1、2016-2017 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1复数 z= +i3（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）A12i B1+2i Ci 1 D1i2已知集合 A=0，1，B=z|z=x+y，x A，y A，则 B 的子集个数为（ ）A3 B4 C7 D83已知平面直角坐标系内的两个向量 =（1，2） ， =（m，3m 2） ，且平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 = + （， 为实数） ，则 m 的取值范围是（ ）A （，2） B （2，+） C （ ，+） D （，2）（2，+）4将函数 f（x）= sinxcos
2、x 的图象向左平移 m 个单位（m 0） ，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A B C D5已知等比数列a n中，a 3=2，a 4a6=16，则 的值为（ ）A2 B4 C8 D166已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A27 B18 C27 3D1837如图，偶函数 f（x）的图象如字母 M，奇函数 g（x）的图象如字母 N，若方程 f（g（x） ）=0，g（f （x） ）=0 的实根个数分别为 m、n，则 m+n=（ ）A12 B18 C16 D148函数 f（x）=a x12（a 0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny1=0 上
3、，其中m0，n0，则 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D9三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，ACBC ，AC=BC=1，PA= ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A5 B C20 D410某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是（ ）A3024 B1007 C2015 D201611已知函数 f（x）=x 33x2+x 的极大值为 m，极小值为 n，则 m+n=（ ）A0 B2 C 4 D212某实验室至少需要某种化学药品 10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋 3kg，价格为 12 元；另一种是每袋 2kg，价格为 10 元但由于保质期的限制，每一种包装购
4、买的数量都不能超过 5袋，则在满足需要的条件下，花费最少（ ）A56 B42 C44 D54二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13与直线 x+ y1=0 垂直的直线的倾斜角为 14若函数 f（x）=x+ +1 为奇函数，则 a= 15已知 p：|x1|2，q：x 22x+1a20， （a0） ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 16如图，在三棱锥 ABCD 中，BC=DC=AB=AD= ，BD=2，平面 ABD平面 BCD，O 为 BD 中点，点 P，Q 分别为线段 AO，BC 上的动点（不含端点） ，且 AP=CQ，则三棱锥 PQCO 体
5、积的最大值为 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）如图，在ABC 中，B=30，AC=2 ，D 是边 AB 上一点（1）求ABC 的面积的最大值；（2）若 CD=2，ACD 的面积为 4，ACD 为锐角，求 BC 的长18 （12 分）已知数列a n中，a 1=1，a nan+1=（ ） n，记 T2n 为a n的前 2n 项的和，bn=a2n+a2n1，nN *（）判断数列b n是否为等比数列，并求出 bn；（）求 T2n19 （12 分）如图所示，在多面体 EFABC 中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，O 为 B
6、C 的中点，EFAO，EA=EC=EF= （1）若平面 ABC平面 BEF=l，证明：EFl；（2）求证：ACBE；（3）若 BE= ，EO= ，求点 B 到平面 AFO 的距离20 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形，AB=2 ，BC=2 ，点 P 在底面上的射影在 AC上，E，F 分别是 AB，BC 的中点（）证明：DE平面 PAC；（）在 PC 边上是否存在点 M，使得 FM平面 PDE？若存在，求出 的值；不存在，请说明理由21 （12 分）设函数 f（x）= ax（1）若函数 f（x）在（1，+ ）上为减函数，求实数 a 的最小值；（2）若存在 x1，x
7、2e，e 2，使 f（x 1）f （x 2）+a 成立，求实数 a 的取值范围请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑.选修 44：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 P（1， 2） ，直线 l： （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2=2cos，直线 l 和曲线 C 的交点为A，B（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；（2）求|PA|+|PB|选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=|x|，g（x
