1、2017 届辽宁庄河高中高三 10 月考数学（理）试题一、选择题1已知全集 ，集合 ，则UR|1,0,|2,1xAyxBy（ ）CABA B C D0,2,【答案】B【解析】试题分析：由题意，得 ， ，所以|1Ay|02By，所以 ，故选 B|1UCAy(),2)UC【考点】1、函数的值域；2、不等式的解法；3、集合的补集与交集运算2已知 为虚数单位，设复数 ， ，若 ，则i12,zaibi,aR12z（ ）abA0 B-2 C1 D-1【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以12(2)12zaibiabi，所以 ，所以 ，故选 D2,0ab,0【考点】1、复数的运算；2、复数相等的应用3命题
2、“ ”的否定是（ ）3,xRA “ ” B “ ” 0x3,0xRC “ ” D “ ”3,x 【答案】B【解析】试题分析：由全称命题的否定为存在性命题知，命题“ ”3,0xR的否定是“ ”，故选 B3,0xR【考点】全称命题的否定4已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则yflgxyyx（ ）lg2l5ff:A1 B10 C D710lg7【答案】B【解析】试题分析：因为函数 的图象与 的图象关于直线 对称，yfxlgxyyx所以 ，所以 ，故()10xflg2l5l25lg(25)lg2l51010f 选 B【考点】1、函数的图象；2、对数的运算5已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱
3、锥的体积为（ ）A8 B24 C D325965【答案】C【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积 ，高 ，所以该几何体的体积 ，1256S2164()5h1325VSh故选 C【考点】1、三棱锥的三视图书馆 2、三棱锥的体积【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据6为了研究椭圆的面积公式，研究人员制定了下列的几何概型模型，如图，已知矩形的长、宽分别为 ，以矩形的中心 为中心制
4、作得的内切椭圆如图阴影ABCD2,abO部分所示，为保证试验的准确性，经过了十次试验，若十次试验在矩形 中共随ABCD机撒入 5000 颗豆子，落在阴影部分内的豆子是 3925 颗，那么，据此估计椭圆的面积的公式为（ ）SA BSab34SabC D3.2【答案】A【解析】试题分析：由几何概型，知 ，即 ，解得3950S形椭 圆 39250Sab椭 圆，故选 A3.14Sab椭 圆【考点】几何概型7执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）iA5 B7 C9 D11【答案】C【解析】试题分析：第一次循环，得 ；第二次循环，得 ；第3,5Si15,7Si三次循环，得 ， ，此时不满足循环条件，退出
5、循环，输出 ，1054Si 9故选 C【考点】程序框图【方法点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项8将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数3cos02yx3的图象，则函数 的一个对称中心为（ ）sinxsin2yxA B C D,012,06,04,03【答案】B【解析】试题分析：将函数 的图象向左3cossini()2yxx平移 个单位，得 的图象，即函数3in()i()3x的图象，所以 ， （ ） ，所以
6、sin2yxkZ令 ，得isin2sin233xkxxk（ ） ，所以函数 的一个对称中心为 ，故选26kxZsin2yx,06B【考点】1、三角函数图象的平移变换；2、正弦函数的图象与性质9 的展开式中的一次项系数是（ ）6xA5 B14 C20 D35【答案】C【解析】试题分析： 展开式的通项公式为 令61x 6261()rrrrTxC，得 令 ，此时 无解，故 展开式中的常数项为260r3r2r6，无一次项，所以 的展开式中的一次项系数为 20，故选 C36C61x【考点】二项式定理10在三棱锥 中，侧面 、侧面 、侧 两两互相垂直，且PABCPACPB，设三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的
7、外接球:1:23B1VA的体积为 ，则 （ ）2V1A B 7433C D 8【答案】A【解析】试题分析：由侧面 、侧面 、侧 两两互相垂直知PABCPB两两相互垂直，不妨设 ， ， ，则,PB123三棱锥 的外接球的直径 ，1231V22114R所以 ，所以 ，故选 A247R21743V【考点】1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积11抛物线 的焦点为 ，点 在 轴上，且满足 ，抛物线的准216yxFyOF线与 轴的交点是 ，则 （ ）xBA:A-4 B4 C0 D-4 或 4【答案】C【解析】试题分析：由题意，得 ，抛物线的准线方程为 ，所以(4,0)F4x因为 ，所以 或 当 为 时
