1、兰化一中 2017 届高三第四阶段考试试卷理科数学（时间 120 分钟, 满分 150 分）2016 年 12 月）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1. 若集合 为自然数集，则下列选项正确的是（ ）AMx|x1 BMx|x2 CMN=0 DMN=N2若 i 是虚数单位，复数 z 满足（1i）z=1，则|2z3|=（ ）A B C D3. 已知函数若 x，y 满足约束条件1,2,xy目标函数 zax2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数 a 的取值范围是( )A. 4,2 B. (4,1) C.(,4)(,)
2、D.(,4)(1,) 4. 按照如图的程序运行，已知输入 x的值为 2log3， 则输出 y的值为( ) A. 7 B. 11 C. 12 D. 24 5. 设函数 )2,0)(sin3)( xf 的图像关于直线 32x对称,它的周期是 ，则（ ）A. )(xf的图象过点 )21,0( B. f的一个对称中心是 ),5 C. )(xf在 32,1上是减函数D.将 的图象向右平移 |个单位得到函数 xysin3的图象6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A. 36 B. 9 C. 29 D. 827 7. 任取 k1，1，直
3、线 L：y=kx+3 与圆 C：（x 2） 2+（y3） 2=4 相交于 M、N 两点，则|MN|2 的概率为 （ ）A B C D8. 等比数列 na的前 n 项和为 nS, 27),.(431n2312 aa，则 6a=（ ）A.27 B.81 C.243 D.7299. 设非零向量 ， ， 满足| |=| |=| |， + = ，则向量 与向量 的夹角为（ ）A150 B120 C60 D3010. 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A72 B120 C144 D168 11. 已知椭圆 )0(1:21b
4、ayaxC与双曲线 )0,(1: 222babyaxC有相同的焦点 F1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2 又分别是两曲线的离心率，若 PF1 PF2，则4e的最小值为( ) A. 25 B.4 C. 29 D.9 12. 定义在 R 上的函数 f（x） ，f（x）是其导函数，且满足 f（x）+f（x）2，ef（1）=2e+4，则不等式 exf（x）4+2e x（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （1，+） B （，0）（1，+） C （，0）（0，+） D （，1）二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。)13. 二项式 的展开式中 x5 的系
5、数为 ，则 =_ 14. 在ABC 中，A= ，AB= ，B 的角平分线 BD= ，则 BC 的长为 15. 已知定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 3()(,2)32fxf，数列 na的前 n 项和为nS，且 *1,2(naSaN，则 56a 16. 现定义一种运算“ ”；对任意实数 ,b，,1ba，设函数2()(3)fxx，若函数 ()gxfk恰好有两个零点，则实数 k的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 题，17 至 21 题每题 12 分，22 题 10 分，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12 分）已知 a，b， c 分别是ABC 的三个内角
6、A，B，C 所对的边，且满足（2ba）cosC=ccosA（1）求角 C 的大小；（2）设 y=4 sin2 +2sin（C B） ，求 y 的最大值并判断当 y 取得最大值时ABC 的形状18.（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，平面 PDC平面ABCD，AC=AD=PD=PC，DAC=90，M 在 PB 上（1）若点 M 是 PB 的中点，求证： PA平面 CDM； （2）在线段 PB 上确定点 M 的位置，使得二面角DMCB 的余弦值为 19 （12 分）自 2014 年微信悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的许多小游戏，数据显示，
7、该年从除夕开始至初一 16 时，参与抢微信红包的用户超过 500 万，总计抢红包 7500 万次以上小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发 1 个（1）若小张发放 10 元红包 3 个，求小王恰得到 2 个的概率；（2）若小张发放 4 个红包，其中 5 元的一个，10 元的两个，15 元的一个，记小明所得红包的总钱数为 X，求 X 的分布列和期望20 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，若圆 x2+y2=a2 被直线 xy=0 截得的弦长为 2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知点 A、B 为动直线 y=k（x1） ，k0 与椭圆 C 的两个交点
8、，问：在 x 轴上是否存在定点 M，使得 为定值？若存在，试求出点 M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由21.（12 分）已知函数 f（x）= ，g（x）= 1（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）对一切 x（0，+） ，2f（x）g（x）恒成立，求实数 m 的取值范围；（3）证明：对一切 x（0，+） ，都有 lnx 成立22.（10 分）已知在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）设 M 是直线 l 上任意一点，过 M 做圆 C
