1、2016-2017 学年浙江省 9+1 高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1已知集合 A=x|x1|2，B=x|log 2x3，则 AB=（ ）A （1， 3） B （0，3） C （0，8） D （1，8）2已知命题 p：（x+2） （x+1）0 命题 ，则下列说法正确的是（ ）Ap 是 q 的充要条件Bp 是 q 的必要不充分条件Cp 是 q 的充分不必要条件D是 q 的既不充分也不必要条件3一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A
2、 B C D4为了得到函数 的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（ ）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位5 展开式中，各项系数之和为 3，则展开式中的常数项为（ ）A120 B80 C80 D1206设 x，y 满足约束条件 若 0ax+by2 恒成立，则 a2+b2 的最大值是（ ）A1 B C D47如图，已知双曲线 的右顶点为 A，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q，若PAQ=60 且 =4 ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D8已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c， （a，b，c 均为
3、非零整数） ，且 f（a）=a 3，f（b）=b3，ab，则 c=（ ）A16 B8 C4 D1二、填空题（本题共 7 道小题，共 36 分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9如果函数 f（x）=x 2sinx+a 的图象过点（，1）且 f（t）=2那么 a= ；f（ t）= 10已知抛物线 x2=4y 的焦点 F 的坐标为 ；若 M 是抛物线上一点， |MF|=5，O 为坐标原点，则 cosMFO= 11已知 ，则 sin的值为 ； 的值为 12袋中有大小相同的 3 个红球，2 个白球，1 个黑球若不放回摸球，每次 1 球，摸取 3次，则恰有两次红球的概率为 ；若有放回摸球，每次 1 球，
4、摸取 3 次，则摸到红球次数的期望为 13已知 x，yR +，且满足 x+2y=2xy，那么 3x+4y 的最小值为 14已知定义域为 R 的函数 f（x） ，对任意的 xR，均有 f（x+1）=f（x 1） ，且 x（1，1时，有 f（x）= ，则方程 f（f（x） ）=3 在区间 3，3上的所有实根之和为 15已知函数 f（x）=ax 2（a0） ，点 A（5，0） ，P（1，a） ，若存在点 Q（k，f（k） ）（k0） ，要使 =（ + ） （ 为常数） ，则 k 的取值范围为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在
5、ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A（1）求角 A 的大小； （2）若 ，求 b+c 的最大值17如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABAD，ABPA，BC=2AB=2AD=4BE，平面 PAB平面 ABCD，（）求证：平面 PED平面 PAC；（）若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ，求二面角 APCD 的平面角的余弦值18数列a n中，S n 是a n的前 n 项和且 Sn=2nan，（1）求 a1，a n；（2）若数列b n中，b n=n（2n） （a n2） ，且对任意正整数 n，都有
6、，求 t 的取值范围19已知椭圆 ，过 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，过Q（x 0，0） （|x 0|a）的直线 l与椭圆交于 M，N 两点（1）当 l 的斜率是 k 时，用 a，b，k 表示出|PA|PB|的值；（2）若直线 l，l的倾斜角互补，是否存在实数 x0，使 为定值，若存在，求出该定值及 x0，若不存在，说明理由20已知函数：f（x）= x33x2+（1+a）x+b（a 0，b R） （1）令 h（x）=f（x1） b+a+3，判断 h（x）的奇偶性，并讨论 h（x）的单调性；（2）若 g（x）=|f（x）|，设 M（a ，b）为 g（x）在2，0的最大值，求 M（a，b）
7、的最小值2016-2017 学年浙江省 9+1 高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1已知集合 A=x|x1|2，B=x|log 2x3，则 AB=（ ）A （1， 3） B （0，3） C （0，8） D （1，8）【考点】交集及其运算【分析】分别求出集合 A 和 B，由此能出 AB【解答】解：集合 A=x|x1|2=x|1x3，B=x|log2x3 =x|0x8，AB=x|0x3=（0，3） 故选：B2已知命题 p：（x+2） （x+1）
8、0 命题 ，则下列说法正确的是（ ）Ap 是 q 的充要条件Bp 是 q 的必要不充分条件Cp 是 q 的充分不必要条件D是 q 的既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由题设知：命题 p：2x 1，命题 q：2x ，由此得到 p 是 q 的充分不必要条件【解答】解：命题 p：（x+2） （x+1）0，命题 P：2x 1，命题 ，2x ，p 是 q 的充分不必要条件，故选：C3一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式