8、，(4,0)BOAA(,4)A(0,)， ， ；当 为 时， ，,F(,)BB,)F， 综上所述， ，故选 C(4)A00F【考点】1、抛物线的几何性质；2、向量的坐标运算12已知函数 满足 ，且当 时，fx4ffx13x，其中 ，若方程 恰有 5 个根，则2,1,13mfx0m0f实数 的取值范围是（ ）A B C D5,7358,4,7348,【答案】A【解析】试题分析：因为当 时，可将函数化为方程 ，其1,x21(0)yxm实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，并在坐标系中作出当 的图象，再根,3据周期性作出函数其他部分的图象，由图易知直线 与第二个半椭圆xy相交，且与第三个半椭圆 无公共
9、点2(4)1(0)yxm2(8)1(0)ym时，方程恰好有 5 个实数解将 代入 ，得3xy2(4)()y0令 ，222(91)71x290tt则 由 ，得 由85tt(8)415()15t且 ，得 同样， 与第三个半椭圆291m03m3xy，由 ，可得 综上可知 ，故选2(8)()yx0715(,7)3mA【考点】1、分段函数；2、函数的图象【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程 的实根常将参数移到一边转化)(xg0为值域问题当研究程 的实根个数问题，即方程 的实数根个数问题)(xg0)(时，也常要进行参变分离，得到 的形式，然后借助数形结合（几何法）思想)(xfa求解；也可将方程化为形如
10、 ，常常是一边的函数图像是确定的，另一边hf的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可二、填空题13已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是xfea,0a_ 【答案】 1，【解析】试题分析：由题意知 在 上恒成立，即0xfea,在 上恒成立，所以 xae,01【考点】利用导数研究函数的单调性【方法点睛】求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式求解，其判定方法为：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 在该区()yfx()0fx()yfx间内单调递增；如果 ，则 在该区间内单调递减0()yfx14已知数列 是等差数列，且 ，则 _na123,a4a【答案】1【解析】试题
11、分析：设等差数列的公差为 ，则有 ，解得d(1)(2)3d，所以 4d41(3)a【考点】等差数列的通项公式15一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，收集数据如下：零件数 个x10 20 30 40 50加工时间 （分钟）y64 69 75 82 90由表中数据，求得线性回归方程 ，已知回归直线在 轴上的截距为 56.5，ybxay根据回归方程，预测加工 102 分钟的零件个数约为_【答案】70【解析】试题分析：因为回归直线在 轴上的截距为 56.5，所以 ，所以线性y56.a回归方程为 ，又由表知 ，56.ybx10234035x，则有 ，解得 ，所
12、以回归直649782076b线方程为 ，当 时， ，故预测加工 102 分钟的零件个数yx12y70x约为 70【考点】回归直线方程16在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，若ABC,abc2,3ACac，则 的面积为_238abc【答案】【解析】试题分析：由正弦定理，知 ，即sinaAcC，所以 ，所以 ，所以sin2cosin2os3C3o20C因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所60,9ABacbc8abc2c以 123Sac【考点】正弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；（2）根据条件和所求合理
13、选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解三、解答题17已知数列 的前 项和为 ，点 在曲线 上nanS,na2yx（1）求证：数列 是等比数列；（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 nb1nnnbnT【答案】 （1）见解析；（2） 2【解析】试题分析：（1）首先根据条件得到 的表达式，然后利用 与 的关系证nSnaS明即可；（2）首先结合（1）求得 ，从而得到 的通项公式，进而求得 nabnT试题解析：（1）由题意得 ，2S所以 ，*1,nSanN两式相减得 ，即 4 分12nna*12,nanN又 ，所以 21S所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 6 分n（2）
14、由（1）得 ，1na:所以 1213243112nn nnTaaa 12 分【考点】1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、数列求和18时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过 2 天按照 300 元计算；超过两天的部分每天收费标准为 100元（不足 1 天的部分按 1 天计算） 有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次） ，设甲、乙不超过 2 天还车的概率分别为 ；2 天以上且不超过 3 天还车1,3的概率分别 ；两人租车时间都不会超过 4 天,23（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的