8、）= |x4|+m（）解关于 x 的不等式 gf（x）+2m 0；（）若函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）图象的上方，求实数 m 的取值范围2016-2017 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （2016 秋衡水期中）复数 z= +i3（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）A12i B1+2i Ci 1 D1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：原式= i=（i 1）i=1 2i，复数 z= +i3（i 为虚
9、数单位）的共轭复数为 1+2i故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （2016惠州模拟）已知集合 A=0，1，B=z |z=x+y，xA，yA，则 B 的子集个数为（ ）A3 B4 C7 D8【考点】集合的表示法【专题】集合思想；综合法；集合【分析】先求出集合 B 中的元素，从而求出其子集的个数【解答】解：由题意可知，集合 B=z|z=x+y，xA，yA =0，1，2，则 B 的子集个数为：2 3=8 个，故选：D【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有 n 个元素，其子集有 2n 个3 （2015嘉定区二模）已知平面直角坐标系
10、内的两个向量 =（1，2） ， =（m，3m 2） ，且平面内的任一向量 都可以唯一的表示成 = + （， 为实数） ，则 m 的取值范围是（ ）A （，2） B （2，+） C （ ，+） D （，2）（2，+）【考点】平面向量坐标表示的应用【专题】常规题型【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量 、 不共线，则平面内的任一向量 都可以用向量 、来线性表示，即存在唯一的实数对 、，使 = + 成立根据此理论，结合已知条件，只需向量 、不共线即可，因此不难求出实数 m 的取值范围【解答】解：根据题意，向量 、 是不共线的向量 =（1，2） ， =（m，3m 2）由向量 、 不共线解之得 m2
11、所以实数 m 的取值范围是m|mR 且 m2故选 D【点评】本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要条件等知识点，属于基础题4 （2014齐齐哈尔一模）将函数 f（x）= sinxcosx 的图象向左平移 m 个单位（m 0） ，若所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的最小值是（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的奇偶性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于 y 轴对称得到2sin（x+m ）=2sin （ x+m ） ，再由两角和与差的正弦公式展开后由三角
12、函数的性质可求得 m 的值，从而得到最小值【解答】解：y= sinxcosx=2sin（x ）然后向左平移 m（m 0）个单位后得到y=2sin（x+m ）的图象为偶函数，关于 y 轴对称2sin（x+m ）=2sin （ x+m ）sinxcos（m ）+cosxsin （m ）=sinxcos（m ）+cosxsin（m ）sinxcos（m ）=0cos（m ）=0m =2k+ ，m= m 的最小值为 故选 A【点评】本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移5 （2016湖南校级模拟）已知等比数列a n中，a 3=2，a 4a6=16
13、，则 的值为（ ）A2 B4 C8 D16【考点】等比数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意和等比数列的通项得 a1q2=2，a 1q3a1q5=16，求出 q2，即可得出结论 【解答】解：设等比数列a n的公比是 q，由 a3=2，a 4a6=16 得，a 1q2=2，a 1q3a1q5=16，则 a1=1，q 2=2， = =4，故选：B【点评】本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题6 （2016武汉校级模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A27 B18 C27 3D183【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由三
