1、2016-2017 学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1若全集 U=R，集合 M=x|x24，N=x| 0，则 M（ UN）等于（ ）Ax|x2 Bx|x 2或 x3 Cx|x32 Dx|2x32若复数 z 满足 zi=1i，则 z 的共轭复数是（ ）A1 i B1 i C 1+i D1+i3若直线 x+ay+6=0 与直线（a 2）x+3y+2a=0 平行，则 a=（ ）Aa=1 Ba=3 Ca=3 或 a=1 Da=3 且 a=14已知“命题 p：（x m） 23（xm） ”是“命题 q：x 2+3x40”成立的必要
2、不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ）Am1 或 m7 Bm1 或 m 7C 7m1 D7m15如图是函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象，则函数 g（ x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（ ）A （ ） B （1，2） C （ ，1） D （2，3）6设点 A（1，0） ，B（2，1） ，如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，那么 a2+b2（ ）A最小值为 B最小值为 C最大值为 D最大值为7设 ， 为单位向量，若向量 满足| （ + ）|=| |，则| |的最大值是（ ）A1 B C2 D28已知函数 f（x）=|lnx| 1，g（x）=x 2+2x+3
3、，用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h（x）=minf（x） ，g（ x），则函数 h（x）的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D49 九章算术是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功 ”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为：“ 今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图） ”，下底面宽 AD=3 丈，长 AB=4 丈，上棱 EF=2 丈，EF平面ABCDEF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈，问它的体积是（ ）A4 立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D8 立方丈10已知函数 f（x）= 满足条件，对于x 1R，存在唯一的 x2R，使
4、得f（x 1）=f（x 2） 当 f（2a ）=f（3b）成立时，则实数 a+b=（ ）A B C +3 D +311如图所示是三棱锥 DABC 的三视图，点 O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于（ ）A B C D12已知函数 f（x）= （a 0，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A （0， B ， C ， D ， ） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13若1x 1，则 y= +x 的最大值为 14数列a n的通项 ，其前 n 项和为
5、 Sn，则 S30= 15等腰三角形 ABC 中，AB=4 ，AC=BC=3 ，点 E，F 分别位于两腰上，E，F 将ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为 S1，S 2，则 的最大值为 16德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数 f（x）有以下四个命题：f（f（x） ）=1；函数 f（x）是偶函数；任意一个非零有理数 T，f（x+T）=f（x）对任意 xR 恒成立；存在三个点 A（x 1，f（x 1） ） ，B（x 2，f（x 2） ） ，C（x 3，f （x 3） ） ，使得ABC 为等边三角形其中真命题的序号为 （写出所有
6、正确命题的序号）三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17设a n是公比大于 1 的等比数列，S n 为数列a n的前 n 项和，已知 S3=7，且a1，a 2，a 31 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn=log4a2n+1，n=1 ， 2，3，求和： 18如图，已知平面上直线 l1l 2，A 、B 分别是 l1、l 2 上的动点，C 是 l1，l 2 之间一定点，C 到 l1 的距离 CM=1，C 到 l2 的距离 CN= ，ABC 内角 A、B、C 所对 边分别为a、b、c，ab ，且 bcosB=acosA（1）判断三角形ABC 的形状；（2）记ACM=，f（）
7、= ，求 f（）的最大值19已知函数 f（x）=2 ；（1）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC 中，三内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f（x）的图象经过点 ，若 =4，求 a 的最小值20如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADC=BCD=90，BC=2 ，PD=4，PDA=60 ，且平面 PAD平面 ABCD（）求证：ADPB；（）在线段 PA 上是否存在一点 M，使二面角 MBCD 的大小为 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由21已知圆 C：x 2+y2=2，点 P（2，0） ，M（0，2） ，设 Q 为圆 C
