平面 ；（）设 ，试问：是否存在实数，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.【答案】 （）见解析；（2） 或【解析】试题分析：（）连 、 ，由题意可证得 又在 平面 ，从而可得 平面 （）由题意可建立空间
12、直角坐标系 ，结合条件可得 ，从而可得平面 的法向量 ，同理可得平面 的法向量 ，根据解得 或 ，故存在实数满足条件试题解析：（）证明：连 、 ，点 为线段 的中点， 、 、 三点共线.点 、 分别为 和 的中点， 在直三棱柱 中， ， 平面 ， ，又 ，四边形 为正方形， ， 、 平面 ， 平面 ，而 ， 平面 .（）解：以 为原点，分别以 、 、 为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系，连接 、 ，设 ， ， ， ， .点 在线段 上运动，平面 的法向量即为平面 的法向量，设平面 的法向量为 ，由 得 ，令 得 ，设平面 的法向量为 ，由 得 ，令 得 ，取 ，由题意得| ， ，解得 或 .当
13、 或 时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 点睛：空间向量的引入为解决立体几何中的探索性问题提供了有力的工具解决与平行、垂直有关的探索性问题时，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在19. 手机 中的“ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的 朋友圈里有大量好友参与了“ 运动” ，他随机选取了其中 30 名，其中男女各 15 名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
14、男 0 2 4 7 2女 1 3 7 3 1（）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明 朋友圈里的男性好友中任意选取 3 名，其中走路步数低于 7500 步的有 名，求 的分布列和数学期望；（）如果某人一天的走路步数超过 7500 步，此人将被“ 运动”评定为“积极型” ，否则为“消极型”.根据题意完成下面的 列联表，并据此判断能否有 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型 消极型 总计男女总计附： .0.10 0.05 0.025 0.012.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）由题意得在小明的男性好友中任意选取 1 名
15、，其中走路步数低于 7500 的概率为 ，然后根据题意可得 的所有可能取值分别为 0，1，2，3，分别求出概率后可得 的分布列，然后可求得期望 （）结合题意可完成 列联表，由表中数据得到 ，故可得没有 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关试题解析：（）在小明的男性好友中任意选取 1 名，其中走路步数低于 7500 的概率为 .由题意得 的所有可能取值分别为 0，1，2，3，且 ，故随机变量 的分布列为0 1 2 3 .（）完成 列联表积极型 消极型 总计男 9 6 15女 4 11 15总计 13 17 30由表中数据可得 .没有 以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.20. 已知倾斜
16、角为 的直线经过抛物线 ： 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .（）求抛物线 的方程；（）过点 的两条直线 、 分别交抛物线 于点 、 和 、 ，线段 和 的中点分别为 、 .如果直线 与 的倾斜角互余，求证：直线 经过一定点.【答案】 （） ；（2）【解析】试题分析：（）设出直线 的方程为 ，与抛物线方程联立消元后可得 ，结合抛物线的定义及条件可得 ，故抛物线的方程为 （）设直线 的斜率为 ，则由条件可得直线 的斜率为 ，由直线与抛物线的交点可得点 ，同理点 ，故 ，于是可得直线 MN 的方程为 ，可得直线过定点 试题解析：（）由题意可设直线 的方程为 ，由 消去 y 整理得 ，设令
17、 ， ，则 ，由抛物线的定义得 ， ， .抛物线的方程为 .（）设直线 、 的倾斜角分别为 、 ，直线 的斜率为 ，则 .直线 与 的倾斜角互余， ，直线 的斜率为 .直线 的方程为 ，即 ，由 消去 x 整理得 ， ， ，点 ，以 代替点 M 坐标中的 ，可得点 ， .直线 的方程为 ，即 ，显然当 ， .直线 经过定点 .点睛：定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意，从而得到定点的坐标21. 已知函数 .（
18、）讨论 的单调性；（）若 ，求证： .【答案】 （）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）根据题意可得 ，分 和 两种情形讨论 的符号可得单调性 （）令，可得 ，构造函数，结合导数可得 ，于是可得 在 上单调递减，在上单调递增，故 ，然后再证明 ，即可得 ，从而可得成立试题解析：（）由题意得 ，当 时，则 在 上恒成立， 在 上单调递减.当 时，则当 时， 单调递增，当 时， 单调递减综上：当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（）令 ，则 ，设 ，则 ， ,当 时， 单调递增；当 时， 单调递减 （因为 ） ， . 在 上单调递减，在 上单调递增， ，设 ，则
19、 ， 在 上递减， ； ，故 .说明：判断 的符号时，还可以用以下方法判断：由 得到 ，设 ，则 ，当 时， ；当 时， .从而 在 上递减，在 上递增. .当 时， ，即 .22. 在极坐标系中，已知圆 的圆心为 ，半径为 .以极点为原点，极轴方向为 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 （为参数， 且 ）.（）写出圆 的极坐标方程和直线的普通方程；（）若直线与圆 交于 、 两点，求 的最小值.【答案】 （） ；（）【解析】试题分析：（）先求得圆 C 的直角坐标方程，然后再化成极坐标方程，消去直线参数方程中的参数，可得普通方程 （）求得圆心到直线的距离，根据半径
20、、弦心距和半弦长构成的直角三角形求解得到 ，然后再求最小值也可根据几何法直接求解试题解析：（）在直角坐标系中，圆 的圆心为 ，故圆 的直角坐标方程为 .即 ，将 代入上式可得 ，即 .圆 的极坐标方程为 将方程 消去参数得 .直线的普通方程为： .（）法一：直线过圆 内一定点 ，当 时， 有最小值， .法二：点 到直线的距离 ， .当 时， 有最小值 .23. 设不等式 的解集为 .（）求集合 ；（）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （） ；（）【解析】试题分析：（）令 ，由 得 ，解得 ，从而可得 （）转化变量可得不等式 在 恒成立，故得，解得 ，即为所求试题解析：（）令 ，由 得 ，解得 .（）由不等式 ，的 ，令 ，要使 ，则 ，整理得 ， ，解得 .实数 的取值范围 点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数