15、租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望E【答案】 （1） ；（2）分布列见解析， 78750E【解析】试题分析：（1）由甲所付租车费用大于乙所付租车费用知可分为乙租车 2 天与乙租车 3 天两种情况，由此能求出所求概率；（2）首先求得 的所有可能取值，然后分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列与数学期望试题解析：（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，当乙租车 2 天内时，则甲租车 3 或 4 天，其概率为 ；1123P当乙租车 3 天时，则甲租车 4 天，其概率为 ；238则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为 5 分127381P（2）设甲，乙两个所付的费用之和为 可为
16、,600，700，800，900，1000， 6 分111360,7032632681159023236PP 8 分P故 的分布列为600 700 800 900 1000P1635613 10 分故 的期望为 12115160780907503636E分【考点】1、概率；2、离散型随机变量的分布列与期望19如图，在正三棱柱 （侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，1ABC是棱 上一点16,ACM（1）若 分别是 的中点，求证： 平面 ； ,MN1,CAB/CN1ABM（2）若 是 上靠近点 的一个三等分点，求二面角 的余弦值1【答案】 （1）见解析；（2） 45【解析】试题分析：（1）连结
17、交 于点 ，连结 ，易知 是 的1AB1P,MNP1AB中点，然后利用中位线定理可使问题得证；（2）以 为原点建立空间直角坐标系，然C后求出相应点的坐标与向量，由此求得平面 与平面 的法向量，从而利11A用空间夹角公式求解试题解析：（1）连结 交 于点 ，连结 ，易知 是 的中点，1AB1P,MNP1AB因为 分别是 的中点，所以 ，且 ，,MN,C/C所以四边形 是平行四边形，所以 P因为 平面 平面 ，1,1所以 平面 6 分/AB（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则点 ，设平1 16,0,43,6,043,2AMBAMB面 的一个法向量为 1Bnxyz则由 得 ，1,0z32nxy:3
18、20xzy令 ，得 ，3z42,易知平面 的一个法向量为 ，设二面角 的大小为 ，1AC0,1m11AMB则 1430,2,45cos,165mn:2 分【考点】1、线面平行的判定定理；2、二面角；3、空间向量的应用【举一反三】求解空间角的问题，一般利用空间向量进行计算，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，求得相关点的坐标及向量，然后利用方程组求出相关面的法向量，再根据向量数量积求出二面角，或再根据线面角与向量夹角互余的关系求解20已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，2:10xyCab12,F63点 为坐标原点，若椭圆 与曲线 的交点分别为 （ 下 上） ，且Oyx,AB两点满足 ,
19、AB2AB:（1）求椭圆 的标准方程；C（2）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作 的两条切线，切点分P24:3Oxy别为 ，且直线 在 轴、 轴上的截距分别为 ，证明： 为定,NMxy,mn21n值【答案】 （1） ；（2）见解析2143xy【解析】试题分析：（1）设 ，然后根据向量数量积求得 的值，再结合离心,Bxx率求得 的值，由此求得椭圆方程；（2） 设点 ，然后根据条件求得,abc 1,Py的方程，从而求得直线 在 轴、 轴上的截距为 ，进而使问题得证O:MNxymn试题解析：（1）设椭圆 的半焦距为 ，设 ，则 ，Cc,Bx,0Ax由 ，得 ， ，2BA2,1x21ab又椭圆 的离心
20、率为 ，所以 ，6363c又 ，2abc由，解得 ，2248,3bc故椭圆 的标准方程为 6 分C2143xy（2）如图，设点 ，由 是 的切点知， ，1,Pxy,MNO:,MPON所以 四点在同一圆上，且圆的直径为 ，,OMN则圆心为 ，其方程为 ，1,2xy2221114xyxy即 ，10即点 满足话中，又点 都在 上，,MN,MNO:所以 坐标也满足方程 ，24:3xy-得直线 的方程为 ，1令 ，得 ；令 ，得 ，所以 ，0y143mx0143ny114,3xymn又点 在椭圆 上，所以 ，即 中，1,PyC2143x2243即 ，即 为定值 12 分22434mn2mn【考点】1、椭
