1、2016 年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合 ，则集合 的子集的个数为1,234M|,2PxMA. 8 B. 4 C. 3 D.22.已知复数 （i 为虚数单位），则cosnz21zA. B. C. D.i2scosin3.直线 和直线 平行，则 m 的值为1xmy80mxyA. 1 B. -2 C. 1 或-2 D. 234.已知公差不为 0 的等差数列 满足 成等比数列， 为数列 的前 n 项和，则 的na14,anSa325S值为A. -
2、2 B. -3 C. 2 D. 35.甲、乙、丙、丁、戊五位同学战成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为A. B. C. D.103146.若如下框图所给的程序运行结果为 S=41，则图中的判断框中应填入的是A. B. 6?i6?iC. D. 557.已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，左视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为8.将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，则 具有性质sin2fx4gxA.最大值为 1，图象关于直线 对称 B.在 上单调递减，为奇函数2x0,4C. 在 上单调递减，为偶函数 D.周期为
3、，图象关于 对称3,8 3,089.已知实数 满足 ，若目标函数 的最大值为 ，最小值为,xy260,yzmxy21m，则实数 的取值范围是2mA. B. C. D. ,1,31,2,310.已知函数 ，则关于 的不等式206log0162x xf xx的解集为3fxA. B. C. D. 1,41,40,011.过双曲线 的右支上一点 P，分别向圆 和圆 作切215yx21:4Cxy22:4Cxy线，切点分别为 M,N，则 的最小值为2MNA. 10 B.13 C. 16 D. 1912.定义在 R 上的函数 满足 ，且 ，则 的最大值为fxxffe102fxefA. B. - C. D.0
4、121二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.若命题“ ,使得 ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 为 .0xR2030xm14.已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为 .0sinad61a3x15.已知 中， ,D 为边 BC 的中点，则 .ABC8,9ABCAD16.在正三棱锥 内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相V切，若半球的半径为 2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17.（本题满分 10 分）设 ，令 ，又0axf11,n
5、nafa1,.nnbaN（1）证明 :数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；1nana（2）求数列 的前 项和.b18.（本题满分 12 分）已知 的面积为 S，且ABC3,3.2ABCSAB（1）若 的图象与直线 相邻两个交点间的最短距离为 2，且cos0fxx2y，求 的面积 S;6f（2）求 的最大值.3cosSBC19.（本题满分 12 分）某校高三学生有两部分组成，本部生与分校生共 2000 名学生，期末考试数学成绩换算成 100 分的成绩如图所示，从高三 的学生中，利用分层抽样，抽取 100 名学生的成 绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，本部生与分校生的比为 9:1，
6、确定高三本部生与分校生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的 的学生中，本部生与分校生的比例关系也是 9:1，从抽取的80,9,1两段的分校生中，选两人进行座谈，设抽取的 的人数为随机变量 ，, 80,9求 的分布列和数学期望.20.（本题满分 12 分）已知四棱锥 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD/BC, PA 底面 ABCD,PABCD 90,BCDPA是边长为 2 的等边三角形， .M23PADM（1）求证：平面 平面 ；（2）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 的余弦值 .PMDE21.（本题满分 12 分）已知椭圆 ，过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l，与圆 相切
7、，且2:10xyCab 217xy椭圆 C 的右焦点与抛物线 的焦点重合.24x（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 O 作两条相互垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A,B 两点，求 面积的最小值.OAB22.（本题满分 12 分）已知 ，且曲线 在点 处的切线斜率为 1.lnfxmxyfx1,f（1）求实数 m 的值；（2）设 在定义域内有两个不同的极值点 ，求 的取值范围；2agf R12,xa（3）已知 ，在（2 ）的条件下，若不等式 恒成立，求 的取值范围.0 1212exx 2016 年秋期高三年级期终质量评估试题理科数学参考答案一、选择题：BCACD CCBCA BA二、填空题:13
8、. 14. 15. 16. 三、解答题： 17 解：(1)证明：a n1 f(a n)Error! Error!，Error!Error!Error! ，即Error!Error! Error!. 是首项为 1，公差为 Error!的等差数列.3 分Error!1 (n1)Error!.整理得 anError!. 5 分(2)bna nan1 Error! Error! 7 分设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 .数列 bn的前 n 项和为Error!. 10 分18.解 : ，设ABC 的三个内角的对边分别为 ， ，由 得， ， 4 分（1） 的图象与直线 相邻两个交点间的最短距离为 T
9、， ，即：，解得 ， ，即： ，B 是ABC 的内角， ， 又 ，从而ABC 是直角三角形， ， . 8 分（2） ,设ABC 的外接圆半径为 R，则,解得 ,故 的最大值为 12 分19.解 :（1）因为抽取的本部生与分校生的比为 91，所以本部生抽取 90 人，分校生抽取 10 人，本部生的人数为 ，分校生的人数为 .2 分（2 ） ，平均分为 5 分（3 ）根据频率分布直方图可知，抽取的 ， 的学生分别为 ，抽取的分校生的人数分别为 人抽取的 的人数为随机变量 ，可知可知 ； ； ，10 分0 1 2可知 . 12 分20解：（1） 是边长为 的等边三角形, 底面 是直角梯形， 又又6
10、分（2 ）以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 且与 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，则设平面 的法向量为 ，则 取 8 分为 中点，则 ，设平面 的法向量为 ，则 取 10 分由 二面角 的余弦值为 12 分21.解（1 ）过椭圆的上顶点与右顶点的直线 为 ，直线与 相切，满足，且 ，整理可得 ，（舍去），故 ,所求的椭圆 C 的方程为 4 分（2）（方法一）当两线分别与坐标轴重合时， 5 分当两线不与坐标轴重合时，由于 ,设直线 为 ,则直线 为 ，设，直线 的方程为 与椭圆 联立消去 得 ，用 代换 得8 分，当且仅当 时取“= ”又 ，综合可得三角形的最小面积为
11、. 12 分（2 ）（方法二）设 ，直线 的方程为 与椭圆 联立消去 得即 ，把代入得 ，整理得 ，所以 到直线 的距离 8 分， 当且仅当 时取“=”号.由即弦 的长度的最小值是所以三角形的最小面积 . 12 分22解 (1) 由题意知， ，即： 解得 . 2 分（2 ）因为 在其定义域内有两个不同的极值点 ， ，所以 有两个不同的根 ， ，设 ，则显然当 时 ， 单调递增，不符合题意，所以 ，由 得 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 ，从而得 ， 5 分又当 时， ，所以 在 上有一根；设 ，则 ， 在 上单调递增,，所以 在 上有一根.（利用罗比塔法则可酌情给分）综上可知，当 时， 有两个不同的根所以 的取值范围为 7 分(也可孤立参量，利用图像解决法，请酌情给分)（3 ） 因为 等价于 由题意可知 分别是方程 ,即: 的两个根，即 ，所以原式等价于 ，因为 ， ，所以原式等价于 又由 ， 作差得， ，即 所以原式等价于 ， 9 分因为 ，原式恒成立，即 恒成立令 ， ，则不等式 在 上恒成立令 ，又 ，当 时，可见 时， ，所以 在 上单调增，又 ，在 恒成立，符合题意当 时，可见 时， ， 时 ，所以 在 时单调增，在 时单调减，又 ，所以 在 上不能恒小于 0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式 恒成立，只须 ，又 ，所以 .12 分
