1、2017 届重庆市第一中学高三（上）期中数学（理）试题一、选择题1函数 的最小正周期等于（ ）()sincofxxA B 42C D【答案】C【解析】试题分析：函数 ，最小正周期1sincosin2fxx，故选 C.2T【考点】三角函数的周期.2已知向量 ， ，且 ，则 （ ）(1,2)ar(,)bxrabr|rA5 B C D431【答案】A【解析】试题分析：由 可得 ，所以 ，则0abrrg40abxr4x， ，所以 ，故选 A.4,2br5,5【考点】1、向量数量积的坐标运算；2、向量的模.3已知 ， 均为非负实数，且满足 则 的最大值为（ ）xy1,42xyzxyA1 B C D225
2、3【答案】D【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如下图所示，令目标函数 得到下图0z中的虚线，根据图形易知，平移虚线，目标函数在点 处，目标函数取得最大值，0,1A，故选 D.max2z【考点】简单的线性规划.4 张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 5尺，一个月（按 30 天计算）总共织布 390 尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（ ）A 尺 B 尺 C 尺 D 尺829163291【答案】B【解析】试
3、题分析：分析题意可知，问题转化为已知等差数列 ， ，求15a309S公差 ，根据等差数列前 项和公式得 ，解得 ，故选dn3029395d62B.【考点】等差数列.5设函数 ，将 图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半()2si()6fx()fx之后成为函数 ，则 图象的一条对称轴方程为（ ）ygA B 24x512xC D【答案】D【解析】试题分析：根据题意 ，令 ，2sin(4)6gx2xkZ则 ，当 时， ，所以函数 图象的一条对称轴方12kxZ0k1g程为 ，故选 D.【考点】三角函数图象及性质.6已知函数 为偶函数，若曲线 的一条切线的斜率为 ，则()xfea()yfx32切点的横坐标
4、等于（ ）A B C Dln2ln22【答案】A【解析】试题分析：由函数 可知 ，所以 ，则xfea1xfe，由 得 ， ，xfe32xe20x20x解得 或 （舍） ，所以 ，故选 A.21lnx【考点】1、函数的奇偶性；2、导数的几何意义.7若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 的取值范围为,x210（ ）A B (,22,3C D3=【答案】A【解析】试题分析：设命题 ，使得 ，由于命题 为假1:,2px210xp命题，所以 为真命题，即 ， 为真命题，即p,2在区间 上恒成立，所以只需满足 在区间21xx1,2 min12x上恒成立即可， ，当且仅当 ，即 时,2 2xx等号成立，所以
5、 ，故选 A.2【考点】1、命题的真假判断；2、不等式恒成立.【思路点睛】本题以含有量词的命题为条件，实际考查不等式恒成立问题.如果存在性命题为假命题，那么它的否定全称命题一定为真，可以利用这一结论解题，寻求等价转化，从而转化为易于求解的问题.另外，对于不等式恒成立问题，要重视分离参数法的应用.本题主要考查问题的转化.8若函数 在 上有两个不同的零点，则 的取值范围为2()1fxx1,（ ）A B 1,2)(,2)C D(1【答案】C【解析】试题分析：函数 在 上有两个不同的零点，转化2fxx1,为函数 与函数 在区间 上有两个不同的交点，如下图所示，21yxy,根据图象可知，当 与曲线有两个
6、公共点时， ，当 与曲线相yx切时， ，所以 ，故选 C.21【考点】1、函数的零点；2、数形结合思想.9设椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，且满足216xy1F2P，则 的值为（ ）12PFur12|PFA8 B10 C12 D15【答案】D【解析】试题分析：由椭圆方程 可得 ，所以 ，而216xy24c124Fc，所以 ，两边同时平方得121FPurur121FPrur，所以2g，又根据椭圆定义2211126834rrr，所以 ，所以 ，故选 D.28PFa1234PF125PF【考点】1、平面向量运算；2、椭圆定义.10已知函数 满足条件 ，其中 ，则()12xxf(log)a