14、视图知几何体为直四棱柱且中间挖去半个圆柱，根据三视图的数据求四棱柱和圆柱的高、以及底面上的几何元素对应的数据，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为 3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为 2、4，高为 2，圆柱的高为 3，圆柱底面的半径都是 1，几何体的体积 V= = ，故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力7 （2016 秋衡水期中）如图，偶函数 f（x）的图象如字母 M，奇函数 g（x）的图象如字母 N，若方程f（g
15、（x） ）=0 ，g（f（x） ）=0 的实根个数分别为 m、n，则 m+n=（ ）A12 B18 C16 D14【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】若方程 f（g（x） ）=0，则 g（x）= ，或 g（x）=0，或 g（x）= ，进而可得 m 值；不妨仅g（x）的三个零点分别为a ，0，a（0a1） ，若 g（f（ x） ）=0，则 f（x）= a，或 f（x）=0 ，或 f（x）=a，进而得到 n 值【解答】解：若方程 f（g（x ） ）=0 ，则 g（x）= ，或 g（x）=0，或 g（x）= ，此时方程有 9 个解；不妨仅 g（x）的三个零点分别
16、为a ，0，a（0a1）若 g（f（x） ）=0，则 f（x）=a，或 f（x）=0，或 f（x）=a，此时方程有 9 个解；即 m=n=9，m+n=18，故选：B【点评】本题考查的知识点是数形结合思想，方程的根与函数零点之间的关系，难度中档8 （2016潍坊校级二模）函数 f（x）=a x12（a0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny1=0上，其中 m0，n0，则 的最小值为（ ）A4 B5 C6 D【考点】基本不等式；指数函数的图象变换【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式【分析】由指数函数可得 A 坐标，可得 m+n=1，整体代入可得 =（ ） （m+n）=
17、3 + + ，由基本不等式可得【解答】解：当 x1=0 即 x=1 时，a x12 恒等于1，故函数 f（x）=a x12（a 0，a1）的图象恒过定点 A（1，1） ，由点 A 在直线 mxny1=0 上可得 m+n=1，由 m0，n0 可得 =（ ） （m +n）=3+ + 3+2 =3+2当且仅当 = 即 m= 1 且 n=2 时取等号，故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题9 （2015佳木斯一模）三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，AC=BC=1，PA= ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A5 B C20 D4【考点】球的体积和表面积【专
18、题】空间位置关系与距离；球【分析】根据题意，证出 BC平面 PAC，PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径利用勾股定理结合题中数据算出 PB= ，得外接球半径 R= ，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA平面 ABC，AC BC ，BC平面 PAC，PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径；RtPBA 中，AB= ，PA=PB= ，可得外接球半径 R= PB=外接球的表面积 S=4R2=5故选 A【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题10 （2016 秋 衡水期中）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的
19、值是（ ）A3024 B1007 C2015 D2016【考点】程序框图【专题】计算题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式 S 是求数列的和，且数列的每 4 项的和是定值，由此求出 S 的值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（ 2+1）+（0+1）+（4+1）+（0+1）+（2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+6=6 =3024；所以该程序运行后输出的 S 值是 3024故选：A【点评】本题考查了程序框图
20、的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目11 （2016唐山一模）已知函数 f（x）=x 33x2+x 的极大值为 m，极小值为 n，则 m+n=（ ）A0 B2 C 4 D2【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案【解答】解：由题意可得：f（x）=3x 26x+1，令 f（x）=0，即 3x26x+1=0，解得：x 1= ，x 2= ，f（x）在（ ， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，