9、，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为： （1+2）2=3，底面周长为：2+2+1+ =5+ ，高为：2，故四棱柱的表面积 S=23+（5+ ）2= ，故选：B4为了得到函数 的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（ ）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，得出结论【解答】解：函数 =sin（2x+ ）=sin2（x+ ） ，将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位，即可得到函数 =s
10、in（2x+）的图象，故选：D5 展开式中，各项系数之和为 3，则展开式中的常数项为（ ）A120 B80 C80 D120【考点】二项式系数的性质【分析】 展开式中，各项系数之和为 3，令 x=1，求出 a再求出展开式中 x 的一次项及 x 的1 次项即可【解答】解： 展开式中，各项系数之和为 3，展开式中各项系数和为 3x=1 时，1+a=3，a=2= 5 展开式中 x 的一次项为 80x，x 的1次项为40 x 1，展开式中的常数项为 16040=120故选：D，6设 x，y 满足约束条件 若 0ax+by2 恒成立，则 a2+b2 的最大值是（ ）A1 B C D4【考点】简单线性规划
11、【分析】由约束条件作出可行域，利用线性规划知识，通过 0ax+by2，得到 a，b 的不等式组，然后求解 a2+b2 的最大值【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，1 ） ，可得 C（0，1） ，可得 B（1，2） 0ax+by2 恒成立，可得： ，画出关于 a，b 的可行域，如图：a2+b2 的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方，显然 D 到原点的距离最大，由 ，解得 D（ ， ）a 2+b2 的最大值 = 故选：C7如图，已知双曲线 的右顶点为 A，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q，若PAQ=60 且 =4 ，则双曲线C
12、 的离心率为（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质【分析】确定QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则，OP= R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论【解答】解：因为PAQ=60且 =4 ，所以QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 PQ=2R，OP= R，渐近线方程为 y= x，A（a ， 0） ，取 PQ 的中点 M，则 AM= ，由勾股定理可得（2R） 2R2=（ ） 2，所以（ab） 2=3R2（a 2+b2），在OQA 中， = ，所以 R2=a2结合 c2=a2+b2，可得 e= = 故选：A8已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c， （a，b，
13、c 均为非零整数） ，且 f（a）=a 3，f（b）=b3，ab，则 c=（ ）A16 B8 C4 D1【考点】函数的值【分析】由 f（a）=a 3，f（b）=b 3 列出等式化简即 b=1a ，因为 b 为整数，得出a=2，从而求出 b 与 c 值【解答】解：由已知得 ，化简得： a（a+b） （ab）+b（a b）=0，b=a（a+b） ，即 b=1a ，a，b，c 均为非零整数且 a b，得 为整数，所以 a=2，所以 a=2，b=4，f（ 2）=8c=16故选：A二、填空题（本题共 7 道小题，共 36 分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9如果函数 f（x）=x 2sinx+a 的
14、图象过点（，1）且 f（t）=2那么 a= 1 ；f（ t）= 0 【考点】函数的值【分析】由函数性质列出方程组，求出 a=1，t 2sint=1，由此能求出 f（t） 【解答】解：函数 f（x）=x 2sinx+a 的图象过点（，1）且 f（t）=2， ，解得 a=1，t 2sint=1，f（ t）=t 2sin（t）+a=t 2sint+1=1+1=0故答案为：1，010已知抛物线 x2=4y 的焦点 F 的坐标为 （0，1） ；若 M 是抛物线上一点，|MF|=5，O 为坐标原点，则 cosMFO= 【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且
15、2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标利用抛物线的方程与定义，即可得出结论【解答】解：抛物线 x2=4y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p=4， =1抛物线 x2=4y 的焦点坐标为（0，1） M 是抛物线上一点，|MF|=5 ，M（4，4） ，cosMFO= 故答案为11已知 ，则 sin的值为 ； 的值为 32 【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由已知可求范围 +（ ， ） ，利用同角三角函数基本关系式可求cos（+） ，sin 的值，利用角的关系 =（+），根据两角差的正弦函数公式即可化简求值，进而可求 cos，利用同角三角函数基本关系式，降幂公式即可计算得解 的值【解答】解：（0，