8、上一个动点（1）求QPM 面积的最大值，并求出最大值时对应点 Q 的坐标；（2）在（1）的结论下，过点 Q 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A，B 两点，若直线QA、QB 的倾斜角互补，问直线 AB 与直线 PM 是否垂直？请说明理由22已知函数 f（x）=lnx（）若函数 F（x）=tf （x）与函数 g（x）=x 21 在点 x=1 处有共同的切线 l，求 t 的值；（）证明： ；（）若不等式 mf（x）a+x 对所有的 都成立，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分
9、60 分）1若全集 U=R，集合 M=x|x24，N=x| 0，则 M（ UN）等于（ ）Ax|x2 Bx|x 2或 x3 Cx|x32 Dx|2x3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别求出 M 与 N 中不等式的解集，根据全集 U=R 求出 N 的补集，找出 M 与 N补集的交集即可【解答】解：由 M 中的不等式解得：x2 或 x2，即 M=x|x2 或 x2，由 N 中的不等式变形得：（ x3） （x+1）0，解得：1x 3，即 N=x|1x3，全集 U=R， UN=x|x1 或 x3则 M（ UN）= x|x2 或 x3故选：B2若复数 z 满足 zi=1i，则 z 的共轭复数是（
10、 ）A1 i B1 i C 1+i D1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数 z 满足 zi=1i，可得 z，从而求出 即可【解答】解：复数 z 满足 zi=1i，z= = =1i，故 =1+i，故选：C3若直线 x+ay+6=0 与直线（a 2）x+3y+2a=0 平行，则 a=（ ）Aa=1 Ba=3 Ca=3 或 a=1 Da=3 且 a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由直线平行可得 13a（a2）=0，解方程排除重合即可【解答】解：直线 x+ay+6=0 与直线（a 2）x+3y+2a=0 平行，13a（a 2）=0，解得 a=3 或 a=1，经验证当
11、a=3 时，两直线重合，应舍去故选：A4已知“命题 p：（x m） 23（xm） ”是“命题 q：x 2+3x40”成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ）Am1 或 m7 Bm1 或 m 7C 7m1 D7m1【考点】一元二次不等式的解法【分析】分别求出两命题中不等式的解集，由 p 是 q 的必要不充分条件得到 q 能推出 p，p推不出 q，即 q 是 p 的真子集，根据两解集列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可求出 m 的范围【解答】解：由命题 p 中的不等式（xm ） 23（xm） ，因式分解得：（xm） （x m3）0，解得：xm+3 或 xm；由命题 q 中的不等
12、式 x2+3x40，因式分解得：（x1） （x+4） 0，解得：4x 1，因为命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，所以 qp，即 m+34 或 m1，解得：m 7 或 m1所以 m 的取值范围为：m1 或 m 7故选 B5如图是函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象，则函数 g（ x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（ ）A （ ） B （1，2） C （ ，1） D （2，3）【考点】函数零点的判定定理【分析】由二次函数图象的对称轴确定 a 的范围，据 g（x）的表达式计算 g（ ）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间【解答】解：由函数 f（x）=x 2+ax+b 的部
13、分图象得 0b 1，f （1）=0，即有 a=1b，从而2 a 1，而 g（x）=lnx+ 2x+a 在定义域内单调递增，g（ ）=ln +1+a0，由函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0 1，解得 2a0，g（1）=ln1+ 2+a=2+a0，函数 g（x）=lnx +f（x）的零点所在的区间是（ ，1） ；故选 C6设点 A（1，0） ，B（2，1） ，如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，那么 a2+b2（ ）A最小值为 B最小值为 C最大值为 D最大值为【考点】简单线性规划的应用；函数的最值及其几何意义【分析】由题意得：点 A（1 ，
14、0） ，B（2，1）在直线 ax+by=1 的两侧，那么把这两个点代入 ax+by1，它们的符号相反，乘积小于等于 0，即可得出关于 a，b 的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出 a2+b2 的取值范围【解答】解：直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，点 A（1，0） ，B（2，1）在直线 ax+by=1 的两侧，（a1） （2a+b 1）0，即 或 ；画出它们表示的平面区域，如图所示a2+b2 表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点 O 到直线 2x+y1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，d= ，那么 a2+b2 的最小值为：d
15、2= 故选 A7设 ， 为单位向量，若向量 满足| （ + ）|=| |，则| |的最大值是（ ）A1 B C2 D2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】由向量 满足| （ + ）|=| |，可得| （ + ）|=| | ，即 当且仅当| |=| |即 时，即可得出【解答】解：向量 满足| （ + ）|=| |，| （ + ） |=| | ， = =2 当且仅当| |=| |即 时， =2 故选：D8已知函数 f（x）=|lnx| 1，g（x）=x 2+2x+3，用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h（x）=minf（x） ，g（ x），则函数 h（x）的零点个数为