7、f1a（ ）(logafA1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析：由函数 得：214xxf，所以214xxxxf，由于2431xxxxff ，所以 ，所以由log21log10aaloglog21aa得 ，故选 B.f l2af【考点】函数的奇偶性.11已知 ，则函数 的值域为（ ）(0,)2x()sintacostfxxxA B 1,),C D(1)【答案】B【解析】试题分析： 33sinco1sincosincosincocoi ixxxxfx ，设 ，则 ，则it 2i()(,24t ，所以函数转化为 ，21sincotx 3221tty， 在 上恒成323242 2131ttt
8、tty 0y1,2t立，所以函数在 上单调递减，当 时， ，而当 时，,ttmint，所以函数的值域为 ，故选 B.y2,【考点】1、同角三角函数基本关系式；2、换元法；3、函数与导数.【思路点晴】本题以三角函数为题设条件，重点考查函数值域问题的求法.可以通过同角三角函数基本关系式化简后采用换元法，令 ，然后转化为关于 的sincotxt函数，从而利用导数求函数的值域，另外也可以应用柯西不等式进行转化，转化为基本不等式求函数的值域.本题考查学生的化归转化能力.12设 ， 在圆 上运动，且 ，点 在直线AB21xy|3ABP上运动，则 的最小值为（ ）3410xy|PurA3 B4 C D759
9、【答案】D【解析】试题分析：设 中点为 ，则 ，所以ABC2PABCurr，而 ，所以22PPOururr1，故选 D.495AB【考点】1、平面向量的运算；2、直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题考查平面向量加法的平行四边形法则，考查直线与圆的位置关系.由于直线被圆截得的弦长为 ，所以可以算出圆心 到直线的距离，然后巧妙的利用3O三角形两边只差小于第三边，当且仅当三点共线是等于第三边，从而求出最小值.考查数形结合思想及化归转化思想的应用.二、填空题13点 关于直线 的对称点为 ，则点 的坐标为 (1,3)P20xyQ【答案】 ,【解析】试题分析：设点 ，则 中点坐标为 ，所以,Qab,P13
10、(,)2ab，解得 ，所以点 .1320ab1,Q【考点】点关于直线的对称.14已知 ，且 ，则 (,)25sintan(2)4【答案】 17【解析】试题分析：由 且 可得 ，所以(,)25sin25cos，则 ，所以1tan2ta4tan13.tt()47a4【考点】1、同角三角函数基本关系式；2、三角恒等变换.15设正实数 ，则 的取值范围为 1xy2+xy【答案】 9,8【解析】试题分析：由 得 ，所以 ，当且仅当xy2xy102xy时，等号成立，又由 得， ，所以xy11，当 时取得最大值为 ，2 2912()48xyxy4xy98当 时，取得最小值为 ，所以取值范围是 .xy ,【考
11、点】1、基本不等式；2、二次函数.【方法点晴】本题通过均值不等式求出 的取值范围，然后再问题 转xy2+xy化为关于以 为变量的二次函数，从而根据二次函数图象及性质来求取值范围.一xy方面考查对基本不等式的灵活运用，令一方面考查学生利用函数思想求值域，考查转化能力及函数方程思想的应用.16在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足条件ABCCabc， ，则 的周长为 221bcab1cos8ABC【答案】 5【解析】试题分析：由题 ，解得 ，所以22222118bcabc 25abc的周长为 .ABC5【考点】余弦定理.【方法点晴】本题求三角形的周长，所以应尽量将条件都转化为边，而已知