16、 ） ，（ ，） ，+（ ， ） ，1 分cos（+）= = ，3 分cos= = ，5 分sin=sin（+ ） =sin（ +）coscos（+ ）sin= （ ） （ ） = cos= = ， = = =32 故答案为： 12袋中有大小相同的 3 个红球，2 个白球，1 个黑球若不放回摸球，每次 1 球，摸取 3次，则恰有两次红球的概率为 ；若有放回摸球，每次 1 球，摸取 3 次，则摸到红球次数的期望为 【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】每次 1 球，摸取 3 次，则恰有两次红球的概率= 设摸到红球次数为 X，则 X 的取值分别为 0，1，2，3，P（X=k）= ， （k=0
17、，1，2，3） 【解答】解：每次 1 球，摸取 3 次，则恰有两次红球的概率P= = = 设摸到红球次数为 X，则 X 的可能取值为 0，1，2，3，P（X=k）= ， （k=0 ，1，2，3） P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2 ）= ，P（X=3）= ，E（X）=0 +1 +2 +3 = 故答案为： 13已知 x，yR +，且满足 x+2y=2xy，那么 3x+4y 的最小值为 5+2 【考点】基本不等式【分析】由正数 x，y 满足 x+2y=2xy，得到 + =1，再利用基本不等式即可求出【解答】解：由正数 x，y 满足 x+2y=2xy， + =1，3x+4y=（3x+4y
18、） （ + ）=3+2+ + 5+2 =5+2 ，当且仅当 x= ，y= 时取等号，故 3x+4y 的最小值为： ，故答案为：5+214已知定义域为 R 的函数 f（x） ，对任意的 xR，均有 f（x+1）=f（x 1） ，且 x（1，1时，有 f（x）= ，则方程 f（f（x） ）=3 在区间 3，3上的所有实根之和为 3 【考点】抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断【分析】计算 f（x）的周期，做出 f（x）的函数图象，根据函数图象判断 f（x）=3，从而得出 x 的值【解答】解：f（x+1）=f（ x1） ，f （x+2）=f（x） ，f （x）是以 2 为周期的函数做出 f（x
19、）的函数图象如图所示：f（f（x） ）=3，f（x）=1+2k，k Z1f（x）3，f（x）=3 ，x3 ，3，x=1 或 x=1 或 x=3f（f（x） ）=3 在3，3内的所有跟之和为（ 1）+1+3=3 故答案为：315已知函数 f（x）=ax 2（a0） ，点 A（5，0） ，P（1，a） ，若存在点 Q（k，f（k） ）（k0） ，要使 =（ + ） （ 为常数） ，则 k 的取值范围为 （2，+） 【考点】二次函数的性质【分析】根据向量 和 + 共线得出 a，k 的关系式，化简即可得出k= 根据条件得出 01a 21，【解答】解：Q（k，ak 2） ， =（1，0） ， =（ ，
20、） ，=（1，a） + =（1+ ， ） ， =（ + ） （ 为常数） ， a（1+ ）=0 ，ak 2ak=a =ak ，k1= ，即 k22k+1=a2k2+1，若 a=1，则 k=0，不符合题意；a1，k= a0 且 a1，k0，01a 21， 2故答案为（2，+） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A（1）求角 A 的大小； （2）若 ，求 b+c 的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （1）由
21、已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得 2cos2A+3cosA2=0，可得cosA= ，进而可求 A 的值（2）由已知及余弦定理可求得 ，利用基本不等式即可求得 b+c 的最大值【解答】 （本题满分为 14 分）解：（1）由 3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A，得 3（cosBcosCsinBsinC）=cos2A 1，即 3cos（B+C）=2cos 2A2，即 2cos2A+3cosA2=0可得：（2cosA1） （cosA+2） =0，可得：cosA= 或 cosA=2（舍去） ，可得：A= 6 分（2）由 及 b2+c22bccosA=a2 得 b2+c2bc=1
22、2，从而（b+c） 23bc=12，即 ，又因 ，所以 即（b+c） 248，所以 ，当且仅当 时取到最大值 17如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABAD，ABPA，BC=2AB=2AD=4BE，平面 PAB平面 ABCD，（）求证：平面 PED平面 PAC；（）若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 ，求二面角 APCD 的平面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【分析】 （I）由面面垂直的性质定理证出 PA平面 ABCD，从而得到 AB、AD 、AP 两两垂直，因此以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立坐
23、标系 oxyz，得 A、D、E、C、P的坐标，进而得到 、 、 的坐标由数量积的坐标运算公式算出 且，从而证出 DEAC 且 DEAP，结合线面垂直判定定理证出 ED平面 PAC，从而得到平面 PED平面 PAC；（II）由（）得平面 PAC 的一个法向量是 ，算出 、 夹角的余弦，即可得到直线PE 与平面 PAC 所成的角 的正弦值，由此建立关于 的方程并解之即可得到 =2利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出 =（1，1， 1）是平面平面 PCD 的一个法向量，结合平面 PAC 的法向量 ，算出 、 的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角 APCD 的平面角的余弦值【解答】解：