16、（ ）A1 B2 C3 D4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据 minm，n的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数 f（x）和 g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由 g（x）= x2+2x+3=0，得 x=1，或 x=3，由 f（x）= |lnx|1=0，得 x=e 或 x= ，g（e）0，当 x0 时，函数 h（x）的零点个数为 3 个，故选：C9 九章算术是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功 ”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为：“ 今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图） ”，下底面宽
17、 AD=3 丈，长 AB=4 丈，上棱 EF=2 丈，EF平面ABCDEF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈，问它的体积是（ ）A4 立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D8 立方丈【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】过 E 作 EG平面 ABCD，垂足为 G，过 F 作 FH平面 ABCD，垂足为 H，过 G作 PQAD，交 AB 于 Q，交 CD 于 P，过 H 信 MNBC，交 AB 于 N，交 CD 于 M，则它的体积 V=VEAQPD+VEPQFMN+VFNBCM，由此能求出结果【解答】解：过 E 作 EG平面 ABCD，垂足为 G，过 F 作 FH平面 ABCD，垂足为 H，过
18、 G 作 PQAD ，交 AB 于 Q，交 CD 于 P，过 H 信 MNBC，交 AB 于 N，交 CD 于M，则它的体积：V=VEAQPD+VEPQFMN+VFNBCM= +SEPQ NQ+= + +=5（立方丈） 故选：B10已知函数 f（x）= 满足条件，对于x 1R，存在唯一的 x2R，使得f（x 1）=f（x 2） 当 f（2a ）=f（3b）成立时，则实数 a+b=（ ）A B C +3 D +3【考点】分段函数的应用【分析】根据条件得到 f（x）在（ ，0）和（0，+）上单调，得到 a，b 的关系进行求解即可【解答】解：若对于x 1R，存在唯一的 x2R，使得 f（x 1）=f
19、（x 2） f（x）在（ ，0）和（0，+）上单调，则 b=3，且 a0，由 f（2a ）=f（3b）得 f（2a ）=f（9） ，即 2a2+3= +3=3+3，即 a= ，则 a+b= +3，故选：D11如图所示是三棱锥 DABC 的三视图，点 O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于（ ）A B C D【考点】由三视图还原实物图；异面直线及其所成的角【分析】由题意还原出实物图形的直观图，如图从 A 出发的三个线段 AB，AC，AD 两两垂直且 AB=AC=2，AD=1，O 是中点，在此图形中根据所给的数据求异面直线 DO 和 AB所成角的余弦值【解
20、答】解：由题意得如图的直观图，从 A 出发的三个线段 AB，AC，AD 两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O 是中点，取 AC 中点 E，连接 OE，则 OE=1，又可知 AE=1，由于 OEAB， ，故角 DOE 即所求两异面直线所成的角在直角三角形 DAE 中，求得 DE=由于 O 是中点，在直角三角形 ABC 中可以求得 AO=在直角三角形 DAO 中可以求得 DO=在三角形 DOE 中，由余弦定理得 cosDOE= =故选 A12已知函数 f（x）= （a 0，且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2 x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）A
21、 （0， B ， C ， D ， ） 【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出 a 的大致范围，再根据 f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围【解答】解：y=loga（x+1）+1 在0，+）递减，则 0a1，函数 f（x）在 R 上单调递减，则：；解得， ；由图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2 x 有且仅有一个解，故在（ ，0）上，|f（x）|=2x 同样有且仅有一个解，当 3a2 即 a 时，联立|x 2+（4a 3）x+3a|=2x，则=（4a 2） 24（3a2）=0 ，解得 a
22、= 或 1（舍去） ，当 13a2 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为 ， ，故选：C二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13若1x 1，则 y= +x 的最大值为 0 【考点】基本不等式【分析】利用分离常数法化简解析式，并凑出积为定值，由 x 的范围化为正数后，利用基本不等式求出函数的最大值【解答】解：由题意得，y= +x= = ，1 x 1， 2x10，则 0（x 1）2， =2，则 ，当且仅当 时，此时 x=0，取等号，函数的最大值是 0，故答案为：014数列a n的通项 ，其前 n 项和为 Sn，则 S30= 【考点】数列的求和【分析】由 an=n（