9、 切线，切点为 A、B，求四边形 AMBC 面积的最小值兰化一中 2017 届高三第四次阶段考试(理科数学)答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A D B C A C D B C A二、填空题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13._ _ 14. 15. 3 16. 3,28,71三、解答题（本大题共 6 题，17 至 21 题每题 12 分，22 题 10 分，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分 12 分）解：（1）（2ba ）cosC
10、=ccosA，由正弦定理可得：（2sinBsinA） cosC=sinCcosA，化为：2sinBcosC=sin （C+A ）=sinB ，sinB0，cosC= ，C（0，） ，C= （2）y= 4 sin2 +2sin（C B）= （1cosA）+2sin =sinA+ cosA2 =2 2 ，A ， ，当 A+ = ，即 A= 时，y 确定最大值 22 ，此时 B= ，因此ABC 为直角三角形18.（本题满分 12 分）证明：（1）取 DC 的中点 O，连结 PO，OA，则 PODC ，AO DC，又 POOA=O，PO平面 POA，CDPA，取 PA 的中点 N，连结 ON， MN，
11、由 M 为 PB 的中点，得四边形 MNOC 为平行四边形，OMON，又在POA 中， OP=OA，N 为 PA 中点，则 ONPA，CMPA，又 CM平面 CDM，CD平面 CDM，CM CD=C，PA平面 CDM解：（2）由平面 PDC平面 ABCD，得 PO平面 ABCD，以 O 为原点，OA，OC，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 DC=2，则 D（0，1，0） ，C（0，1，0） ，B（1，2，0） ，P（0，0，1） ，设平面 MCB 的法向量 =（x，y，z） ，=（1，1，0） ， =（0，1，1） ， 则 ，取 z=1，得 =（1，1，1） ，设
12、= ， （01） ，则 M（，2，1） ，=（0，2，0） ， =（，2 1，1） ，设平面 DCM 的法向量为 =（a，b，c） ，则 ，取 c=1，得 =（ ，0，1） ，二面角 DMCB 的余弦值为 ，|cos |= = = ，解得 ，当点 M 是 PB 的中点时，二面角 DMCB 的余弦值为 19 （本题满分 12 分）解：（1）设小王恰得到 2 个 10 元红包为事件 A小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发 1 个小张发放 10 元红包 3 个，小王恰得到 2 个的概率 p(A)= = （2）由题意知 X 的可能取值为 0，5，10，15，20，25，30，35
13、，40，P（X=0）= （ ） 4= ，P（X=5）= = ，P（X=10）= = ，P（X=15）= + = ，P（X=20）= = ，P（X=25）= 2= ，P（X=30）= = ，P（X=35）= = ，P（X=40）= （ ） 4= ，X 的分布列为：X 0 5 10 15 20 25 30 35 40PE(X)= + + +35 = 20 （本题满分 12 分）解：（1）圆 x2+y2=a2 的圆心（0，0）到直线 xy =0 的距离 d= =1，2=2 ，解得 a2=2，又 = ，a 2=b2+c2，联立解得：a 2=2，c=1=b椭圆 C 的标准方程为： +y2=1（2）假设在
14、 x 轴上存在定点 M（m ，0） ，使得 为定值设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，化为：（1+2k 2）x 24k2x+2k22=0，则 x1+x2= ，x 1x2= =（x 1m，y 1）（x 2m，y 2）=（x 1m） （x 2m）+y 1y2=（x 1m） （x 2m）+k 2（x 11） （x 21）=（1+k 2）x1x2（m+k 2） （x 1+x2）+m 2+k2=（1+k 2） （m+k 2） +m2+k2= ，令 2m24m+1=2（m 22） ，解得 m= 因此在 x 轴上存在定点 M（ ，0） ，使得 为定值 21.（本题满分 12 分）解：
15、（1） ，得由 f（x）0，得 0xef（x）的递增区间是（0， e） ，递减区间是（e，+）（2）对一切 x（0，+） ，2f （x）g（x）恒成立，可化为 对一切 x（0，+ ）恒成立令 ，当 x（0，1）时 h（x）0 ，即 h（x）在（0，1）递减当 x（1，+）时 h（x） 0，即 h（x）在（1，+）递增h（x） min=h（1）=4 ，m4，即实数 m 的取值范围是（，4(3)证明： 等价于 ，即证由（）知 ， （当 x=e 时取等号）令 ，则 ，易知 （x）在（ 0，1）递减，在（ 1，+）递增 （当 x=1 时取等号）f（x） （x）对一切 x（0，+）都成立则对一切 x（0，+） ，都有 成立22.（本小题满分 10 分）解：（1）圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，所以圆 C 的普通方程为（x 3） 2+（y+4） 2=4由 得 cos+sin=2，cos=x，sin=y，直线 l 的直角坐标方程 x+y2=0（2）圆心 C（3， 4）到直线 l：x+y 2=0 的距离为 d= = 由于 M 是直线 l 上任意一点，则 |MC|d= ，四边形 AMBC 面积 S=2 ACMA=AC =2 2四边形 AMBC 面积的最小值为