24、（）平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD=AB，ABPAPA平面 ABCD结合 ABAD，可得分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 oxyz，如图所示可得 A（0，0，0）D（0，2，0） ，E（2，1，0） ，C （2，4，0） ，P（0，0，） （0） ， ，得 ， ，DEAC 且 DEAP，AC、AP 是平面 PAC 内的相交直线， ED平面 PACED平面 PED平面 PED平面 PAC（）由（）得平面 PAC 的一个法向量是 ，设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ，则 ，解之得 =2 0，=2，可得 P 的坐标为（0，0，
25、2）设平面 PCD 的一个法向量为 =（x 0，y 0，z 0） ， ，由 ， ，得到 ，令 x0=1，可得 y0=z0=1，得 =（1，1，1）cos ，由图形可得二面角 APCD 的平面角是锐角，二面角 APCD 的平面角的余弦值为 18数列a n中，S n 是a n的前 n 项和且 Sn=2nan，（1）求 a1，a n；（2）若数列b n中，b n=n（2n） （a n2） ，且对任意正整数 n，都有 ，求 t 的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出（2）利用数列的单调性即可得出【解答】解：（1）设 n=1 时，a 1=1，
26、由已知 Sn=2nan，得 Sn+1=2n+2an+1式减式得 ， ，a n2是 1 为首项， 为公比的等比数列a n2= ， （2） ，n3 时，b n+1bn0，n4 时， bn+1bn0， （b n） max=b4=11+t2t 2，2t 2t10；t1 或 19已知椭圆 ，过 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，过Q（x 0，0） （|x 0|a）的直线 l与椭圆交于 M，N 两点（1）当 l 的斜率是 k 时，用 a，b，k 表示出|PA|PB|的值；（2）若直线 l，l的倾斜角互补，是否存在实数 x0，使 为定值，若存在，求出该定值及 x0，若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性
27、质【分析】 （1）由题意可知：椭圆的焦点在 x 轴上，设直线 AB 的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理，因此，由弦长公式可知：，（2）当直线 MN 的斜率存在时：设直线 MN 的方程：y=k（xx 0） ，代入椭圆方程，由韦达定理可知： ，由弦长公式求得丨 MN丨，则 ，当 x0=0时， 为常数，当直线 MN 的斜率不存在时：时， 为定值，所以当 x0=0 时，为常数【解答】解：（1）椭圆 ，焦点在 x 轴上，焦距为 2c，设直线 AB 的方程： ，由 ，整理得： ，由韦达定理可知： ，（2）当直线 MN 的斜率存在时：设直线 MN 的方程：y=k（xx 0） ，M（x 3，y 3） ，N（x
28、 4，y 4） 由 ，可知得：，则 ，由韦达定理可知： ，由弦长公式可知：丨 MN 丨= ， ，当 x0=0 时， 为常数当直线 MN 的斜率不存在时： 时，为定值综上：所以当 x0=0 时， 为常数20已知函数：f（x）= x33x2+（1+a）x+b（a 0，b R） （1）令 h（x）=f（x1） b+a+3，判断 h（x）的奇偶性，并讨论 h（x）的单调性；（2）若 g（x）=|f（x）|，设 M（a ，b）为 g（x）在2，0的最大值，求 M（a，b）的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）根据已知求也函数 h（x）的解析式，结合函数奇偶
29、性的定义，可判断函数的奇偶性，求导，可分析出 h（x）的单调性；（2）若 g（x）=|f（x）|，则 f（t 1）=t 3（a +4）t+a b+3，t 1，1，令 h（t）=t 3（a+4）t+ab+3，t1， 1，结合导数法分类讨论，可得 M（a ，b）的最小值【解答】解：（1）h（x）=（x1） 33（x1） 2+（1+a）x+2，h（x） =（x+1） 33（x+1） 2x（a+1）+2，故 h（x）是非奇非偶函数；h（x）= 3x2+a+4，a+40 即 a4 时，h（x）0，h（x）在 R 递减；a+40 即 a4 时，令 h（x）0，解得： x ，令 h（x）0，解得：x 或 x
30、 ，故 h（x）在（， ）递减，在（ ， ）递增，在（ ，+）递减；（2）g（x）=|f（x）|= |x3+3x2（1+a）xb|， （a0） ，则 f（t1）=t 3（a +4）t+ab+3 ，t 1，1，令 h（t）=t 3（a +4）t+ab+3， t1，1，则 h（t）=3t 2（a +4） ，t 1，1，当 a4 时，h（t）0 恒成立，此时函数为增函数，则 M（a，b）=max |h（1）|，|h（1）|=max |2ab+6|，|b|当 4a0 时，h（t）有两个极值点 t1，t 2，不妨设 t1t 2，（i）当1a0 时，t 1= 1，t 2= 1，此时函数为减函数，则 M（a，b）=max |h（1）|，|h（1）|=max |2ab+6|，|b|（ii）当4a1 时，t 1= 1，t 2= 1，此时函数在1 ，t 1上递增，在t 1，t 2上递减，在t 2，1 上递增，则 M（a，b）=max |2ab+6|，|b|，|2（ ） 3+ab+3|，|2（ ） 3+ab+3|则 M（a，b）min|a +3|， 2（ ） 3，由|a+3|=2（ ） 3 得：a=1，或 a= ，当 a=1 时，M（a ，b）2，当 a= 时，M（a ，b） ，故当 a= ，b= 时，M（a，b）的最小值为 2017 年 1 月 6 日