21、+）递增，x 1= 是极大值点，x 2= 是极小值点，m+n=f（x 1）+f（x 2）= （ 2+ ） （ 2 ）= 2，故选：D【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于 0 时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用12 （2016 秋 衡水期中）某实验室至少需要某种化学药品 10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋 3kg，价格为 12 元；另一种是每袋 2kg，价格为 10 元但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过 5 袋，则在满足需要的条件下，花费最少（ ）A56 B
22、42 C44 D54【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式【分析】设价格为 12 元的 x 袋，价格为 10 元 y 袋，花费为 Z 百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即 x，y 满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使花费最少，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数 Z 与直线截距的关系，进而求出最优解【解答】解：设价格为 12 元的 x 袋，价格为 10 元 y 袋，花费为 Z 百万元，则约束条件为： ，目标函数为 z=12x+10y，
23、作出可行域，使目标函数为 z=12x+10y 取最小值的点（x，y）是 A（2 ，2） ，此时 z=44，答：应价格为 12 元的 2 袋，价格为 10 元 2 袋，花费最少为 44 元故选：C【点评】本题考查线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13 （2016 秋 衡水期中）与直线 x+ y1=0 垂直的直线的倾斜角为 【考点】直线的倾斜角【专题】直线与圆【分析】利用垂直
24、关系求出斜率，利用斜率求出倾斜角【解答】解：直线 x+ y1=0 的斜率为 k1= ，与直线 x+ y1=0 垂直的直线的斜率为 k2= = ，又k 2=tan= ，且 0，） ，它的倾斜角为 = ；故答案为： 【点评】本题考查了直线的垂直以及由斜率求倾斜角的问题，是基础题14 （2016河南一模）若函数 f（x）=x+ +1 为奇函数，则 a= 1 【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质得到 f（x）=f（x） ，从而得到关于 a 的方程，解出即可【解答】解：若函数 为奇函数，则 f（ x）=x +2a+1+1=f（x）= x （2a+
25、1） 1，2（2a+1）+2=0，则 a=1，故答案为：1【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题15 （2016衡水校级一模）已知 p：|x 1|2，q：x 22x+1a20， （a0） ，若p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 0，2 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】利用已知条件求出 p，q，然后通过p 是 q 的充分不必要条件，列出不等式组，求出 a 的范围即可【解答】解：p：|x1|2，得 1x3，p：x3 或 x1，记 A=x|x3 或 x1，q：x 22x+1a20，x （1a）x（1+
26、a ）0，a0，1a1+a解得 x1+a 或 x1a记 B=x|x1+a 或 x1ap 是 q 的充分不必要条件，AB，即 ，解得 ，解得 0a2故答案为：（0，2【点评】本题考查命题的真假判断，充要条件的判定，考查基本知识的应用求出命题的等价条件是解决本题的关键16 （2014东城区一模）如图，在三棱锥 ABCD 中，BC=DC=AB=AD= ，BD=2，平面 ABD平面BCD，O 为 BD 中点，点 P，Q 分别为线段 AO，BC 上的动点（不含端点） ，且 AP=CQ，则三棱锥 PQCO体积的最大值为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】利用等腰三角形的性质可
27、得 AOBD，再利用面面垂直的性质可得 AO平面 BCD，利用三角形的面积计算公式可得 SOCQ = ，利用 V 三棱锥 POCQ= ，及其基本不等式的性质即可得出【解答】解：设 AP=x，O 为 BD 中点，AD=AB= ，AOBD，平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD，AO平面 BCDPO 是三棱锥 PQCO 的高AO= =1OP=1 x， （0x1） 在BCO 中，BC= ，OB=1，OC= =1，OCB=45S OCQ = = = V 三棱锥 POCQ= = = 当且仅当 x= 时取等号三棱锥 PQCO 体积的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查了等腰三角形的性质
28、、面面垂直的性质、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （12 分） （2016 邯郸校级模拟）如图，在ABC 中，B=30，AC=2 ，D 是边 AB 上一点（1）求ABC 的面积的最大值；（2）若 CD=2，ACD 的面积为 4，ACD 为锐角，求 BC 的长【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】 （1）由余弦定理得 ABBC =20（2+ ） ，由此能求出ABC 的面积的最大值（2）设ACD=，由