23、cos 2 ）=ncos 可得数列是以 3 为周期的数列，且，代入可求【解答】解：a n=n（cos 2 ）=ncos S30= =故答案为 1515等腰三角形 ABC 中，AB=4 ，AC=BC=3 ，点 E，F 分别位于两腰上，E，F 将ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为 S1，S 2，则 的最大值为 【考点】基本不等式【分析】根据条件画出图象，由图求出底边上的高和 sinA 的值，由正弦定理求出 sinC，设CE=x，CF=y，利用三角形的面积公式求出 S1 和 S2=S 三角形 ABCS1，由条件列出方程化简后，根据基本不等式求出 xy 的范围，代入 化简后求出 的最大值【
24、解答】解：设 E、F 分别在 AC 和 BC 上，如图所示：取 AB 的中点 D，连接 CD，AB=4，AC=BC=3，CD= = ，则 sinA= = ，由 得，sinC= = = ，设 CE=x，CF=y ，所以 S1= xysinC= ，则 S2=S 三角形 ABCS1=2 S1= ，由条件得 x+y=3x+4y+3，化简得 x+y=5，则 xy = ，当且仅当 x=y= 时取等号，所以 = = = = ，当且仅当 x=y= 时取等号，则 的最大值是 ，故答案为： 16德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数 f（x）有以下四个命题
25、：f（f（x） ）=1；函数 f（x）是偶函数；任意一个非零有理数 T，f（x+T）=f（x）对任意 xR 恒成立；存在三个点 A（x 1，f（x 1） ） ，B（x 2，f（x 2） ） ，C（x 3，f （x 3） ） ，使得ABC 为等边三角形其中真命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）【考点】分段函数的应用【分析】根据函数的对应法则，可得不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f（x） ）=1；根据函数奇偶性的定义，可得 f（x）是偶函数；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；取 x1= ，x 2=0，x 3= ，可得 A（ ，0） ，B（0，1） ，C （ ，0） ，三点恰好
26、构成等边三角形【解答】解：当 x 为有理数时，f（x）=1；当 x 为无理数时，f （x）=0，当 x 为有理数时，ff（x） ）=f（1）=1；当 x 为无理数时，f （f（x） ）=f（0）=1，即不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f （x） ）=1，故正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x） ，故 正确； 若 x 是有理数，则 x+T 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）=f（x）对 xR 恒成立，故正确； 取 x1= ，x 2=0，x 3= ，可得
27、 f（x 1）=0，f （x 2）=1，f（x 3）=0，A（ ，0） ，B（0，1） ，C（ ，0） ，恰好ABC 为等边三角形，故正确即真命题的个数是 4 个，故答案为：三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17设a n是公比大于 1 的等比数列，S n 为数列a n的前 n 项和，已知 S3=7，且a1，a 2，a 31 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn=log4a2n+1，n=1 ， 2，3，求和： 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质【分析】 （1）由已知得： ，设数列a n的公比为 q，把等比数列的通项公式代入，求出 q=2，a 1=1，
28、由此得到数列 an的通项公式（2）先求出 bn=log4 4n=n，要求的式子即 ，用裂项法求出它的值【解答】解：（1）由已知得： ，解得 a2=2设数列a n的公比为 q，由 a2=2，可得 a1= ，a 3=2q，又 S3=7，可知 +2+2q=7，即 2q25q+2=0，解得 q=2，或 q= 由题意得 q1，q=2，a 1=1，故数列 an的通项公式为 an=2n1（2）由（1）得 a2n+1=22n=4n，由于 bn=log4 a2n+1，b n=log4 4n=n=1 + + + =1 18如图，已知平面上直线 l1l 2，A 、B 分别是 l1、l 2 上的动点，C 是 l1，l
29、 2 之间一定点，C 到 l1 的距离 CM=1，C 到 l2 的距离 CN= ，ABC 内角 A、B、C 所对 边分别为a、b、c，ab ，且 bcosB=acosA（1）判断三角形ABC 的形状；（2）记ACM=，f（）= ，求 f（）的最大值【考点】已知三角函数模型的应用问题【分析】 （1）利用正弦定理，结合结合 bcosB=acosA，得 sin2B=sin2A，从而可三角形ABC 的形状；（2）记ACM=，表示出 f（ ）= ，利用辅助角公式化简，即可求 f（）的最大值【解答】解：（1）由正弦定理可得：结合 bcosB=acosA，得 sin2B=sin2Aab，ABA，B（0，）
30、，2B+2A=，A +B= ，即 C=ABC 是直角三角形；（2）记ACM=，由（1）得BCN=AC= ，BC=f（）= =cos+ = cos（ ） ，= 时，f （）的最大值为 19已知函数 f（x）=2 ；（1）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC 中，三内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f（x）的图象经过点 ，若 =4，求 a 的最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】 （1）利用三角恒等变换，可化简 f（x）=sin（2x+ ） ，利用正弦函数的性质可求得函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由已知 =