12、条件中有一组关于边的等式，因此只要再找到一组与边相关的条件即可，所以利用余弦定理将角化为边，另外在计算的时候，可以不必求出 的具体值，因为是求周长，可以求,bc出 的值，这样计算上会比较容易.bc三、解答题17已知等比数列 单调递增，记数列 的前 项之和为 ，且满足条件nananS， 26a3S（1）求数列 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 项之和 2bnbnT【答案】 （1） ；（2） .13na 231【解析】试题分析：（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，naq626q，解得 或 ，由于数列 单调递增且 ，所以230q13qn20a，则通项公式为 ；（2）由第（1）问知 ，2nnna
13、 13nb则 ，整121 (1)()(3)32nnT LL理可得 .2n试题解析：（1）设等比数列公比为 ，则由已知 解得q1216,aq或12,3aq18,.因为 单调递增，只有 从而 n12,3aq1123nnaq（2） 21()nn nniT【考点】1、等比数列；2、分组求和.18根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如图（1）已知 、 ， 三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求30,4),50),6)， 的值；ab（2）该电子商务平台将年龄在 之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段3,)定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决
14、定发放代金券，高消费人群每人发放 50 元的代金券，潜在消费人群每人发放 80 元的代金券已经采用分层抽样的方式从参与调查的 1000 位上网购物者中抽取了 10 人，现在要在这 10 人中随机抽取 3 人进行回访，求此三人获得代金券总和 的分布列与数学期望X【答案】 （1） ， ；（2）分布列见解析，数学期望 .0.35a.0b 186EX【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可有，所以 ，又根据等差中项有0.510.6ab，所以解得 ， ；（2）根据频率分布直方图可知高2.b .5消费人群与潜在消费人群的频率之比为 ，所以根据分层抽样的性06:43:质可知，应从高消费人群中抽取 人，潜
15、在消费人群中抽取 人，现从这 人抽取10人进行回访，分析可知三人获得代金券总和 的所有可能取值为 ，3 X5， ， ，对应的概率分别为 ，18024036105CP， ，2164308CPX126430CPX34102CPX，于是可以求出分布列和数学期望.试题解析：（1）由于五个组的频率之和等于 1，故：，且 ，051.50.ab.5ab联立解出 ， .032（2）由已知高消费人群所占比例为 ，潜在消费人群的比例为 0.4，由().6ab分层抽样的性质知抽出的 10 人中，高消费人群有 6 人，潜在消费人群有 4 人，随机抽取的三人中代金券总和 可能的取值为：240,210,180,150.X
16、， ， ，3410(2)CPX214630()CP124630()CPX，3610()列表如下： X240 210 180 150P303101216数学期望 1248586E【考点】1、频率分布直方图；2、离散型随机变量分布列和数学期望.19已知四棱柱 的底面是边长为 2 的菱形，且 ，1ABCD 3BAD平面 ， ，设 为 的中点1EC（1）求证： 平面 ；1DE1BC（2）点 在线段 上，且 平面 ，求平面 和平面 所成锐角FA/F1EADF1BEC的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） .427【解析】试题分析：（1）由侧棱 可知，该棱柱为直四棱柱，所以1ABCD平 面且交线为 ，
17、又底面 为菱形且 ，1DCBD平 面 平 面 A3BAD所以 为等比三角形，由于 为 中点，所以 ，所以BCDECDBECD，所以 ，又根据侧面 为矩形，且1E平 面 1B1， ，所以 为等腰直角三角形，即 ，又12111E因为 ，所以 ；（2）取 中点 ，连接 ，由1BIE平 面 ABG为等比三角形易知 ，则 ，以 所在直线分别ADDGABDC1,D为 轴建立如图的空间直角坐标系，根据第（1）问可知， 为平面 的法,xyz Eur1BC向量，由于 平面 ，所以 ，于是可以求出点 的坐标，然后/F1C10FEurgF求出平面 的法向量 ，将平面 与平面 所成角的余弦转化成两个法向ADarAD1