29、三角形面积得到 sin= ，cos ，由余弦定理，得 AD=4，由正弦定理，得，由此能求出 BC 的长【解答】解：（1）在ABC 中，B=30，AC=2 ，D 是边 AB 上一点，由余弦定理得：AC2=20=AB2+BC22ABBCcosABC=（2 ）AB BC，ABBC =20（2+ ） ， ，ABC 的面积的最大值为 （2）设ACD=，在ACD 中，CD=2，ACD 的面积为 4，ACD 为锐角， = =4，sin= ， cos ，由余弦定理，得 AD2=AC2+CD22ACCDcos=20+48 =16，AD=4 ，由正弦定理，得 ， ， ，此时 ，BC= BC 的长为 4【点评】本题
30、考查三角形面积的最大值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用18 （12 分） （2014 青岛二模）已知数列a n中，a 1=1，a nan+1=（ ） n，记 T2n 为a n的前 2n 项的和，bn=a2n+a2n1，nN *（）判断数列b n是否为等比数列，并求出 bn；（）求 T2n【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】 （1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和由等比数列的前 n 项和公式求和即可【解答】解：（） ， ， ，即 （2 分）b n=a2n+a2n1，所以b n是公比为
31、的等比数列a 1=1， ， （6 分）（）由（）可知 ，所以 a1，a 3，a 5，是以 a1=1 为首项，以 为公比的等比数列；a2，a 4，a 6， 是以 为首项，以 为公比的等比数列 （10 分）T 2n=（a 1+a3+a2n1）+（a 2+a4+a2n）= （12 分）【点评】本题考查利用定义证明数列是等比数列及等比数列前 n 项和公式，考查数列分组求和的方法以及运算能力，属中档题19 （12 分） （2016 秋 衡水期中）如图所示，在多面体 EFABC 中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，O为 BC 的中点，EFAO，EA=EC=EF= （1）若平面 ABC平面 BEF=l，
32、证明：EFl；（2）求证：ACBE；（3）若 BE= ，EO= ，求点 B 到平面 AFO 的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】 （1）利用直线和平面平行的判定证得 EF平面 ABC，再利用直线和平面平行的性质定理，证得EFl（2）利用直线和平面垂直的判定定理证得 AC平面 BEH，再利用直线和平面垂直的性质定理，证得ACBE（3）先求得 FBCA 的体积，再根据等体积法求得点 B 到平面 AFO 的距离【解答】解：（1）EFAO，EF 平面 ABC，AO平面 ABC，EF 平面 ABC，又因为平面 ABC平面 BEF=
33、l，所以 EFl（2）取 AC 的中点 H，连接 EH，BH，EA=EC，EHAC，因为ABC 为等边三角形，所以 BA=BC，BHAC，因为 BHEH=H，所以 AC 平面 BEH，BE平面 BEH，ACBE（3）在EAC 中， ，所以 ，因为ABC 为等边三角形，所以 ，因为 ，所以 EH2+HB2=BE2，所以 EHHB，因为 ACHB=H，所以 EH平面 ABC，又因为 ，所以 ，EFAO， ， ，四边形 AOFE 为平行四边形， ， ，设点 B 到平面 AFO 的距离为 d，由 ，得 ，解得 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定和性质，直线和平面垂直的判定和性质，用等体积法求点到
34、平面的距离，属于中档题20 （12 分） （2016 秋 衡水期中）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形，AB=2 ，BC=2 ，点 P在底面上的射影在 AC 上，E，F 分别是 AB，BC 的中点（）证明：DE平面 PAC；（）在 PC 边上是否存在点 M，使得 FM平面 PDE？若存在，求出 的值；不存在，请说明理由【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】 （）由题意和向量法可证 ACDE，再由题意和线面垂直的性质可得 DE平面 PAC；（）当点 M 在 PC 边上且满足 =3 时，FM平面 PDE，作 MNP
35、D 交 CD 与 N，连接 NF，可证平面MNF 平面 PDE，由面面平行的性质可得【解答】 （）证明：由题意可得| |=2 ，| |=2，且 ， = + ， = = ， =（ + ） （ ）= = = 804=0， ，即 ACDE，又点 P 在底面上的射影在 AC 上，平面 PAC 平面 ABCD，又 AC 为平面 PAC 与平面 ABCD 的交线，DE平面 ABCD，DE平面 PAC；（）当点 M 在 PC 边上且满足 =3 时，FM平面 PDE，下面证明：作 MNPD 交 CD 与 N，连接 NF，在底面矩形中可证 NFDE，由 MNPD 可得 MN平面 PDE，由 NFDE 可得 NF