31、4，化简整理可得 bc=8，再由余弦定理 a2=b2+c22bccosA结合不等式即可求得 a 的最小值【解答】解：（1）因此，最小正周期为 T=，由 2k 2x+ 2k+ （k Z）得：k xk + （kZ） ，函数 f（x）的单调递增区间为 k ，k+ （kZ）（2）由题知： =c2+b2bccosAa2=2bccosAbccosA= bc=4，bc=8，由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA=b2+c2bc2bcbc=bc=8，a2 ，a 的最小值为 2 20如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADC=BCD=90，BC=2 ，PD=4，PDA=60 ，且
32、平面 PAD平面 ABCD（）求证：ADPB；（）在线段 PA 上是否存在一点 M，使二面角 MBCD 的大小为 ，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （I）过 B 作 BOCD，交 AD 于 O，连接 OP，则 ADOB，由勾股定理得出ADOP，故而 AD平面 OPB，于是 ADPB；（II）以 O 为原点建立坐标系，设 M（m ，0，n） ，求出平面 BCM 的平面 ABCD 的法向量，令|cos |=cos 解出 n，从而得出 的值【解答】证明：（I）过 B 作 BOCD，交 AD 于 O，连接 OPADBC
33、， ADC=BCD=90，CD OB，四边形 OBCD 是矩形，OBADOD=BC=2，PD=4，PDA=60 ，OP= =2 OP 2+OD2=PD2，OPOD 又 OP平面 OPB，OB平面 OPB，OPOB=O ，AD平面 OPB，PB 平面 OPB，ADPB （II）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，OA AD ，OP平面 ABCD以 O 为原点，以 OA，OB， OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 B（0， ，0） ，C（ 2， ，0） ，假设存在点 M（m，0，n）使得二面角 MBCD 的大小为 ，则 =（ m， ，n） ， =（2，0，0）
34、 设平面 BCM 的法向量为 =（x，y，z） ，则 ，令 y=1 得 =（0，1， ） OP平面 ABCD， =（0，0，1）为平面 ABCD 的一个法向量cos = = = 解得 n=1 = = 21已知圆 C：x 2+y2=2，点 P（2，0） ，M（0，2） ，设 Q 为圆 C 上一个动点（1）求QPM 面积的最大值，并求出最大值时对应点 Q 的坐标；（2）在（1）的结论下，过点 Q 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A，B 两点，若直线QA、QB 的倾斜角互补，问直线 AB 与直线 PM 是否垂直？请说明理由【考点】直线与圆的位置关系【分析】 （1）先求出|PM|=2 ，设点 Q
35、到 PM 的距离为 h，圆心 C 到 PM 的距离为d，QPM 面积的最大值即需要 h 取的最大值，此时点 Q 与圆心 C 的连线与 PM 垂直，由此能求出结果 （2）设直线 QA 的斜率为 k，则直线 QB 斜率为k，直线 QA 的方程：y+1=k（x+1）联立，得（1+k 2）x 2+2k（k1）x+k 22k1=0，从而求出 xA，x B，由此能求出直线AB 与直线 PM 垂直【解答】解：（1）因为点 P（2，0） ，M（0，2） ，所以|PM|=2 ，设点 Q 到 PM 的距离为 h，圆心 C 到 PM 的距离为 d，所以 = QPM 面积的最大值即需要 h 取的最大值，此时点 Q 与
36、圆心 C 的连线与 PM 垂直，故有最大值 h=d+r= ，最大面积 ，此时点 Q 坐标为点（1， 1） （2）直线 AB 与直线 PM 垂直，理由如下：因为过点 Q（1， 1）作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B 两点，直线 QA、QB 的倾斜角互补，所以直线 QA、QB 斜率都存在设直线 QA 的斜率为 k，则直线 QB 斜率为k，所以直线 QA 的方程：y+1=k（x+1）联立 ，得（1+k 2）x 2+2k（k1）x+k 22k1=0，又因为点 Q（1， 1）在圆 C 上，故有 ，所以 xA= ，同理 ，= = =1，又 kPM= ，所以有 kPMkAB=1，故直线 AB 与直线
37、 PM 垂直22已知函数 f（x）=lnx（）若函数 F（x）=tf （x）与函数 g（x）=x 21 在点 x=1 处有共同的切线 l，求 t 的值；（）证明： ；（）若不等式 mf（x）a+x 对所有的 都成立，求实数 a 的取值范围【考点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论（）构造函数 h（x）=f（x）x 和 G（x）= ，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可（）利用参数分离法，转化为以 m 为变量的函数关系进行求解即可【解答】解：（）g（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F（x）
38、=tf（x）= ，F（x）=tf（x）与函数 g（x）=x 21 在点 x=1 处有共同的切线 l，k=F（1）=g（1） ，即 t=2，（）令 h（x）=f（x）x，则 h（x）= 1= ，则 h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，h（x）的最大值为 h（1）=1，|h（x）|的最大值是 1，设 G（x）= = + ，G （x）= ，故 G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+）上是减函数，故 G（x） max= + 1， ；（）不等式 mf（x）a +x 对所有的 都成立，则 amlnxx 对所有的 都成立，令 H（x）=mlnx x， 是关于 m 的一次函数，x1，e 2， lnx0，2 ，当 m=0 时， H（m）取得最小值 x，即 ax，当 x1，e 2时，恒成立，故 ae 22016 年 12 月 15 日