18、BC量成角余弦值，即可求解.试题解析：（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且 为等边三角形，D ，BEC所以 平面 ，故 1BE1因为 的三边长分别为 ， ，故 为等腰直角1D2CD1C1E三角形，所以 ，结合 知： 平面 1E111BE（2）解：取 中点 ，则由 为等边三角形知 ，从而ABGABGA C以 ， ， 为坐标轴，建立如图所示的坐标系，此时 ，D1 (0,)D， ， ， ， 设 ，(1,30)(,)(,0)E1(,3)1,B,31)F由上面的讨论知平面 的法向量为 ，1BC1(,0)Dur由于 平面 ，故 平面 ，所以 ，故 ，AFE/AFBE1AFDEur10ur故 ，所以 ，
19、故 ，(1,0)(,)(,3)设平面 的法向量为 ， ， ，D,)axyzr(,0)r ,r由 知 取 ， ， ，,0AaFur30,31y3z故 (3,1)r设平面 和平面 所成锐角为 ，则 ，AD1BEC1234cos7|aDEru即平面 和平面 所成锐角的余弦值为 ADF1BEC427【考点】1、空间中的垂直关系；2、空间向量求二面角.20已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 和抛物线C21(0)xyab2C交于 ， 两点，且直线 恰好通过椭圆 的右焦点.2yxMNN（1）求椭圆 的标准方程；（2）经过椭圆 右焦点的直线 和椭圆 交于 ， 两点，点 在椭圆上，且lCABP，其中 为坐标原点，
20、求直线 的斜率OABPur l【答案】 （1） ；（2） .2184xy6【解析】试题分析：（1）根据椭圆及抛物线的对称性可知， 轴，设MNx， ， ，依题意 为椭圆的通径，所以,Mc,NcMc，再由 ， ，解得 ， ， ，所以椭2ba2a2ba2ab2c圆标准方程为 ；（2）设点 ， ， ，由已知2184xy1,Axy2,By0,Pxy，则有 ，解出 ，OABPur1022(,)(,)012，代入椭圆方程 ，又 两点在椭圆上，012y 211()8xy,AB所以 ， ，代入前面的式子得到 ，然后设8x28xy122xy直线方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立，消去未知数 ，得到关于 的m y一
21、元二次方程，表示出 ， 代入 中即得到关于 的方程，12y1122xym解方程就可求出 .试题解析：（1）由 知，可设 ， ， ，其中 ，caacb0由已知 ，代入椭圆中得 ，即 ，解得 ，(,)Mc21cab212从而 ， ， ，故椭圆方程为 2ab284xy（2）设 ， ， ，由已知 ，1(,)Axy2(,)B0(,)Py1022(,)(,)xy从而 ， ，由于 ， ， 均在椭圆 上，0012ABP8故有 ， ， ，218xy28xy2211()()xy第三个式子变形为 ，21 22()4y将第一、二个式子代入得 ， （）212x分析知直线 的斜率不为零，故可设直线 方程为 ，与椭圆联立得
22、：l lxmy，由韦达定理 ， ，2()40my124y124将（）变形为： ，12()m即 ，22()6yy将韦达定理代入上式得： ，解得 ，28023m因为直线的斜率 ，故直线 的斜率为 1kml6【考点】1、抛物线的几何性质；2、椭圆的标准方程；3、直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题可以利用椭圆及抛物线的对称性得出 为椭圆的通径，从而可以MN求出椭圆的标准方程，另外着重考察直线与椭圆的位置关系，联立、消元、韦达定理，然后将条件转化为坐标间的关系，从而与前面得到的韦达定理相结合，就可以求出直线的斜率.21已知函数 12()ln)fxax（1）若 ，且 在 上单调递增，求实数 的取值范围