21、圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线与圆的位置关系21已知 ，其中 .21ln1fxax0a（1）若 是函数 的极值点，求 的值；f（2）求 的单调区间；fx（3）若 在 上的最大值是 0，求 的取值范围0,a【答案】 （1） ；（2）当 时，增区间是 ，减区间是4a01a10,a；当 时，减区间是 ；当 时，增区间是,0,，递减区间是 ；（3） 1,a1,0a1a【解析】试题分析：（1）首先求得导函数 ，然后根据 求得 的值；()fx30fa（2）首先求得 的零点值，然后分 、 、 讨论函数 的单()fx 01a1a()fx调区间；（3）首先由（2）求得函数 的最大值，由此求得
22、的取值范围()fx试题解析：（1）由题意得 ，2,1,1f x由 ，经检验符合题意 2 分1304fa（2）令 ，120,xxa 当 时， 与 的变化情况如下表：ffx1,00 ,1a1,af0 0fx减 f增 1fa减 的单调递增区间是 ，f 10,a的单调递减区间是 5 分fx,当 时， 的单调递减区间是 ，1afx1,当 时， ，10与 的变化情况如下表：fxf1,a11,0a0 ,fx0 0 f减 1fa增 f减的单调递增区间是 ，fx,0的单调递减区间是 ， 8f 1,a分综上，当 时， 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是01afx10,afx；1,当 时， 的单调递减区间是 ；
23、afx1,当 ， 的单调递增区间是 ， 的单调递减区间是1f ,0afx， 9 分,0a（3）由（2）可知当 时， 在 的最大值是 ，1afx0,1fa但 ，所以 不合题意，10ffa当 时， 在 上单调递减，fx,可得 在 上的最大值为 ，符合题意，0fx00f 在 上的最大值为 0 时， 的取值范围, a是 12 分1a【考点】1、函数极值与导数的关系；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数最值与导数的关系22几何证明选讲如图， 是圆 的直径， ，且 ADOAEBC3,A2,D6（1）求证： ；ABCDE:（2）求 的值E【答案】 （1）见解析；（2） 2【解析】试题分析：（1）首先利用圆
24、周角定理结合直径的性质证得 ，AEBCD:从而根据相似比使问题得证；（2）首先利用相交弦定理与射影定理求得 的长，然后利用勾股定理可使问题得解试题解析：（1）证明：由同弧所对圆周角相等可知， ，又 是圆 的直径，所以 ，ADO09ACD又 ，所以 ，所以 ，EBCEEBACD:所以 ，即 ， 6:分（2）解：由（1）得 ，即 ，解得 ，A3261E由勾股定理得 10 分2BE【考点】1、圆周角定理；2、相似三角形；3、相交弦定理23坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 的方程是 ，直线 的方程是 C4lsin24（1）以极点 为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，将直线 与圆 的Ox
25、lC极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求直线 与圆 相交所得的弦长l【答案】 （1） ， ；（2） 20xy216y14【解析】试题分析：（1）根据 转化即可；（2）2cos,in,xyxy首先求得圆心到直线 的距离，然后利用弦长公式求解即可l试题解析：（1）由 ，得 ，则 ，4216216故圆 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ；Cxy由 ，得 ，即 ，sin242sincossincos2则 ，xy故直线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，l 20xy 5 分（2）因为圆心 到直线 的距离为 ，0,C:20lxy2d所以直线 与圆 相交所得的弦l长 10 分222414rd【考点】1、极坐标
26、方程与直角坐标方程的互化；2、点到直线的距离；3、弦长公式【思路点睛】解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式” 在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握24不等式选讲设函数 .2fxax（1）当 时，求不等式 的解集；04f（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围fxa【答案】 （1） ；（2） ,3,0【解析】试题分析：（1）首先求得当 时函数 的解析式，然后利用零点分()fx段法求解；（2）首先将函数 的解析式写成分段函数形
27、式，然后作出函数()fx的图象，从而根据图象求得 的取值范围fxa试题解析：（1）当 时， ，0a2fx原不等式等价于 ，或 或 ，24x4024x解得原不等式的解集为 5 分,13,（2）因为 ，所以 ，2a2,axafxx作出函数 的图象如图所示，fx其中，点 ，则 ， 2,Ma2CMak由图可知，若不等式 恒成立，则 ，即 ，解得 ，fx1OMk21a0即实数 的取值范围是 10 分,0【考点】1、绝对值不等式的解法；2、函数的图象；3、不等式恒成立问题【方法点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是用分类讨论思想，运用零点分区间讨论；二是运用数形结合思想，利用绝对值的几何意义求解将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用