36、平面 PDE，再由 MN 和 NF 相交可得平面 MNF平面 PDE，又 MF平面 MNF，FM平面 PDE【点评】本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作辅助线是解决问题的关键，属中档题21 （12 分） （2015 潮南区模拟）设函数 f（x）= ax（1）若函数 f（x）在（1，+ ）上为减函数，求实数 a 的最小值；（2）若存在 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1）f （x 2）+a 成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】 （1）由已知得 f（x）的定义域为（ 0，1） （1，+） ，f （x）
37、=a+ 在（1，+）上恒成立，由此利用导数性质能求出 a 的最大值；（2）命题“若存在 x1，x 2e，e 2，使 f（x 1）f（x 2） +a 成立”，等价于“当 xe，e 2时，有 f（x）minf （ x） max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数 a 的取值范围【解答】解：（）由已知得 f（x）的定义域为（0，1） （1，+） ，f（x）在（1，+）上为减函数，f（x）=a+ 0 在（1，+）上恒成立，a =（ ） 2 ，令 g（x）=（ ） 2 ，故当 = ，即 x=e2 时，g（x）的最小值为 ， a ，即 aa 的最小值为 （）命题“若存在 x1，x 2e，e
38、 2，使 f（x 1）f（x 2） +a 成立”，等价于“当 xe，e 2时，有 f（x） minf （x） max+a”，由（）知，当 xe，e 2时，lnx 1，2， ，1，f（x）=a+ =（ ） 2+ a，f（x） max+a= ，问题等价于：“当 xe，e 2时，有 f（x） min ”，当 a ，即 a 时，由（） ，f （x）在e，e 2上为减函数，则 f（x） min=f（e 2）= ae2+ ，a ，a 当 a0，即 0a 时，x e，e 2，lnx ，1，f（x）=a+ ，由复合函数的单调性知 f（x）在e ，e 2上为增函数，存在唯一 x0（e ，e 2） ，使 f（x
39、0）=0 且满足：f（x） min=f（x 0）= ax0+ ，要使 f（x） min ，a = ，与 a0 矛盾， a0 不合题意综上，实数 a 的取值范围为 ，+） 【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑.选修 44：坐标系与参数方程22 （10 分） （2016 衡水校级模拟）在直角坐标系 xOy 中，已知点 P（1，2） ，直线 l： （t 为参数） ，以坐标原点为极点，
40、x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2=2cos，直线 l 和曲线 C 的交点为 A，B（1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程；（2）求|PA|+|PB|【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】方程思想；分析法；坐标系和参数方程【分析】 （1）由代入消元法，可得直线的普通方程；运用 x=cos，y=sin，可得曲线 C 的普通方程；（2）求得直线 l 的标准参数方程，代入曲线 C 的普通方程，可得二次方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和【解答】解：（1）直线 l： （t 为参数） ，消去 t，可得直线 l 的普通方程为 xy3=0
41、；曲线 C 的极坐标方程为 sin2=2cos，即为 2sin2=2cos，由 x=cos，y=sin，可得曲线 C 的普通方程为 y2=2x；（2）直线 l 的标准参数方程为 （m 为参数） ，代入曲线 C：y 2=2x，可得 m26 m+4=0，即有 m1+m2=6 ，m 1m2=4，则|PA|+|PB|=|m 1|+|m2|=m1+m2=6 【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意运用联立方程和韦达定理，以及参数的几何意义，考查运算能力，属于基础题选修 4-5：不等式选讲23 （2016南昌校级二模）已知函数 f（x）=|x
42、|，g（x）=|x4|+m（）解关于 x 的不等式 gf（x）+2m 0；（）若函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）图象的上方，求实数 m 的取值范围【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法【专题】函数的性质及应用【分析】 （）把函数 f（x） =|x|代入 gf（x）+2m0 可得不等式|x|4|2，解此不等式可得解集；（）函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）图象的上方，则 f（x）g（x）恒成立，即 m|x4|+|x|恒成立，只要求|x4|+|x|的最小值即可【解答】解：（）把函数 f（x）= |x|代入 gf（x）+2 m0 并化简得|x|4|2，2 | x|42 ，2|x|6，故不等式的解集为（6， 2） （2，6） ；（）函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）图象的上方，f（x）g（x）恒成立，即 m|x4|+|x|恒成立，|x4|+| x| （x 4）x|=4，m 的取值范围为 m4【点评】本题只要考查函数的性质，同时考查不等式的解法，函数与不等式结合时，要注意转化数学思想的运用