23、；0a(0,a（2）是否存在实数 ，使得函数 在 上的最小值为 1？若存在，求出实数)f(0,)的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）存在实数 ， 的值为 .aa【解析】试题分析：（1），由于函2222484112 axfxx数 在区间 上单调递增，所以 在区间 上恒成立，即fx0,0fx,在 上恒成立，转化为 在 上恒成立，根据284a241a函数单调性可知 在区间 上单调递增，所以 ，因21gx,20,41x此 ；（2）假设存在实数 使得 在 上最小值为 ，那么一定要满足afx0，由此限定出 ，又根据第（1）问 时，函数 在 上单1f22af,调递增，但是 不合题意，所以 ，
24、令 得 的0lnf()0x()f增区间为 ；令 得 的减区间为 ，于是(,)4a()0fx()f,4a，化简整理可得 ，即min2()()1fxf21ln()0aa，于是设 ，则上式22l()0aa2(,1t即为 ，构造 ，通过判断函数 的单调性来计算1ln0t1()lngttgt时 的值，然后求出 的值.gtta试题解析：（1） ，2222484()1()(1)axfxx由已知 在 时恒成立，即 恒成立，()0f,0分离参数得 ，右边 ，所以正实数 的取值范围为 241ax0,2a2a（2）假设存在这样的实数 ，则 在 时恒成立，且可以取到等号，a()1fx(,)故 ，即 ，故 ，解得 (1
25、)fln()23ln0ln1232从而这样的实数 必须为正实数，当 时，由上面的讨论知 在 上递()fx0,)增，此时不合题意，故这样的 必须满足 ，()02ln1fxa2a此时：令 得 的增区间为 ；令 得 的减区间()f()fx(,)4()0fx()f为 2(0,)4a故 ，min2212()()ln()1444aafxf a整理得 ，21l()0a即 ，22ln()a设 ，21(,t则上式即为 ，构造 ，则等价于 ，ln0t1()lngtt()0gt由于 为增函数， 为减函数，故 为增函数，lyt1yt 1()lngtt观察知 ，故 等价于 ，与之对应的 ，(1)0g()a综上符合条件的
26、实数 是存在的，即 a1a【考点】1、函数与导数；2、恒成立问题.【方法点睛】第一问利用导数研究函数单调性，即函数单调时 恒成立或0fx恒成立，从而转化为不等式恒成立.第二问难度较大，通过特殊值的约束出0fx的范围，然后找出取最小值时对应的自变量，最后通过换元、构造函数来求 的值 .本a a问通过转化，考查利用导数研究函数问题.属于难题，综合性较强，考查学生的能力.22在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） xOyCsinco,xy（1）求曲线 的普通方程；C（2）在以 为极点， 正半轴为极轴的极坐标系中，直线 方程为l，已知直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 sin()104lA
27、B|A【答案】 （1） ；（2） .2xy6AB【解析】试题分析：（1）根据曲线 的参数方程C，所以曲线 的直角坐标方程为222sincosincoxyC；（2）直线 的极坐标方程为 ，根据互化公式得lsin10，圆心 到直线 的距离为 ，根据弦长公10xy,10xy2d式 .26lrd试题解析：（1）由已知 ， ，结合 ，消sin2xycos2xy22sinco1去 得：普通方程为 ，化简得 2()()1xy（2）由 知 ，化为普通方程为sin04(cosin)10，10xy圆心到直线 的距离 ，l2|1d由垂径定理 | 6ABr【考点】1、坐标系与参数方程；2、直线与圆的位置关系.23设函
28、数 ()|21|fx（1）解关于 的不等式 ；()1)fxf（2）若实数 ， 满足 ，求 的最小值ab22()afb【答案】 （1） ；（2） .0,【解析】试题分析：（1）不等式 等价于 ，即412x2241x，解得 ，所以不等式的解集为 ；（2）2x0,，根据柯西不等式222()|1|()|fafbabab，所以可以求出 的最小值22()422()fafb为 .试题解析：（1） ，即 ，即|41|x|2216841xx，解得 ，20x,故原不等式的解集为 （2） ，2222()|1|()|fafbabab由柯西不等式： ，()()4从而 ，即 ，取等条件为 ，2()22ff 1故 的最小值为 222()fafb【考点】1、不等式的解法；2、柯西不等式.
